实际应用题2016-2020年成都数学中考真题汇编
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- 在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 （单位：件）与线下售价 （单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如表：
(1) 求 与 的函数关系式；
(2) 若线上售价始终比线下每件便宜 元，且线上的月销量固定为 件．试问：当 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
- 随着 技术的发展，人们对各类 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第 （ 为正整数）个销售周期每台的销售价格为 元， 与 之间满足如图所示的一次函数关系．
(1) 求 与 之间的关系式；
(2) 设该产品在第 个销售周期的销售数量为 （万台）， 与 的关系可以用 来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
- 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用 （元）与种植面积 之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米 元．
(1) 直接写出当 和 时， 与 的函数关系式；
(2) 广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 ，若甲种花卉的种植面积不少于 ，且不超过乙种花卉种植面积的 倍，那么应该怎么分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？
- 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将检查结果绘制成下面两个不完整的统计图．
(1) 本次调查的学生共有 人，估计该校 名学生中“不了解”的人数是 人；
(2) “非常了解”的 人有 ， 两名男生，， 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
- 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 游玩，到达 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行驶 千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达古镇 ，小明发现古镇 恰好在 地的正北方向，求 ， 两地的距离．
- 如图，在平面直角坐标系 中，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
(1) 求反比例函数的表达式和点 的坐标；
(2) 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，连接 ，若 的面积为 ，求点 的坐标．
- 随着地铁和共享单车的发展，“地铁 单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 （单位：千米），乘坐地铁的时间 （单位：分钟）是关于 的一次函数，其关系如下表：
(1) 求 关于 的函数表达式；
(2) 李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 的影响，其关系可以用 来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
- 化简：
- 如图， 三个顶点的坐标分别为 ，，
(1) 请画出将 向左平移 个单位长度后得到的图形 ；
(2) 请画出 关于原点 成中心对称的图形 ；
(3) 在 轴上找一点 ，使 的值最小，请直接写出点 的坐标．
- 在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点 处安置测倾器，量出高度 ，测得旗杆顶端 的仰角 ，量出测点 到旗杆底部 的水平距离 ．根据测量数据，求旗杆 的高度．（参考数据：，，）
- 如图，在 中，，以 为半径作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ，．
(1) 求证：；
(2) 当 时，求 ；
(3) 在（2）的条件下，作 的平分线，与 交于点 ．若 ，求 的半径．
- 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，点 在 轴右侧．
(1) 求 的值及点 ， 的坐标；
(2) 当直线 将四边形 分为面积比为 的两部分时，求直线 的函数表达式；
(3) 当点 位于第二象限时，设 的中点为 ，点 在抛物线上，则以 为对角线的四边形 能否成为菱形？若能，求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
(1) 计算：
(2) 已知关于 的方程 没有实数根，求实数 的取值范围．
- 化简：
- 在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点 处安置测倾器，量出高度 ，测得旗杆顶端 的仰角 ，量出测点 到旗杆底部 的水平距离 ．根据测量数据，求旗杆 的高度．（参考数据：，，）
- 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．
(1) 请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；（卡片用A，B，C，D表示）
(2) 我们知道，满足的 三个正整数 ，， 称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
- 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数直线 的图象都经过点 ．
(1) 分别求这两个函数的表达式；
(2) 将直线 向上平移 个单位长度后与 轴相交于点 ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为 ，连接 ，，求点 的坐标及 的面积．
- 如图，在 中，，以 为半径作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ，．
(1) 求证：；
(2) 当 时，求 ；
(3) 在（2）的条件下，作 的平分线，与 交于点 ．若 ，求 的半径．
- 某果园有 棵橙子树，平均每棵树结 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 个橙子，假设果园多种 棵橙子树．
(1) 直接写出平均每棵树结的橙子数 （个）与 之间的关系式；
(2) 果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？
- 如图①， 中，， 于点 ，点 在 上，且 ，连接 ．
(1) 求证：；
(2) 将 绕点 旋转，得到 （点 ， 分别与点 ， 对应），连接 ．
ⅰ）如图②，当点 落在 上时（ 不与 重合），若 ，，求 的长；
ⅱ）如图③，当 是由 绕点 逆时针旋转 得到时，设射线 与 相交于点 ，连接 ，试探究线段 与 之间满足的等量关系，并说明理由．
- 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，点 在 轴右侧．
(1) 求 的值及点 ， 的坐标；
(2) 当直线 将四边形 分为面积比为 的两部分时，求直线 的函数表达式；
(3) 当点 位于第二象限时，设 的中点为 ，点 在抛物线上，则以 为对角线的四边形 能否成为菱形？若能，求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
1. 【答案】
(1) 与 的函数关系式为 ．
(2) 设商家线上和线下的月利润总和为 元，
则可得 ．
所以，当线下售价定为 元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是 元．
2. 【答案】
(1) 设函数的解析式为： ，由图象可得，
解得，
与 之间的关系式：．
(2) 设销售收入为 万元，根据题意得，
，
即 ，
当 时， 有最大值为 ，
此时 （元）．
答：第 个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是 元．
3. 【答案】
(1) ．
(2) 设甲种花卉种植为 ，则乙种花卉种植 ．
所以
所以 ．
当 时，．
当 时，．
当 时，．
当 时，，
因为 ，
所以当 时，总费用最低，最低为 元．
此时乙种花卉种植面积为 ．
答：应分配甲种花卉种植面积为 ，乙种花卉种植面积为 ，才能使种植总费用最少，最少总费用为 元．
4. 【答案】
(1) ；
(2) 画树状图，
共有 种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有 种，
所以 ．
5. 【答案】过 作 于点 ，
在 中，（千米），
（千米），
在 中，，
是等腰直角三角形，
（千米），
（千米）．
答：， 两地的距离是 千米．
6. 【答案】
(1) 把 代入 ，可得 ，
，
把 代入 ，可得 ，
反比例函数的表达式为 ．
将反比例函数与正比例函数联立得
解得 或
．
(2) 如图所示，延长 交 轴于 ．
设 ，则 ，
的面积为 ，
，
解得 ，
或 ．
7. 【答案】
(1) 设 ，将 ，，代入得：
解得：
故 关于 的函数表达式为：；
(2) 设李华从文化宫回到家所需的时间为 分钟，则
所以当 时， 有最小值，，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为 分钟．
8. 【答案】
9. 【答案】
(1) 如图1所示：
(2) 如图2所示：
(3) 找出 的对称点 ，
连接 ，与 轴交点即为 ；
如图3所示：
点 坐标为 ．
10. 【答案】，
四边形 为矩形，
，．
在 中，
即 ，
，．
答：旗杆 的高度约为 ．
11. 【答案】
(1) 的直径，
．
又 ，
，，
．
又 ，
，
．
又 ，
．
(2) 由（1）知，，
．
，
设 ，则 ．
在 中，，
，．
在 中，
．
(3) 解法一：在 中， 即 ，解得 ．
是 的平分线，
．
如图1，过 作 于 ， 于 ，
，
，
．
又 ，
，．
在 中，
即 ，解得 ．
的半径是 ．
【解析】
(3) 解法二：如图2
过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ．
平分 ，
．
又 ，
．
在 中，有 ，
，
为等腰直角三角形
由（2）可知，，，
，
，
，
的半径是 ．
解法三：
如图3，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
设 ，
是 的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在 中，，，
在 中，，
．
在 中，
，
，，
，
，
，
又 ，
，
，
．
12. 【答案】
(1) 抛物线 与 轴交于点 ．
，
解得：，
．
当 时，有 ，
，，
，．
(2) ，，，，
从面积分析知，直线 只能与边 或 相交，
所以有两种情况：
① 当直线 边 相交于点 时，则 ，
，
，点 ，过点 和 的直线 的解析式为 ．
②当直线 边 相交于点 时，同理可得点 ，过点 和 的直线 的解析式为 ．
综上：直线 的函数表达式为 或 ．
(3) ，
．
由
，
，，
点 是线段 的中点，
由中点坐标公式的点 ．
假设存在这样的 点如下图，
，设直线 的解析式为 ，
由
解得：．
四边形 是菱形，
，
整理得：，
，
解得，
，
，，，
，
四边形 为菱形，
以 为对角线的四边形 能成为菱形，此时点 的坐标为 ．
13. 【答案】
(1)
(2) 关于 方程 没有实数根，
，
解得：
14. 【答案】
15. 【答案】，
四边形 为矩形，
，．
在 中，
即 ，
，．
答：旗杆 的高度约为 ．
16. 【答案】
(1) 列表法：
树状图：
由列表或树状图可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有 种，分别为（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C）．
(2) 由（1）知：所有可能出现的结果共有 种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有（B，C），（B，D），（C，B），（C，D），（D，B），（D，C）共 种．
．
17. 【答案】
(1) 正比例函数 的图象与反比例函数直线 的图象都经过点 ，
解得：
，．
(2) 直线 由直线 向上平移 个单位所得
，．
设直线 的表达式为 ．
由
解得
点 在第四象限，
点 的坐标为 ．
解法一：如图1，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ．
【解析】
(2) 解法二：如图2，连接 ．
，
18. 【答案】
(1) 的直径，
．
又 ，
，，
．
又 ，
，
．
又 ，
．
(2) 由（1）知，，
．
，
设 ，则 ．
在 中，，
，．
在 中，
．
(3) 解法一：在 中， 即 ，解得 ．
是 的平分线，
．
如图1，过 作 于 ， 于 ，
，
，
．
又 ，
，．
在 中，
即 ，解得 ．
的半径是 ．
【解析】
(3) 解法二：如图2
过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ．
平分 ，
．
又 ，
．
在 中，有 ，
，
为等腰直角三角形
由（2）可知，，，
，
，
，
的半径是 ．
解法三：
如图3，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
设 ，
是 的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在 中，，，
在 中，，
．
在 中，
，
，，
，
，
，
又 ，
，
，
．
19. 【答案】
(1)
(2) 设果园多种 棵橙子树时，橙子的总产量为 个．由题知：
，
当 时，．
果园多种 棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为 个．
20. 【答案】
(1) 在 中，
，
又 ，，
．
(2) （ⅰ）在 中，
，
，
设 ，则 ，
，
，
．，．
由旋转知：，，．
，，
，
，
．
如图④，过点 作 于 ，
则 ，．
在 中，，
，解得：，．
（ⅱ）由题意及已证可知， 均为等腰三角形，
，
，
，
．
又 ，
，
．
21. 【答案】
(1) 抛物线 与 轴交于点 ．
，
解得：，
．
当 时，有 ，
，，
，．
(2) ，，，，
从面积分析知，直线 只能与边 或 相交，
所以有两种情况：
① 当直线 边 相交于点 时，则 ，
，
，点 ，过点 和 的直线 的解析式为 ．
②当直线 边 相交于点 时，同理可得点 ，过点 和 的直线 的解析式为 ．
综上：直线 的函数表达式为 或 ．
(3) ，
．
由
，
，，
点 是线段 的中点，
由中点坐标公式的点 ．
假设存在这样的 点如下图，
，设直线 的解析式为 ，
由
解得：．
四边形 是菱形，
，
整理得：，
，
解得，
，
，，，
，
四边形 为菱形，
以 为对角线的四边形 能成为菱形，此时点 的坐标为 ．
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