北师大版八年级数学下册 第3章图形的平移与旋转章末复习 导学案（含答案）

图形的平移与旋转章末复习

一､知识结构:

请你绘出本章知识网络图:

二､知识回顾:

1.图形的平移 

⑴平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移｡ 

关键:a. 平移不改变图形的__________和__________ (也不会改变图形的__________,但改变图形的__________)｡

b. 图形平移三要素: __________､__________､__________｡

⑵平移的规律(性质):经过平移,对应点所连的线段__________ (或______________)且________,对应线段__________ (或__________)且__________､对应角__________｡

注意:平移后,原图形与平移后的图形__________｡

⑶简单的平移作图

平移作图要注意:①__________;②__________｡

整个平移作图,就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离__________移动｡

考点对接

1.在直角坐标系中,将点P(-3,2)向沿y轴方向向上平移4个单位长度后,得到的点坐标为(   )

A.(-3,6)  B.(1,2)  C.(-7,2)  D.(-3,-2)

2.如图,A､B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为(     )

A.2    B.3    C.4    D.5

3.已知△ABC顶点坐标分别是A(0,6),B(-3,-3),C(1,0),将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是(4,10),则点B的对应点B1的坐标为(     )

A.(7,1)     B.(1,7)     C.(1,1)     D.(2,1)

4.如图,△A′B′C′是由△ABC平移后得到的,已知△ABC中一点P(x0,y0)经平移后对应点P′(x0+5,y0-2).

(1)已知A(-1,2),B(-4,5),C(-3,0),请写出A′､B′､C′的坐标;

(2)试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的;

(3)请直接写出△A′B′C′的面积为     .

5.如图,直线l1在平面直角坐标系中,直线l1与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线l1上,将点B先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点C,点C恰好也在直线l1上.

(1)求点C的坐标和直线l1的解析式;

(2)若将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D是否在直线l1上;

2.图形的旋转

⑴旋转的定义:在平面内,将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转｡这个定点称为旋转中心;转动的角称为旋转角｡ 

关键:a. 旋转不改变图形的__________和__________ (但会改变图形的方向,也改变图形的位置)｡  

b. 图形旋转四要素: __________､__________､__________､__________｡

⑵旋转的规律(性质):

一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于__________,对应线段__________,对应角__________｡

注意:旋转后,原图形与旋转后的图形__________｡

⑶简单的旋转作图: 

旋转作图要注意:①__________;②__________｡

整个旋转作图,就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的__________和一定的__________旋转移动｡

考点对接

1.如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=20°,则∠B的度数是(    )

A､70°     B､65°     C､60°      D､55°

2. 如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(   )

A､35°    B､40°      C､50°      D､65°

3. 如图,在等边△ABC中,点D是 AB边上一点,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE,连接AE.求证:AE∥BC.

4.如图,已知点D是等腰直角三角形ABC斜边BC上一点(不与点B重合),连AD,线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连CE,求证:BD⊥CE.

3.中心对称

⑴概念:中心对称､对称中心､对称点  

把一个图形绕着某一点旋转____________,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点____________________________,这个点叫做它们的___________｡

⑵中心对称的基本性质 

①成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质｡ 

②成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且___________________｡

⑶中心对称图形概念:中心对称图形､对称中心  

把一个平面图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和___________________,那么这个图形叫做中心对称图形｡这个点叫做它的___________｡ 

⑷中心对称与中心对称图形的区别与联系  

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形,那么这个整体就是中心对称图形;反过来,如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形,那么这两个图形成中心对称｡

考点对接

1.下列四张扑克牌中,属于中心对称的图形是(    )

A､红桃7      B､方块4      C､梅花6    D､黑桃5

2.下列图形中是中心对称图形的有(    )个.

A､1     B､2    C､3     D､4

3.已知|2﹣m|+(n+3)2=0,点P1､P2分别是点P(m,n)关于y轴和原点的对称点,求点P1､P2的坐标.

4.图案的分析与设计

图形的平移､轴对称(折叠)､中心对称(旋转)的对比

① 首先找到基本图案,然后分析其他图案与它的关系,即由它作何种运动变换而形成｡

② 图案设计的基本手段主要有:轴对称､平移､旋转三种方法｡

考点对接

1. 在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用轴对称知识的是(    )

A.     B.     C.     D.

2. 下列图形不是由平移而得到的是(    )

A.         B.

C.            D.

3.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有(   )

A. 2种   B､3种   C､4种  D､5种

4. 下列每个图中都有一对全等三角形,其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是(    )

A.        B.

C.        D.

随堂检测

1.现象:①荡秋千;②乘电梯;③滑动窗户;④转陀螺.其中是旋转的有(    )

A.?①②   B.?②③   C.?③④   D.?①④

2. 如图,下列图形中只能用其中一部分经过平移得到的是(     )

3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     )

4. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,△A′B′C′由△ABC 绕点P 旋转得到,则点P 的坐标为(    )

A.?(0,1)   B.?(1,-1)   C.?(0,-1)   D.?(1,0)

5. 如图,△ABC 经过平移后得到△DEF,则下列说法中正确的有(    )

①AB∥DE,AB=DE ②AD∥BE∥CF,AD =BE=CF ③AC∥DF,AC=DF ④BC∥EF,BC=EF

A.?1个     B.?2个    C.?3个     D.?4个

6. 如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1 位置,使点C､A､B1 在同一直线上,那么旋转角等于(    )

A.?55° B.?70° C.?125° D.?145°

7. 将点A(5,-2)沿y 轴向上平移3个单位长度,再沿x 轴向左平移4个单位长度后,得到点A′的坐标为        .

8. 如图所示,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,3).△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′,点A 的对应点A′在直线y =¾ x上,则点B 与其对应点B′之间的距离为          .

9. 如图,在长方形ABCD 中,AB=3,BC=4,点E 是BC 边上一点,连接AE,把∠B 沿AE 折叠,使点B 落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE=              .

10. 如图是国际奥林匹克运动会会旗(五环旗)的标志图案(只考虑形状,不考虑颜色),它是由五个半径相同的圆组成的,它象征着五大洲的体育健儿为发展奥林匹克精神而团结起来,携手拼搏.观察此图案,结合我们所学习的图形变换知识,完成下列题目:

(1)整个图案可以看作是什么图形?

(2)此图案可以看作是把一个圆经过多次什么变换运动得到的?

11. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C 按顺时针方向旋转n°后,得到△DEC,点D 刚好落在AB边上,求n 的值.

12. 给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图,将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.

①求证:△BCE 是等边三角形;

②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD 是勾股四边形.

课堂小结

通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获,并记录下来:

我的收获

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案

本章知识网络图:

1.图形的平移 

关键:a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向,但改变图形的位置)｡b. 图形平移三要素:原位置､平移方向､平移距离｡ 

⑵平移的规律(性质):经过平移,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等､对应角相等｡ 

注意:平移后,原图形与平移后的图形全等｡

⑶简单的平移作图

平移作图要注意:①方向;②距离｡

整个平移作图,就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动｡

考点对接

1.A  2.A  3.C

4.解:⑴根据题意三角形ABC的平移规律为:向右平移5个单位,向下平移2个单位,

则点A′的坐标为(-1+5,2-2)即(4,0),

点B′的坐标为(-4+5,5-2)即(1,3),

点C′的坐标为(-3+5,0-2)即(2,-2),

⑵根据对应点的坐标平移规律即可得出:△ABC向右平移5个单位,向下平移2个单位得到△A′B′C′.

⑶  6

5.解:(1)∵B(-3,3),将点B先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点C,

∴-3+1=-2,3-2=1,∴C的坐标为(-2,1),

设直线l1的解析式为y=kx+c,∵点B､C在直线l1上,∴

代入得:-3k+c=3,-2k+c=1,解得:k=-2,c=-3,

∴直线l1的解析式为y=-2x-3;

(2)∵将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,C(-2,1),∴-2-3=-5,1+6=7,

∴D的坐标为(-5,7),代入y=-2x-3时,左边=右边,即点D在直线l1上;

(3)把B的坐标代入y=x+b得:3=-3+b,

解得:b=6,∴y=x+6,

∴E的坐标为(0,6),

∵直线y=-2x-3与y轴交于A点,

∴A的坐标为(0,-3),∴AE=6+3=9,

∵B(-3,3),∴△ABE的面积为12×9×|-3|=13.5.

2.图形的旋转 

关键:a. 旋转不改变图形的形状和大小(但会改变图形的方向,也改变图形的位置)｡  

b. 图形旋转四要素:原位置､旋转中心､旋转方向､旋转角｡

⑵旋转的规律(性质):

一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角,对应线段相等,对应角相等｡注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等｡

⑶简单的旋转作图: 

旋转作图要注意:①旋转方向;②旋转角度｡

整个旋转作图,就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动｡

考点对接

1.B  2.C

3. 解:∵△ABC是等边三角形,  ∴AC=BC,∠B=∠ACB=60°.

∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE,

∴CD=CE,∠DCE=60°,

∴∠DCE=∠ACB,

即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE,

∴∠BCD=∠ACE,

在△BCD与△ACE中,

BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,

∴△BCD≌△ACE,

∴∠EAC=∠B=60°,

∴∠EAC=∠ACB,

∴AE∥BC.     

4. 证明:∵△ABC为等腰直角三角形,

 ∴∠B=∠ACB=45°,

∵线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,

∴∠ACE=∠B=45°,

∴∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,即∠BCE=90°,

∴BD⊥CE.

3.中心对称

⑴概念:中心对称､对称中心､对称点  

把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心｡

⑵中心对称的基本性质 

①成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质｡ 

②成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分｡  

⑶中心对称图形概念:中心对称图形､对称中心  

把一个平面图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形｡这个点叫做它的对称中心｡ 

考点对接

1.B

2.B

3.解:由|2﹣m|+(n+3)2=0,得

m=2,n=﹣3.

P(2,﹣3),

点P ₁(﹣2,3)点P(m,n)关于y轴的对称点,

点P ₂(﹣2,3)是点P(m,n)关于原点的对称点. 

4.图案的分析与设计

考点对接

1.C

2.D

3.C

4.D

随堂检测

1. D 

2. B

3.  A 

4.  B

5.  D 

6.  C 

7.  (1,1) .

8.   4 .

9.  3或 .

10. 解:(1)轴对称图形.

(2)既可以看作是一个圆经过4次平移得到的,又可以看作是一个圆经过4次旋转得到的.每次平移的方向是一个圆的圆心到另一个圆的圆心的方向,平移的距离是两圆心间的距离,每次旋转的中心是连接两圆圆心的线段的中点,旋转的角度都是180°.

11. 解:∵在Rt△ABC 中,

∠ACB=90°,∠B=30°,

将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n°

后,得到△DEC,

∴AC=DC,∠A=60°.

∴△ADC 是等边三角形.

∴∠ACD=60°.

∴n 的值是60°.

12. 解:(1)正方形､长方形.(答案不唯一)

(2)证明:①∵易知△ABC≌△DBE,

∴BC=BE.

∵由旋转的性质知∠CBE=60°,

∴△BCE 是等边三角形.

②由①知△BCE 为等边三角形,

∴BC=CE,∠BCE=60°.

∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°.

∴在Rt△DCE 中,DC ²+CE ²=DE ².

根据旋转的性质易知DE=AC,

∴DC ²+BC2=AC ²,

即四边形ABCD 是勾股四边形.