圆综合2016-2020年成都数学中考真题汇编
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- 如图，在 的边 上取一点 ，以 为圆心， 为半径画 ， 与边 相切于点 ，，连接 交 于点 ，连接 ，并延长交线段 于点 ．
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 若 ，，求 的半径．
(3) 若 是 的中点，试探究 与 的数量关系并说明理由．
- 如图， 为 的直径，， 为圆上的两点，，弦 ， 相交于点 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的半径；
(3) 在（）的条件下，过点 作 的切线，交 的延长线于点 ，过点 作 交 于 ， 两点（点 在线段 上），求 的长．
- 如图，在 中，， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ，，连接 交 于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 设 ，，试用含 ， 的代数式表示线段 的长；
(3) 若 ，，求 的长．
- 如图，在 中，，以 为直径作 ，分别交 于点 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，连接 交线段 于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 为 的中点，求 的值；
(3) 若 ，求 的半径．
- 问题背景：如图 ，等腰 中，，，作 于点 ，则 为 的中点，，于是 ．
(1) 迁移应用：如图 ， 和 都是等腰三角形，，，， 三点在同一条直线上，连接 ．
①求证：；
②请直接写出线段 ，， 之间的等量关系式；
(2) 拓展延伸：如图 ，在菱形 中，，在 内作射线 ，作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，．
①证明 是等边三角形；
②若 ，，求 的长．
- 如图，在 中，，以 为半径作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ，．
(1) 求证：；
(2) 当 时，求 ；
(3) 在（2）的条件下，作 的平分线，与 交于点 ．若 ，求 的半径．
答案
1. 【答案】
(1) 可证得 ．从而得 是 的切线．
(2) 的半径为 ．
(3) ．
可证得 ，．
即 ．
2. 【答案】
(1) ，
．
，
，
，
．
(2) 连接 ，
，，
，
，
，且 ，
．
，
，
，
是直径，
，
，
的半径为 ．
(3) 如图，过点 作 于点 ，连接 ，
是 切线，
，且 ，
，且 ，
，
．
，，
，
，
，
，
，且 ，
，
，
即 ，
，，
，
．
3. 【答案】
(1) 如图 ，连接 ．
为 的平分线，
．
，
，
，
．
又 ，
，
，
是 的切线．
(2) 连接 ，如图 ．
由（）可知， 为切线，
，
，
．
又 ，
，
，
，
，
．
(3) 连接 ，如图 ．
在 中，．
设圆的半径为 ，
，
，
，．
是直径，，而 ，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
4. 【答案】
(1) 连接 ，如图 ，
，
是等腰三角形，
在 中，
，
由 得：，
，
，
，
是 的切线．
(2) 如图 ，在 中，
，
由（）可知：，
是等腰三角形，
，且点 是 中点，
设 ，则 ，，
连接 ，则在 中，，，
，
是 的中点，
是 的中位线，
，，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
．
(3) 如图 ，设 的半径为 ，即 ，
，
，
，
，
则 ，
，
，
，
在 中，
，
，
， 是等腰三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
解得：，（舍），
综上所述， 的半径为 ．
5. 【答案】
(1) ①如图
，
，
在 和 中，
．
② ．
(2) ①如图，作 于 ，连接 ．
四边形 是菱形，，
， 是等边三角形，
．
， 关于 对称，
，，
，，， 四点共圆，
，
，
是等边三角形．
② ，，
，，
在 中，
，
，
．
6. 【答案】
(1) 的直径，
．
又 ，
，，
．
又 ，
，
．
又 ，
．
(2) 由（1）知，，
．
，
设 ，则 ．
在 中，，
，．
在 中，
．
(3) 解法一：在 中， 即 ，解得 ．
是 的平分线，
．
如图1，过 作 于 ， 于 ，
，
，
．
又 ，
，．
在 中，
即 ，解得 ．
的半径是 ．
【解析】
(3) 解法二：如图2
过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ．
平分 ，
．
又 ，
．
在 中，有 ，
，
为等腰直角三角形
由（2）可知，，，
，
，
，
的半径是 ．
解法三：
如图3，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
设 ，
是 的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在 中，，，
在 中，，
．
在 中，
，
，，
，
，
，
又 ，
，
，
．
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