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2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（四）
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这是一份2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（四），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（四）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2020的绝对值等于（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
3．（3分）在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为（ ）
A．37.1℃ B．37.31℃ C．36.69℃ D．36.8℃
4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）由六个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，下列各图象中能正确表示y与x的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）现从四个数﹣2，﹣1，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y＝ax2+bx中a，b的值．那么所得抛物线中，满足对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A（﹣1，y1），B（2，y2）．使不等式mx﹣n＞成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2，或0＜x＜1 B．﹣2＜x＜0，或x＞1
C．x＜﹣1，或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0，或x＞2
9．（3分）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+…+an，则S2020＝（ ）
A．63 B．63 C．64 D．64
10．（3分）如图，半⊙O的直径AB＝4．C为半圆弧上一动点，CD⊥AB于点D，则CD﹣BD的最大值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．4﹣4 D．2﹣2
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
12．（3分）不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是 事件（填随机，必然或不可能）．
13．（3分）计算﹣的结果为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段BD上一点，且AC＝CE，若∠DCE＝30°，则∠B的度数为 ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，其中两点A（x1，m），B（x2，n）满足x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则m与n的大小关系是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠ABC＝，D为BC的中点，E为AC上的一点，连接BE交AD于点F，若AE＝EF，则tan∠EBC＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3÷x﹣3x2•x3．
18．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：AD∥BC．
19．（8分）为保障防控“新冠肺炎”疫情期间中小学校“停课不停教、不停学”，根据武汉市教育局的部署，2月10日起，武汉市各中小学全面开展在线课程教学．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．
20．（8分）边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留作图痕迹．
（1）如图1，画一个格点三角形，使它的三边长分别是，2，所画三角形的面积为 ；
（2）如图2，格点四边形ABCD中，P为边AB上的一点，在边AD上画一点Q，使AQ＝AP．
21．（8分）点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，设BD与AC交于点E，若tan∠BDC＝，求的值．
22．（10分）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，延长BD至点E，连接AE，且∠ABE+∠CAE＝180°．
（1）求证：AE2＝ED•EB；
（2）如图2，连接CE，延长BA交CE于点F．
①求证：＝；
②若AD＝1，AC＝2，直接写出AF的长．
24．（12分）抛物线y＝x2+mx+m与x轴交于A，B（A点在B点左侧）两点．与y轴交于点C．
（1）如图，若点C在y轴负半轴上．且OB＝2OC．
①求m的值；
②点P为抛物线上的一点，连接AP交y轴于点Q，若PQ＝PC，求点P的坐标．
（2）另一条抛物线y＝x2+nx+n与x轴交于D，E两点（点D在点B的右边，在点E的左边），若AB＝BD＝DE，求m，n的值．
2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2020的绝对值等于（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
【分析】当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a，据此求出2020的绝对值等于多少即可．
【解答】解：|2020|＝2020
故选：A．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：B．
3．（3分）在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为（ ）
A．37.1℃ B．37.31℃ C．36.69℃ D．36.8℃
【分析】根据题意将这位同学一周内的体温写出来相加再除以七，得出其体温的平均值．
【解答】解：根据题意检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”得这位同学在一周内的体温分别是37.1、36.7、36.5、37.1、37.2、36.4、36.6；
将（37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6）÷7＝36.8℃；
故选：D．
4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）由六个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：C．
6．（3分）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，下列各图象中能正确表示y与x的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点P在边BC、CD、DA上三段分析即可得解．
【解答】解：①点P在边BC上时，△ABP是底边为AB，高为BP，y与x是一次函数关系，y随x的增大而增大，
②点P在边CD上时，△ABP是底边为AB，高为BC，y不变；
③点P在边AD上时，△ABP是底边为AB，高为AP，y与x是一次函数关系，y随x的增大而减小直至为0；
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选：A．
7．（3分）现从四个数﹣2，﹣1，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y＝ax2+bx中a，b的值．那么所得抛物线中，满足对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，满足对称轴在y轴左侧的抛物线的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，满足对称轴在y轴左侧（﹣＜0，即＞0）的抛物线的结果有4个，
∴满足对称轴在y轴左侧的抛物线的概率为＝，
故选：C．
8．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A（﹣1，y1），B（2，y2）．使不等式mx﹣n＞成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2，或0＜x＜1 B．﹣2＜x＜0，或x＞1
C．x＜﹣1，或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0，或x＞2
【分析】根据直线y＝mx+n与直线y＝mx﹣n关于原点对称求得直线y＝mx﹣n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点（﹣2，﹣y2），（1，﹣y1），然后根据图象即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A（﹣1，y1），B（2，y2）．
∴一次函数y＝mx﹣n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A′（﹣2，﹣y2），（1，﹣y1），
由图象可知，使不等式mx﹣n＞成立的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
故选：A．
9．（3分）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+…+an，则S2020＝（ ）
A．63 B．63 C．64 D．64
【分析】由1+2+3+…+n＝结合+4＝2020，可得出前2020个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，4个，进而可得出S2020的值．
【解答】解：∵1+2+3+…+n＝，+4＝2020，
∴前2020个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，4个，
∴S2020＝1×63+4×＝63．
故选：B．
10．（3分）如图，半⊙O的直径AB＝4．C为半圆弧上一动点，CD⊥AB于点D，则CD﹣BD的最大值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．4﹣4 D．2﹣2
【分析】如图，连接OC，设BD＝x，CD﹣BD＝y．构建一元二次方程，利用判别式解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，设BD＝x，CD﹣BD＝y．
则有y＝﹣x，
∴y+x＝，
两边平方可得，2x2+（2y﹣4）x+y2＝0，
∵△≥0，
∴（2y﹣4）2﹣8y2≥0，
整理得，y2+4y﹣4≤0，
解得﹣2﹣2≤y≤﹣2+2，
∴y的最大值为2﹣2，
故选：D．
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝2．
故答案为：2．
12．（3分）不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是 必然 事件（填随机，必然或不可能）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：∵袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球，
∴至少有1个红球是必然事件，
故答案为：必然．
13．（3分）计算﹣的结果为 ．
【分析】先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算．
【解答】﹣＝＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段BD上一点，且AC＝CE，若∠DCE＝30°，则∠B的度数为 40° ．
【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质推出CD＝AD＝BD，由等腰三角形的性质推出∠DCB＝∠B，∠CEA＝∠A，由三角形外角的性质推出∠CEA＝∠BCE+∠B，进而得到∠A＝2∠B﹣30°，再根据直角三角形的性质即可求出∠B．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，∠A+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠DCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝∠B﹣30°，
∵AC＝CE，
∴∠CEA＝∠A，
∵∠CEA＝∠BCE+∠B，
∴∠A＝∠B﹣30°+∠B＝2∠B﹣30°，
∴2∠B﹣30°+∠B＝90°，
∴∠B＝40°，
故答案为：40°．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，其中两点A（x1，m），B（x2，n）满足x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则m与n的大小关系是 m＜n ．
【分析】由抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，得到抛物线开口向上，而函数的对称轴为直线x＝1；由x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，得到A、B两点在对称轴的两侧，且点B离对称轴远，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，则抛物线开口向上，
而函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则A、B两点在对称轴的两侧，且点B离对称轴远，
故m＜n，
故答案为：m＜n．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠ABC＝，D为BC的中点，E为AC上的一点，连接BE交AD于点F，若AE＝EF，则tan∠EBC＝ ．
【分析】过D作DH∥BE交AC于H，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得DH＝AH，根据线段中点的定义，得到BD＝CD＝BC＝2x，设CH＝y，得到DH＝AH＝3x﹣y，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵tan∠ABC＝＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x，
∵AE＝EF，
∴∠AFE＝∠EAF，
过D作DH∥BE交AC于H，
∴∠ADH＝∠DAH，
∴∠ADH＝∠DAH，
∴DH＝AH，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2x，
设CH＝y，
∴DH＝AH＝3x﹣y，
∵∠C＝90°，
∴DH2＝CD2+CH2，
∴（3x﹣y）2＝（2x）2+y2，
解得y＝x，
∵DH∥BE，
∴∠HDC＝∠CBE，
∴tan∠EBC＝tan∠CDH＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3÷x﹣3x2•x3．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝8x6÷x﹣3x5，
＝8x5﹣3x5
＝5x5．
18．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：AD∥BC．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠AED＝180°，
∴∠1＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴∠D＝∠DAF，
∵∠C＝∠D，
∴∠DAF＝∠C，
∴AD∥BC．
19．（8分）为保障防控“新冠肺炎”疫情期间中小学校“停课不停教、不停学”，根据武汉市教育局的部署，2月10日起，武汉市各中小学全面开展在线课程教学．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生总人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出在线听课的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中在线讨论的人数和（1）中求得的总人数，可以计算出扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：18÷20%＝90（人），
在线听课的学生有：90﹣（24+18+12）＝36（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；
（3）3000×＝800（人），
即估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生有800人．
20．（8分）边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留作图痕迹．
（1）如图1，画一个格点三角形，使它的三边长分别是，2，所画三角形的面积为 3 ；
（2）如图2，格点四边形ABCD中，P为边AB上的一点，在边AD上画一点Q，使AQ＝AP．
【分析】（1）根据勾股定理，利用网格即可作出符合条件的三角形，再利用割补法计算三角形的面积；
（2）连接AC，DP交于点O，连接BO交AD于点Q，可得AQ＝AP．
【解答】解：（1）如图1，三角形ABC即为所求；
三角形的面积为：2×4﹣1×2﹣2×2﹣1×4＝8﹣1﹣2﹣2＝3；
故答案为：3．
（2）如图2，连接AC，DP交于点O，连接BO交AD于点Q，则AQ＝AP．
点Q即为所求．
21．（8分）点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，设BD与AC交于点E，若tan∠BDC＝，求的值．
【分析】（1）根据切线的性质及平行线的性质推出∠DAC＝∠OCA，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA，从而得到∠DAC＝∠OAC，即可证明AC平分∠DAB；
（2）根据题意作出相关辅助线，易推出四边形DCGF是矩形，根据tan∠DBF＝tan∠BDC＝＝，设DF＝CE＝3k，BF＝8k，OA＝OC＝OB＝r，根据三角形中位线的性质及直角三角形三边关系推出r＝，进而根据矩形的性质及线段之间的和差关系用含k的式子来表示出各线段的长度，再由BH∥AD推出∠BAC＝∠H，以及对顶角△ADE∽△HBE推出△ADE∽△HBE，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图①，
连接OC，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
又AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图②，
连接OC，AD与⊙O交于点F，连接BF，BF与OC交于点G，过点B作BH∥AD，且与AC的延长线交于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴BF⊥AD，又CD⊥AD，
∴BF∥CD，
∴∠BDC＝∠DBF，
由（1）得AD∥OC，
∴四边形DCGF是矩形，
∵tan∠BDC＝，
∴tan∠DBF＝tan∠BDC＝＝，
∴设DF＝CE＝3k，BF＝8k，OA＝OC＝OB＝r，
∵OG∥AF，OA＝OB，
∴BG＝BF＝4k，OG＝OC﹣CE＝r﹣3k，AF＝2OG，
在Rt△BOE中，OB2＝BG2+OG2，
即r2＝（4k）2+（r﹣3k）2，
∴r＝，
∵BH∥AD，
∴∠DAH＝∠H，
由（1）可知∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠H，
∴BH＝AB＝2r＝，
AF＝2×（﹣3k）＝，AD＝AF+DF＝+3k＝，
∵∠AED＝∠HEC，
∴△ADE∽△HBE，
∴＝，即＝＝．
22．（10分）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果．
【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；
（2）①写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时y的最大值，两者比较即可得出答案；②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，解得此时符合题意的天数；当9≤x＜15时，令y＝330得一元二次方程，解方程，根据二次函数与一元二次方程的关系可得此时符合题意的天数，两种情况的天数之和即为所求．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴x＝0.1＝10%，
∴该种水果每次降价的百分率为10%；
（2）①当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元），
∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x）
＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大，最大值为：
y＝﹣17.7×1+352＝334.3；
当9≤x＜15时，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）
＝﹣3x2+60x+80
＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380．
综上所述，
y＝，第10天时的销售利润最大；
②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，
解得：x≤，
有1天的销售利润不低于330元；
当9≤x＜15时，令y＝330得：
﹣3x2+60x+80＝330，
解得：x1＝10+，x2＝10﹣，
∴当10﹣＜x＜10+时，﹣3x2+60x+80≥330，
又∵9≤x＜15，
∴9≤x＜10+，
∴有6天的销售利润不低于330元．
综上所述，共有7天的销售利润不低于330元．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，延长BD至点E，连接AE，且∠ABE+∠CAE＝180°．
（1）求证：AE2＝ED•EB；
（2）如图2，连接CE，延长BA交CE于点F．
①求证：＝；
②若AD＝1，AC＝2，直接写出AF的长．
【分析】（1）由∠ABE+∠CAE＝180°，∠DAE+∠EAC＝180°，得到∠DBA＝∠DAE，进而求解；
（2）①证明△BAD≌△ACM（ASA），再有AF∥MC得到，即可求解；
②由△EBA∽△EAD则到＝，则EA：BD＝2DE：3ED＝2：3；由BF∥CM得到＝，进而求解．
【解答】解：（1）∵∠ABE+∠CAE＝180°，∠DAE+∠EAC＝180°，
∴∠DBA＝∠DAE，
∵∠E＝∠E，
∴△EBA∽△EAD，
∴AE2＝ED•EB；
（2）①过点C作BF的平行线交EA的延长线于点M，
∴∠DAB＝∠ACM，
∵∠MAC＝∠DAE＝∠EBA，AB＝AC，
∴△BAD≌△ACM（ASA），
∴AD＝MC，AM＝BD，
∵AF∥MC，
∴，
即＝；
②∵∠DEA＝∠BEA，
∴△EBA∽△EAD，
∵＝，
∴AE＝2DE，BE＝2AE＝4DE，
∴BD＝BE﹣DE＝3DE，
则EA：BD＝2DE：3ED＝2：3，
∵BF∥CM，
∴＝，
∵△EAF∽△ECM，
∴，
∴，
∵AD＝1，
∴AF＝．
24．（12分）抛物线y＝x2+mx+m与x轴交于A，B（A点在B点左侧）两点．与y轴交于点C．
（1）如图，若点C在y轴负半轴上．且OB＝2OC．
①求m的值；
②点P为抛物线上的一点，连接AP交y轴于点Q，若PQ＝PC，求点P的坐标．
（2）另一条抛物线y＝x2+nx+n与x轴交于D，E两点（点D在点B的右边，在点E的左边），若AB＝BD＝DE，求m，n的值．
【分析】（1）①由抛物线解析式可以求出C点坐标，得到OC的长度，因为OB＝2OC，可以写出B点坐标，将B点坐标代入到抛物线解析式中，得到m的方程，即可求解；
②由①可以得到抛物线解析式，得到A，B，C坐标，设直线AP为y＝k（x+），令x＝0，得y＝，得到Q（0，），过P做PG⊥y轴于G，可以得到G是CQ的中点，由中点坐标公式，可以写出G点坐标，得到P点纵坐标，联立直线AP和抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以得到P点横坐标，将P点坐标代入到抛物线解析式中，可以得到k的方程，求解方程，即可解决；
（3）设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则x2+mx+m＝0，x1，x2是该方程的两根，利用根与系数的关系，可以用m表示出线段AB的长度，还可以求出A，B两点坐标，同理，用n表示出CD的长度和C，D的坐标，由AB＝CD，可以得到m与n的关系式，即m+n＝4，由AB＝BD，可以得到m与n的另一个关系式，将n＝m﹣4，代入其中，解出m，即可解决．
【解答】解：（1）①令x＝0，则y＝m，
∴C（0，m），
∵点C在y轴负半轴上，
∴OC＝﹣m，
∵OB＝2OC，
∴OB＝﹣2m，
∵抛物线y＝x2+mx+m与x轴交于A，B（A点在B点左侧）两点，
∴B（﹣2m，0），
将B点坐标代入到抛物线解析式中得2m2+m＝0，
∴m＝0或，
∵m＜0，
∴；
②由①可得抛物线解析式为，
令y＝0，则，
解得x＝1或，
∴，B（1，0），C（0，），
设直线AQ为y＝，
令x＝0，则y＝，
∴，
过P作PG⊥y轴于G，如图1，
∵PQ＝PC，
∴QG＝CG，
∴G（0，），
∴P的纵坐标为，
联立直线与抛物线解析式得，
化简得，，
∴，
∴xP＝k+1，
∴P的坐标为（k+1，），
将P点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
∴4k2+5k+1＝0，
∴或﹣1，
当k＝﹣1时，P点与Q点重合，舍去
当k＝时，P（），
即P（）；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则x2+mx+m＝0，
∴x1+x2＝﹣m．x1x2＝m，
∴AB＝＝，
同理，CD＝，
∵AB＝CD，
∴，
∴（m﹣n）（m+n+4）＝0，
∵m≠n，
∴m+n＝4，
解方程x2+mx+m＝0得，
x＝，
∴，B（），
同理，D（），E（，0），
∴BD＝，
∵AB＝BD，
∴
∴16（m2﹣4m）＝（m﹣n）2，
∵m+n＝4，
∴3m2﹣12m﹣4＝0，
∴，
∵点D在点B的右边，在点E的左边，
∴m＜n，
∴m＝2﹣，n＝2．
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日期：2021/8/10 22:51:15；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（四）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2020的绝对值等于（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
3．（3分）在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为（ ）
A．37.1℃ B．37.31℃ C．36.69℃ D．36.8℃
4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）由六个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，下列各图象中能正确表示y与x的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）现从四个数﹣2，﹣1，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y＝ax2+bx中a，b的值．那么所得抛物线中，满足对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A（﹣1，y1），B（2，y2）．使不等式mx﹣n＞成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2，或0＜x＜1 B．﹣2＜x＜0，或x＞1
C．x＜﹣1，或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0，或x＞2
9．（3分）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+…+an，则S2020＝（ ）
A．63 B．63 C．64 D．64
10．（3分）如图，半⊙O的直径AB＝4．C为半圆弧上一动点，CD⊥AB于点D，则CD﹣BD的最大值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．4﹣4 D．2﹣2
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
12．（3分）不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是 事件（填随机，必然或不可能）．
13．（3分）计算﹣的结果为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段BD上一点，且AC＝CE，若∠DCE＝30°，则∠B的度数为 ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，其中两点A（x1，m），B（x2，n）满足x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则m与n的大小关系是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠ABC＝，D为BC的中点，E为AC上的一点，连接BE交AD于点F，若AE＝EF，则tan∠EBC＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3÷x﹣3x2•x3．
18．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：AD∥BC．
19．（8分）为保障防控“新冠肺炎”疫情期间中小学校“停课不停教、不停学”，根据武汉市教育局的部署，2月10日起，武汉市各中小学全面开展在线课程教学．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．
20．（8分）边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留作图痕迹．
（1）如图1，画一个格点三角形，使它的三边长分别是，2，所画三角形的面积为 ；
（2）如图2，格点四边形ABCD中，P为边AB上的一点，在边AD上画一点Q，使AQ＝AP．
21．（8分）点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，设BD与AC交于点E，若tan∠BDC＝，求的值．
22．（10分）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，延长BD至点E，连接AE，且∠ABE+∠CAE＝180°．
（1）求证：AE2＝ED•EB；
（2）如图2，连接CE，延长BA交CE于点F．
①求证：＝；
②若AD＝1，AC＝2，直接写出AF的长．
24．（12分）抛物线y＝x2+mx+m与x轴交于A，B（A点在B点左侧）两点．与y轴交于点C．
（1）如图，若点C在y轴负半轴上．且OB＝2OC．
①求m的值；
②点P为抛物线上的一点，连接AP交y轴于点Q，若PQ＝PC，求点P的坐标．
（2）另一条抛物线y＝x2+nx+n与x轴交于D，E两点（点D在点B的右边，在点E的左边），若AB＝BD＝DE，求m，n的值．
2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2020的绝对值等于（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
【分析】当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a，据此求出2020的绝对值等于多少即可．
【解答】解：|2020|＝2020
故选：A．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：B．
3．（3分）在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为（ ）
A．37.1℃ B．37.31℃ C．36.69℃ D．36.8℃
【分析】根据题意将这位同学一周内的体温写出来相加再除以七，得出其体温的平均值．
【解答】解：根据题意检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”得这位同学在一周内的体温分别是37.1、36.7、36.5、37.1、37.2、36.4、36.6；
将（37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6）÷7＝36.8℃；
故选：D．
4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）由六个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：C．
6．（3分）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，下列各图象中能正确表示y与x的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点P在边BC、CD、DA上三段分析即可得解．
【解答】解：①点P在边BC上时，△ABP是底边为AB，高为BP，y与x是一次函数关系，y随x的增大而增大，
②点P在边CD上时，△ABP是底边为AB，高为BC，y不变；
③点P在边AD上时，△ABP是底边为AB，高为AP，y与x是一次函数关系，y随x的增大而减小直至为0；
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选：A．
7．（3分）现从四个数﹣2，﹣1，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y＝ax2+bx中a，b的值．那么所得抛物线中，满足对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，满足对称轴在y轴左侧的抛物线的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，满足对称轴在y轴左侧（﹣＜0，即＞0）的抛物线的结果有4个，
∴满足对称轴在y轴左侧的抛物线的概率为＝，
故选：C．
8．（3分）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A（﹣1，y1），B（2，y2）．使不等式mx﹣n＞成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2，或0＜x＜1 B．﹣2＜x＜0，或x＞1
C．x＜﹣1，或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0，或x＞2
【分析】根据直线y＝mx+n与直线y＝mx﹣n关于原点对称求得直线y＝mx﹣n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点（﹣2，﹣y2），（1，﹣y1），然后根据图象即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A（﹣1，y1），B（2，y2）．
∴一次函数y＝mx﹣n与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点A′（﹣2，﹣y2），（1，﹣y1），
由图象可知，使不等式mx﹣n＞成立的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
故选：A．
9．（3分）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+…+an，则S2020＝（ ）
A．63 B．63 C．64 D．64
【分析】由1+2+3+…+n＝结合+4＝2020，可得出前2020个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，4个，进而可得出S2020的值．
【解答】解：∵1+2+3+…+n＝，+4＝2020，
∴前2020个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，4个，
∴S2020＝1×63+4×＝63．
故选：B．
10．（3分）如图，半⊙O的直径AB＝4．C为半圆弧上一动点，CD⊥AB于点D，则CD﹣BD的最大值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．4﹣4 D．2﹣2
【分析】如图，连接OC，设BD＝x，CD﹣BD＝y．构建一元二次方程，利用判别式解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，设BD＝x，CD﹣BD＝y．
则有y＝﹣x，
∴y+x＝，
两边平方可得，2x2+（2y﹣4）x+y2＝0，
∵△≥0，
∴（2y﹣4）2﹣8y2≥0，
整理得，y2+4y﹣4≤0，
解得﹣2﹣2≤y≤﹣2+2，
∴y的最大值为2﹣2，
故选：D．
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝2．
故答案为：2．
12．（3分）不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是 必然 事件（填随机，必然或不可能）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：∵袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球，
∴至少有1个红球是必然事件，
故答案为：必然．
13．（3分）计算﹣的结果为 ．
【分析】先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算．
【解答】﹣＝＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段BD上一点，且AC＝CE，若∠DCE＝30°，则∠B的度数为 40° ．
【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质推出CD＝AD＝BD，由等腰三角形的性质推出∠DCB＝∠B，∠CEA＝∠A，由三角形外角的性质推出∠CEA＝∠BCE+∠B，进而得到∠A＝2∠B﹣30°，再根据直角三角形的性质即可求出∠B．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，∠A+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠DCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝∠B﹣30°，
∵AC＝CE，
∴∠CEA＝∠A，
∵∠CEA＝∠BCE+∠B，
∴∠A＝∠B﹣30°+∠B＝2∠B﹣30°，
∴2∠B﹣30°+∠B＝90°，
∴∠B＝40°，
故答案为：40°．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，其中两点A（x1，m），B（x2，n）满足x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则m与n的大小关系是 m＜n ．
【分析】由抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，得到抛物线开口向上，而函数的对称轴为直线x＝1；由x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，得到A、B两点在对称轴的两侧，且点B离对称轴远，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，则抛物线开口向上，
而函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则A、B两点在对称轴的两侧，且点B离对称轴远，
故m＜n，
故答案为：m＜n．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠ABC＝，D为BC的中点，E为AC上的一点，连接BE交AD于点F，若AE＝EF，则tan∠EBC＝ ．
【分析】过D作DH∥BE交AC于H，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得DH＝AH，根据线段中点的定义，得到BD＝CD＝BC＝2x，设CH＝y，得到DH＝AH＝3x﹣y，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵tan∠ABC＝＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x，
∵AE＝EF，
∴∠AFE＝∠EAF，
过D作DH∥BE交AC于H，
∴∠ADH＝∠DAH，
∴∠ADH＝∠DAH，
∴DH＝AH，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2x，
设CH＝y，
∴DH＝AH＝3x﹣y，
∵∠C＝90°，
∴DH2＝CD2+CH2，
∴（3x﹣y）2＝（2x）2+y2，
解得y＝x，
∵DH∥BE，
∴∠HDC＝∠CBE，
∴tan∠EBC＝tan∠CDH＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：（2x2）3÷x﹣3x2•x3．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝8x6÷x﹣3x5，
＝8x5﹣3x5
＝5x5．
18．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：AD∥BC．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠AED＝180°，
∴∠1＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴∠D＝∠DAF，
∵∠C＝∠D，
∴∠DAF＝∠C，
∴AD∥BC．
19．（8分）为保障防控“新冠肺炎”疫情期间中小学校“停课不停教、不停学”，根据武汉市教育局的部署，2月10日起，武汉市各中小学全面开展在线课程教学．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生3000人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生总人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出在线听课的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中在线讨论的人数和（1）中求得的总人数，可以计算出扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：18÷20%＝90（人），
在线听课的学生有：90﹣（24+18+12）＝36（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；
（3）3000×＝800（人），
即估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生有800人．
20．（8分）边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留作图痕迹．
（1）如图1，画一个格点三角形，使它的三边长分别是，2，所画三角形的面积为 3 ；
（2）如图2，格点四边形ABCD中，P为边AB上的一点，在边AD上画一点Q，使AQ＝AP．
【分析】（1）根据勾股定理，利用网格即可作出符合条件的三角形，再利用割补法计算三角形的面积；
（2）连接AC，DP交于点O，连接BO交AD于点Q，可得AQ＝AP．
【解答】解：（1）如图1，三角形ABC即为所求；
三角形的面积为：2×4﹣1×2﹣2×2﹣1×4＝8﹣1﹣2﹣2＝3；
故答案为：3．
（2）如图2，连接AC，DP交于点O，连接BO交AD于点Q，则AQ＝AP．
点Q即为所求．
21．（8分）点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，设BD与AC交于点E，若tan∠BDC＝，求的值．
【分析】（1）根据切线的性质及平行线的性质推出∠DAC＝∠OCA，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA，从而得到∠DAC＝∠OAC，即可证明AC平分∠DAB；
（2）根据题意作出相关辅助线，易推出四边形DCGF是矩形，根据tan∠DBF＝tan∠BDC＝＝，设DF＝CE＝3k，BF＝8k，OA＝OC＝OB＝r，根据三角形中位线的性质及直角三角形三边关系推出r＝，进而根据矩形的性质及线段之间的和差关系用含k的式子来表示出各线段的长度，再由BH∥AD推出∠BAC＝∠H，以及对顶角△ADE∽△HBE推出△ADE∽△HBE，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图①，
连接OC，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
又AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图②，
连接OC，AD与⊙O交于点F，连接BF，BF与OC交于点G，过点B作BH∥AD，且与AC的延长线交于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴BF⊥AD，又CD⊥AD，
∴BF∥CD，
∴∠BDC＝∠DBF，
由（1）得AD∥OC，
∴四边形DCGF是矩形，
∵tan∠BDC＝，
∴tan∠DBF＝tan∠BDC＝＝，
∴设DF＝CE＝3k，BF＝8k，OA＝OC＝OB＝r，
∵OG∥AF，OA＝OB，
∴BG＝BF＝4k，OG＝OC﹣CE＝r﹣3k，AF＝2OG，
在Rt△BOE中，OB2＝BG2+OG2，
即r2＝（4k）2+（r﹣3k）2，
∴r＝，
∵BH∥AD，
∴∠DAH＝∠H，
由（1）可知∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠H，
∴BH＝AB＝2r＝，
AF＝2×（﹣3k）＝，AD＝AF+DF＝+3k＝，
∵∠AED＝∠HEC，
∴△ADE∽△HBE，
∴＝，即＝＝．
22．（10分）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果．
【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；
（2）①写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时y的最大值，两者比较即可得出答案；②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，解得此时符合题意的天数；当9≤x＜15时，令y＝330得一元二次方程，解方程，根据二次函数与一元二次方程的关系可得此时符合题意的天数，两种情况的天数之和即为所求．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴x＝0.1＝10%，
∴该种水果每次降价的百分率为10%；
（2）①当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元），
∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x）
＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大，最大值为：
y＝﹣17.7×1+352＝334.3；
当9≤x＜15时，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）
＝﹣3x2+60x+80
＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380．
综上所述，
y＝，第10天时的销售利润最大；
②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，
解得：x≤，
有1天的销售利润不低于330元；
当9≤x＜15时，令y＝330得：
﹣3x2+60x+80＝330，
解得：x1＝10+，x2＝10﹣，
∴当10﹣＜x＜10+时，﹣3x2+60x+80≥330，
又∵9≤x＜15，
∴9≤x＜10+，
∴有6天的销售利润不低于330元．
综上所述，共有7天的销售利润不低于330元．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，延长BD至点E，连接AE，且∠ABE+∠CAE＝180°．
（1）求证：AE2＝ED•EB；
（2）如图2，连接CE，延长BA交CE于点F．
①求证：＝；
②若AD＝1，AC＝2，直接写出AF的长．
【分析】（1）由∠ABE+∠CAE＝180°，∠DAE+∠EAC＝180°，得到∠DBA＝∠DAE，进而求解；
（2）①证明△BAD≌△ACM（ASA），再有AF∥MC得到，即可求解；
②由△EBA∽△EAD则到＝，则EA：BD＝2DE：3ED＝2：3；由BF∥CM得到＝，进而求解．
【解答】解：（1）∵∠ABE+∠CAE＝180°，∠DAE+∠EAC＝180°，
∴∠DBA＝∠DAE，
∵∠E＝∠E，
∴△EBA∽△EAD，
∴AE2＝ED•EB；
（2）①过点C作BF的平行线交EA的延长线于点M，
∴∠DAB＝∠ACM，
∵∠MAC＝∠DAE＝∠EBA，AB＝AC，
∴△BAD≌△ACM（ASA），
∴AD＝MC，AM＝BD，
∵AF∥MC，
∴，
即＝；
②∵∠DEA＝∠BEA，
∴△EBA∽△EAD，
∵＝，
∴AE＝2DE，BE＝2AE＝4DE，
∴BD＝BE﹣DE＝3DE，
则EA：BD＝2DE：3ED＝2：3，
∵BF∥CM，
∴＝，
∵△EAF∽△ECM，
∴，
∴，
∵AD＝1，
∴AF＝．
24．（12分）抛物线y＝x2+mx+m与x轴交于A，B（A点在B点左侧）两点．与y轴交于点C．
（1）如图，若点C在y轴负半轴上．且OB＝2OC．
①求m的值；
②点P为抛物线上的一点，连接AP交y轴于点Q，若PQ＝PC，求点P的坐标．
（2）另一条抛物线y＝x2+nx+n与x轴交于D，E两点（点D在点B的右边，在点E的左边），若AB＝BD＝DE，求m，n的值．
【分析】（1）①由抛物线解析式可以求出C点坐标，得到OC的长度，因为OB＝2OC，可以写出B点坐标，将B点坐标代入到抛物线解析式中，得到m的方程，即可求解；
②由①可以得到抛物线解析式，得到A，B，C坐标，设直线AP为y＝k（x+），令x＝0，得y＝，得到Q（0，），过P做PG⊥y轴于G，可以得到G是CQ的中点，由中点坐标公式，可以写出G点坐标，得到P点纵坐标，联立直线AP和抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以得到P点横坐标，将P点坐标代入到抛物线解析式中，可以得到k的方程，求解方程，即可解决；
（3）设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则x2+mx+m＝0，x1，x2是该方程的两根，利用根与系数的关系，可以用m表示出线段AB的长度，还可以求出A，B两点坐标，同理，用n表示出CD的长度和C，D的坐标，由AB＝CD，可以得到m与n的关系式，即m+n＝4，由AB＝BD，可以得到m与n的另一个关系式，将n＝m﹣4，代入其中，解出m，即可解决．
【解答】解：（1）①令x＝0，则y＝m，
∴C（0，m），
∵点C在y轴负半轴上，
∴OC＝﹣m，
∵OB＝2OC，
∴OB＝﹣2m，
∵抛物线y＝x2+mx+m与x轴交于A，B（A点在B点左侧）两点，
∴B（﹣2m，0），
将B点坐标代入到抛物线解析式中得2m2+m＝0，
∴m＝0或，
∵m＜0，
∴；
②由①可得抛物线解析式为，
令y＝0，则，
解得x＝1或，
∴，B（1，0），C（0，），
设直线AQ为y＝，
令x＝0，则y＝，
∴，
过P作PG⊥y轴于G，如图1，
∵PQ＝PC，
∴QG＝CG，
∴G（0，），
∴P的纵坐标为，
联立直线与抛物线解析式得，
化简得，，
∴，
∴xP＝k+1，
∴P的坐标为（k+1，），
将P点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
∴4k2+5k+1＝0，
∴或﹣1，
当k＝﹣1时，P点与Q点重合，舍去
当k＝时，P（），
即P（）；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则x2+mx+m＝0，
∴x1+x2＝﹣m．x1x2＝m，
∴AB＝＝，
同理，CD＝，
∵AB＝CD，
∴，
∴（m﹣n）（m+n+4）＝0，
∵m≠n，
∴m+n＝4，
解方程x2+mx+m＝0得，
x＝，
∴，B（），
同理，D（），E（，0），
∴BD＝，
∵AB＝BD，
∴
∴16（m2﹣4m）＝（m﹣n）2，
∵m+n＝4，
∴3m2﹣12m﹣4＝0，
∴，
∵点D在点B的右边，在点E的左边，
∴m＜n，
∴m＝2﹣，n＝2．
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