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2023年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级四月调考数学模拟试卷（二）(含答案解析)
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这是一份2023年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级四月调考数学模拟试卷（二）(含答案解析)，共23页。试卷主要包含了 −2的倒数是，5D， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级四月调考数学模拟试卷（二）
1. −2的倒数是( )
A. 2 B. −2 C. 0.5 D. −0.5
2. 任意画一个三角形，其内角和是360∘.这个事件是( )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 不确定性事件
3. 下列常用的手机APP的图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. a4+a2=a6 B. a5⋅a2=a7 C. (ab5)2=ab10 D. a10÷a2=a5
5. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系是( )
A. a
A. 16 B. 18 C. 112 D. 116
8. 如图1，四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90∘，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t s，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示.当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为( )
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6
9. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，过半径OB的中点C作CD⊥OB交PA于点D，若PD=3，AD=5，则⊙O的半径长为( )
A. 2 7
B. 4 2
C. 3 3
D. 2 5
10. 把反比例函数C1：y=8x−1的图象绕O点顺时针旋转45∘后得到双曲线C2:x2−y2=16的图象.若直线y=kx与C2在第一，三象限交于A，B两点，且AB=2 34，则k的值是( )
A. 0.6 B. 0.8 C. ±0.8 D. ±0.6
11. 计算 (−4)2的结果是______.
12. 学校实行课后服务后，某班5个兴趣小组的人数分别为9，10，7，9，8，则这组数据的中位数是______.
13. 计算2aa2−16−1a−4的结果是______.
14. 如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8∘和10∘，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度约为______ .(参考数据：sin8∘≈425，tan8∘≈17，sin10∘≈950，tan10∘≈528).
15. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a−b+c=0.下列四个结论：
①若a>0，则c>0；
②若4a+2b+c<0，则a+b<0；
③若a=c，则抛物线的顶点坐标为(−1,0)；
④若c=−3a，b>0，点M(t,y1)，N(t+1,y2)在抛物线上，当t<12时，y2>y1.
其中正确的是______(填写序号).
16. 如图，正方形ABCD的对角线AC⊥AE，射线EB交射线DC于点F，连结AF，若AF= 2BF，AE=4，则BE的长为______.
17. 解不等式组：{3x+1>x−3①x−2⩽0②，请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______.
18. 如图，DE//BC，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，∠1=40∘.
(1)求∠2的度数；
(2)若CD平分∠ACB，求∠A的度数.
19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组(60≤x<70)、B组(70≤x<80)、C组(80≤x<90)、D组(90≤x≤100)，并绘制出如图不完整的统计图.
(1)被抽取的学生一共有______ 人；并把条形统计图补完整；
(2)所抽取学生成绩的中位数落在______ 组内；扇形A的圆心角度数是______ ；
(3)若该学校有1300名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF=BF.
(1)求证：DF为半圆O的切线；
(2)若AC=6，BC=4，CF=1，求半圆O的半径长.
21. 用无刻度直尺作图：
(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45∘；
(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；
(3)如图2，在AB上作点N，使ANBN=13；
(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC.
22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1(米)与小钢球运动时间x(秒)之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2(米)与它的运动时间x(秒)之间的函数关系如图中抛物线所示．
(1)直接写出y1与x之间的函数关系式；
(2)求出y2与x之间的函数关系式；
(3)小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
23. 已知△ABC是等边三角形，D是直线AB上的一点.
(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=AE，CD与BE交于点F，求证：∠EFC=60∘；
(2)点G，H分别在边BC，AC上，GH与CD交于点O，且∠HOC=60∘.
①尝试运用：如图2，点D在边AB上，且OHOG=43，求ABBD的值；
②类比拓展：如图3，点D在AB的延长线上，且OHOG=256，直接写出ABBD的值.
24. 如图，直线y=−2x+8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y=−x2+bx+c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N.
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；
(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF//BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y=−4x交于点H，若1EG−1FG=1HG，求点G的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2的倒数是：−12.
故选：D.
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是180∘，所以“任意画一个三角形，其内角和是360∘”是不可能事件．
故选：B.
根据三角形内角和是180度，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C.
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4.【答案】B
【解析】解：A、a4与a2无法合并，故此选项错误；
B、a5⋅a2=a7，正确；
C、(ab5)2=a2b10，故此选项错误；
D、a10÷a2=a8，故此选项错误；
故选：B.
直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：从上边看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：D.
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6.【答案】D
【解析】解：∵−(k2+1)<0，
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=−k2+1x的图象上，
∴点A(a,−3)，B(b,−2)在第四象限，点C(c,1)在第二象限，
∴b>a>0，c<0，
∴c
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．注意反比例函数的性质的叙述必须是在同一个象限内，y随x的增大而增大．
7.【答案】C
【解析】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为112；
故选：C.
可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD=2，△ADP面积为4，
则AD=4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB=5，则运动时间为5秒，
∴E(5,10)，
设当5
解得k=−65b=16，
∴当5
则S=7，
故选：A.
首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5
9.【答案】B
【解析】解：过点O作OM//PB交PA于M，连接PO，OA，
∵PB切⊙O于点B，
∴半径OB⊥PB，
∵CD⊥OB，
∴CD//PB，
∴PB//CD//OM，
∵OC=CB，
∴MD=DP=3，
∵PA切⊙O于A，
∴半径OA⊥PA，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)，
∴∠OPB=∠OPA，
∵∠MOP=∠OPB，
∴∠MOP=∠OPA，
∴OM=PM=2PD=2×3=6，
∵MA=PA−PM=3+5−6=2，
∴OA= OM2−MA2= 62−22=4 2，
∴⊙O的半径长是4 2.
故选：B.
过点O作OM//PB交PA于M，连接PO，OA，由平行线等分线段定理得到MD=PD=3，由Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)得∠OPB=∠OPA，由平行线的性质推出∠MOP=∠MPO得到OM=PM=6，由勾股定理即可求出半径的长．
本题考查切线的性质定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，关键是过点O作OM//PB交PA于M，由平行线等分线段定理推出DM=DP.
10.【答案】A
【解析】解：设A(m,mk)，
∵AB=2 34，
∴OA= 34，
则有m2+m2k2=34m2−m2k2=16，
解得m2=25m2k2=9，
∴k2=925，
∵k>0，
∴k=35，
故选：A.
设A(m,mk)，构建方程组，求出k2，.可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】4
【解析】解： (−4)2= 16=4.
故答案为：4.
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
12.【答案】9
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，9，9，10，所以中位数为9.
故答案为：9.
根据中位数和平均数的求解即可．
此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】1a+4
【解析】解：原式=2a(a+4)(a−4)−a+4(a+4)(a−4)
=2a−a−4(a+4)(a−4)
=a−4(a+4)(a−4)
=1a+4.
故答案为：1a+4
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
14.【答案】1米
【解析】解：过点A作AD⊥MN，垂足为D，
设DC=x米，
∵BC=1.4米，
∴DB=DC+BC=(x+1.4)米，
在Rt△ADC中，∠ACD=10∘，
∴AD=CD⋅tan10∘≈528x(米)，
在Rt△ADB中，∠ABD=8∘，
∴AD=BD⋅tan8∘≈17(x+1.4)米，
∴528x=17(x+1.4)，
∴x=5.6，
∴AD=528x=1(米)，
∴该大灯距地面的高度约为1米．
故答案为：1米．
过点A作AD⊥MN，垂足为D，设DC=x米，则DB=(x+1.4)米，然后在Rt△ADC中，利用锐角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ADB中，利用锐角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】②③④
【解析】解：①∵a−b+c=0，∴c=b−a，若a>0，当b≤a时，则c≤0，故①的结论不正确；
②∵a−b+c=0，∴c=b−a，若4a+2b+c<0，则4a+2b+b−a<0，∴a+b<0，故②的结论正确；
③∵a−b+c=0，若a=c，则2a−b=0，即b=2a，∴−b2a=−2a2a=−1，4ac−b24a=4a2−(2a)24a=0，∴抛物线的顶点坐标为(−1,0)，故③的结论正确；
④∵a−b+c=0，若c=−3a，则a−b−3a=0，∴b=−2a，∴抛物线的对称轴为：x=−b2a=−−2a2a=1，∵b>0，∴a<0，∴抛物线开口向下，∵点M(t,y1)，N(t+1,y2)在抛物线上，∴t+t+12=1时，即t=12时，y1=y2，由函数图象可知当t<12时y2>y1，故④的结论正确；
故答案为：②③④．
①由a−b+c=0，得c=b−a，若a>0，讨论b≤a时c的取值范围，便可确定结论是否正确；
②由a−b+c=0，得c=b−a，再代入4a+2b+c<0中，得a+b的取值范围，便可确定结论是否正确；
③由a−b+c=0，a=c，得b=2a，再根据抛物线顶点公式求得顶点坐标便可确定结论是否正确；
④由a−b+c=0，c=−3a，得b=−2a，进而求得抛物线的对称轴方程，再结合b>0，得出a的正负情况，再根据点M(t,y1)，N(t+1,y2)在抛物线上，求出M、N点关于抛物线的对称轴对称时t的值，进而根据二次函数图象和性质便可确定结论正确与否．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的顶点坐标等问题，掌握相关知识是解题的关键．
16.【答案】2 10
【解析】解：如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=45∘，AB//CD，
∵BF2=BC2+CF2，AF2=AD2+DF2=AD2+(DC+CF)2，且AF= 2BF，
∴AD2+(DC+CF)2=2(BC2+CF2)，
∴CF=2BC，
设AB=BC=CD=AD=a，则CF=2a，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CFB，且∠BCF=∠BHE=90∘，
∴△BCF∽△EHB，
∴BCCF=EHBH=12，
∴BH=2EH，
∵AC⊥AE，∠CAB=45∘，
∴EH=AH，
∵AH2+EH2=AE2=16，
∴EH=AH=2 2，
∴BH=4 2，
∵BE2=BH2+EH2=32+8=40，
∴BE=2 10，
故答案为：2 10.
如图，过点E作EH⊥AB于H，由勾股定理可求CF=2BC，通过证明△BCF∽△EHB，可得BH=2EH，由勾股定理可得EH，即可求BH的长，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，求出BH=2EH是本题的关键．
17.【答案】x>−2x≤2−2
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为−2
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴GF//CD，
∴∠2=∠3，
∵DE//BC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠1=40∘，
∴∠2=40∘；
(2)∵DE//BC，
∴∠1=∠3，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠3，
∴∠ACD=∠1，
∵∠1=40∘，
∴∠ACD=40∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴∠A=180∘−∠ADC−∠ACD=180∘−90∘−40∘=50∘.
【解析】(1)易证GF//CD，则∠2=∠3，根据DE//BC，可得∠1=∠3，据此即可得解．
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠A的度数．
本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】60C36∘
【解析】解(1)∵B组人数为12人，所占的百分比为20%，
∴总人数为12÷20%=60(人)，
∴C组人数为60−6−12−18=24(人)，
条形统计图如图：
故答案为：60，补全条形统计图如图所示；
(2)根据中位数的定义，60个数中位数为第30，31个数的平均数，根据条形统计图可知第30，31个数都位于C组，
∴中位数落在C组，
扇形A的圆心角度数是360∘×660=36∘；
故答案为：C，36∘；
(3)1300×1860=390(人)，
答：估计这次竞赛成绩在D组的学生有390人．
(1)根据“B组”的频数、频率，由频率=频数÷频率，进行计算即可；
(2)根据中位数的意义求出中位数即可，求出样本中“A组”所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
(3)求出“D组”所占的百分比，估计总体中“D组”所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，理解两个统计图中数量之间的关系是正确简单的前提，掌握频率=频数÷频率是解决问题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OB，
∴∠ODA=∠A，
∵DF=BF，
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90∘，
∴∠ODA+∠FDB=∠A+∠B=90∘，
∴∠ODF=180∘−(∠ODA+∠FDB)=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是半圆O的切线．
(2)解：连接OF，设半圆O的半径长为r，
∵AC=6，BC=4，CF=1，
∴DF=BF=BC−CF=4−1=3，OC=AC−OA=6−r，
∵∠ODF=∠C=90∘，
∴OD2+DF2=OC2+CF2=OF2，
∴r2+32=(6−r)2+12，解得r=73，
∴半圆O的半径长是73.
【解析】(1)连接OD，则OD=OB，所以∠ODA=∠A，由DF=BF，得∠FDB=∠B，则∠ODA+∠FDB=∠A+∠B=90∘，所以∠ODF=180∘−(∠ODA+∠FDB)=90∘，即可证明DF是半圆O的切线；
(2)连接OF，设半圆O的半径长为r，由AC=6，BC=4，CF=1，得DF=BF=BC−CF=3，OC=AC−OA=6−r，根据据勾股定理得r2+32=(6−r)2+12=OF2，则r=73.
此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1，取格点Q，连接AQ，使AQ=AC，且AQ⊥AC，
连接CQ，交AB于点E，
则∠ACE=45∘，
即点E为所求．
(2)如图1，取AQ的中点P，连接FP交AB于点D，
∵点F为AC的中点，
∴PF//CQ，
∴∠AFD=∠ACE=45∘，
由图可知，∠B=45∘，
∴∠B=∠AFD，
∴∠ADF=∠ACB，
即点D为所求．
(3)如图2，点N即为所求．
(4)如图2，取格点G，连接CG，使∠ACG=45∘，
∵∠ABC=45∘+∠CBK，
∴作∠GCM=∠CBK即可，
取格点H，连接GH，CH，交AB于点M，使GH⊥CG，且GH：CG=1：4，
∴tan∠CBK=tan∠GCH=14，
∴∠GCM=∠CBK.
即点M为所求．
【解析】(1)取格点Q，连接AQ，使AQ=AC，且AQ⊥AC，连接CQ，交AB于点E，即可得∠ACE=45∘.
(2)取AQ的中点P，连接FP交AB于点D，则点D即为所求．
(3)利用网格特征作出点N即可．
(4)取格点G，连接CG，使∠ACG=45∘，再取格点H，连接GH，CH，交AB于点M，使GH⊥CG，且GH：CG=1：4，则点M即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵函数图象过点(0,30)和(1,35)，
则k+b=35b=30，
解得：k=5b=30，
∴y1与x之间的函数关系式为y1=5x+30；
(2)∵x=6时，y1=5×6+30=60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2=ax2+bx，
∴点(1,35)，(6,60)在抛物线y2=ax2+bx上，
∴a+b=3536a+6b=60，
解得：a=−5b=40，
∴y2=−5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2=−5x2+40x；
(3)设小钢球和无人机的高度差为y米，
由−5x2+40x=0得，x=0或x=8，
①1
∵a=−5<0，
∴抛物线开口向下，
又∵1
②6
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x=72，
∴当x>72时，y随x的增大而增大，
∵6
∵1254<70，
∴高度差的最大值为70米．
【解析】(1)先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)用待定系数法求函数解析式即可；
(3)当1
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC，
∵BD=AE，
∴△ABD≌△BCD(SAS)，
∴∠ABE=∠BCD，
∴∠EFC=∠BCF+∠FBC=∠ABE+∠CBF=60∘；
(2)①在AC上截取AM=BD，连接BM交CD于点N，过点M作MP//AB交CD于点P，
由(1)可知∠MPC=60∘，
∵∠HOC=60∘，
∴GH//BM，
∴OHMN=COCN，OGBN=COCN，
∴OHMN=OGBN，
∵OHOG=43，
∴MNBN=43，
设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x−a，
∵PM//AB，
∴PMBD=MNBN，即PMBD=43，
∴PM=43BD=43a，
∵PM//AB，
∴CMAC=PMAD，
∴x−ax=43ax−a，
解得x=3a或x=13a(舍)，
∴ABBD=3aa=3；
②延长CA至M，使AM=BD，连接MB交CD于点N，过点A作AP//MN交CD于点P，
由(1)可知∠MNC=60∘，
∴GH//MN，
∴OHMN=OGBN，
设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x+a，
∵OHOG=256，
∴MNBN=256，
∵AP//MN，
∴APNM=ACMC=xx+a，BNAP=BDAD=aa+x，
∴MN=x+ax⋅AP，BN=aa+x⋅AP，
∴256=x+ax⋅a+xa
解得x=23a或x=32a，
∴ABBD=23或32.
【解析】(1)利用SAS证明△ABD≌△BCD，再由等量代换证明∠EFC∠ABE+∠CBF=60∘；
(2)①在AC上截取AM=BD，连接BM交CD于点N，过点M作MP//AB交CD于点P，由(1)可知∠MPC=60∘，则GH//BM，再由平行线的性质可得OHMN=OGBN，即MNBN=43设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x−a，由PM//AB，可得PMBD=43，CMAC=PMAD，从而得到等式x−ax=43ax−a，求出x=3a，即可求ABBD=3；
②延长CA至M，使AM=BD，连接MB交CD于点N，过点A作AP//MN交CD于点P，由(1)可知∠MNC=60∘，则GH//MN，可得OHMN=OGBN，设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x+a，可知MNBN=256，再由AP//MN，分别得到APNM=ACMC=xx+a，BNAP=BDAD=aa+x，从而得到方程256=x+ax⋅a+xa，求出x=23a或x=32a，即可求ABBD=23或32.
本题考查相似的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=−2x+8分别交x轴，y轴于点B，C，
∴B(4,0)，C(0,8)，
∵抛物线y=−x2+bx+c过B，C两点，
∴−16+4b+c=0c=8，
解得：b=2c=8，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+8；
(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形．理由如下：
设P(t,−2t+8)，
∵PD⊥x轴，
∴PD//y轴，即PQ//y轴，
则Q(t,−t2+2t+8)，
∴PQ=−t2+2t+8−(−2t+8)=−t2+4t，
∵y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，
∴抛物线的顶点为M(1,9)，对称轴为直线x=1，
∴N(1,6)，
∴MN=9−6=3，MN//y轴，
∴PQ//MN，
要使四边形MNPQ为菱形，必须PQ=MN=PN，
由−t2+4t=3，
解得：t=1或t=3，
当t=1时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；
当t=3时，P(3,2)，Q(3,5)，
∴PQ=5−2=3，
∴PQ=MN，
∵PQ//MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵PN= (3−1)2+(2−6)2=2 5，
∴PN≠MN，
故四边形MNPQ不能为菱形．
(3)如图(2)，连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，
设G(0,m)，
∵EF//BC，直线BC：y=−2x+8，
∴直线EF的解析式为y=−2x+m，
∵直线EF与直线y=−4x交于点H，
∴y=−4xy=−2x+m，
解得：x=−12my=2m，
∴H(−12m,2m)，
∴HK=−12m，GK=−m，
在Rt△GHK中，HG= HK2+GK2= (−12m)2+(−m)2=− 52m，
∵直线EF与抛物线交于点E，F，
∴−x2+2x+8=−2x+m，
整理得：x2−4x+m−8=0，
∴xE+xF=4，xExF=m−8，
在Rt△BOC中，OB=4，OC=8，
∴BC= OB2+OC2= 42+82=4 5，
∴sin∠BCO=OBBC=44 5= 55，
∵EF//BC，
∴∠FGT=∠EGL=∠BCO，
∴sin∠FGT=sin∠EGL=sin∠BCO= 55，
∴EG=ELsin∠EGL=−xE 55=− 5xE，FG=FTsin∠FGT=xF 55= 5xF，
∴1EG−1FG=FG−EGEG⋅FG= 5(xF+xE)−5xExF=4 5−5(m−8)，
∵1EG−1FG=1HG，
∴4 5−5(m−8)=1− 52m，
解得：m=−8，
∴点G的坐标为(0,−8).
【解析】(1)根据直线BC的解析式可求得B(4,0)，C(0,8)，代入抛物线y=−x2+bx+c即可求得答案；
(2)设P(t,−2t+8)，则Q(t,−t2+2t+8)，根据PQ//MN，PQ=MN，可得t=3，即P(3,2)，Q(3,5)，由两点间距离公式可得PN=2 5，由于PN≠MN，故四边形MNPQ不能为菱形．
(3)连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，设G(0,m)，由EF//BC，直线BC：y=−2x+8，可得直线EF的解析式为y=−2x+m，通过联立方程组可得H(−12m,2m)，进而求得HG=− 52m，根据直线EF：y=−2x+m与抛物线交于点E，F，可得x2−4x+m−8=0，运用根与系数关系可得：xE+xF=4，xExF=m−8，利用三角函数定义可得：EG=ELsin∠EGL=−xE 55=− 5xE，FG=FTsin∠FGT=xF 55= 5xF，再由1EG−1FG=1HG，建立方程求解即可得出答案．
本题属于二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系，解直角三角形、勾股定理、待定系数法求函数的解析式、平行四边形和菱形的判定等知识点，运用数形结合思想以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2023年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级四月调考数学模拟试卷（二）
1. −2的倒数是( )
A. 2 B. −2 C. 0.5 D. −0.5
2. 任意画一个三角形，其内角和是360∘.这个事件是( )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 不确定性事件
3. 下列常用的手机APP的图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. a4+a2=a6 B. a5⋅a2=a7 C. (ab5)2=ab10 D. a10÷a2=a5
5. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系是( )
A. a
A. 16 B. 18 C. 112 D. 116
8. 如图1，四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90∘，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t s，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示.当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为( )
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6
9. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，过半径OB的中点C作CD⊥OB交PA于点D，若PD=3，AD=5，则⊙O的半径长为( )
A. 2 7
B. 4 2
C. 3 3
D. 2 5
10. 把反比例函数C1：y=8x−1的图象绕O点顺时针旋转45∘后得到双曲线C2:x2−y2=16的图象.若直线y=kx与C2在第一，三象限交于A，B两点，且AB=2 34，则k的值是( )
A. 0.6 B. 0.8 C. ±0.8 D. ±0.6
11. 计算 (−4)2的结果是______.
12. 学校实行课后服务后，某班5个兴趣小组的人数分别为9，10，7，9，8，则这组数据的中位数是______.
13. 计算2aa2−16−1a−4的结果是______.
14. 如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8∘和10∘，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度约为______ .(参考数据：sin8∘≈425，tan8∘≈17，sin10∘≈950，tan10∘≈528).
15. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a−b+c=0.下列四个结论：
①若a>0，则c>0；
②若4a+2b+c<0，则a+b<0；
③若a=c，则抛物线的顶点坐标为(−1,0)；
④若c=−3a，b>0，点M(t,y1)，N(t+1,y2)在抛物线上，当t<12时，y2>y1.
其中正确的是______(填写序号).
16. 如图，正方形ABCD的对角线AC⊥AE，射线EB交射线DC于点F，连结AF，若AF= 2BF，AE=4，则BE的长为______.
17. 解不等式组：{3x+1>x−3①x−2⩽0②，请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______.
18. 如图，DE//BC，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，∠1=40∘.
(1)求∠2的度数；
(2)若CD平分∠ACB，求∠A的度数.
19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组(60≤x<70)、B组(70≤x<80)、C组(80≤x<90)、D组(90≤x≤100)，并绘制出如图不完整的统计图.
(1)被抽取的学生一共有______ 人；并把条形统计图补完整；
(2)所抽取学生成绩的中位数落在______ 组内；扇形A的圆心角度数是______ ；
(3)若该学校有1300名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF=BF.
(1)求证：DF为半圆O的切线；
(2)若AC=6，BC=4，CF=1，求半圆O的半径长.
21. 用无刻度直尺作图：
(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45∘；
(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；
(3)如图2，在AB上作点N，使ANBN=13；
(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC.
22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1(米)与小钢球运动时间x(秒)之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2(米)与它的运动时间x(秒)之间的函数关系如图中抛物线所示．
(1)直接写出y1与x之间的函数关系式；
(2)求出y2与x之间的函数关系式；
(3)小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
23. 已知△ABC是等边三角形，D是直线AB上的一点.
(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=AE，CD与BE交于点F，求证：∠EFC=60∘；
(2)点G，H分别在边BC，AC上，GH与CD交于点O，且∠HOC=60∘.
①尝试运用：如图2，点D在边AB上，且OHOG=43，求ABBD的值；
②类比拓展：如图3，点D在AB的延长线上，且OHOG=256，直接写出ABBD的值.
24. 如图，直线y=−2x+8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y=−x2+bx+c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N.
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；
(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF//BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y=−4x交于点H，若1EG−1FG=1HG，求点G的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2的倒数是：−12.
故选：D.
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是180∘，所以“任意画一个三角形，其内角和是360∘”是不可能事件．
故选：B.
根据三角形内角和是180度，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C.
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4.【答案】B
【解析】解：A、a4与a2无法合并，故此选项错误；
B、a5⋅a2=a7，正确；
C、(ab5)2=a2b10，故此选项错误；
D、a10÷a2=a8，故此选项错误；
故选：B.
直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：从上边看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：D.
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6.【答案】D
【解析】解：∵−(k2+1)<0，
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=−k2+1x的图象上，
∴点A(a,−3)，B(b,−2)在第四象限，点C(c,1)在第二象限，
∴b>a>0，c<0，
∴c
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．注意反比例函数的性质的叙述必须是在同一个象限内，y随x的增大而增大．
7.【答案】C
【解析】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为112；
故选：C.
可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD=2，△ADP面积为4，
则AD=4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB=5，则运动时间为5秒，
∴E(5,10)，
设当5
解得k=−65b=16，
∴当5
则S=7，
故选：A.
首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5
9.【答案】B
【解析】解：过点O作OM//PB交PA于M，连接PO，OA，
∵PB切⊙O于点B，
∴半径OB⊥PB，
∵CD⊥OB，
∴CD//PB，
∴PB//CD//OM，
∵OC=CB，
∴MD=DP=3，
∵PA切⊙O于A，
∴半径OA⊥PA，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)，
∴∠OPB=∠OPA，
∵∠MOP=∠OPB，
∴∠MOP=∠OPA，
∴OM=PM=2PD=2×3=6，
∵MA=PA−PM=3+5−6=2，
∴OA= OM2−MA2= 62−22=4 2，
∴⊙O的半径长是4 2.
故选：B.
过点O作OM//PB交PA于M，连接PO，OA，由平行线等分线段定理得到MD=PD=3，由Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)得∠OPB=∠OPA，由平行线的性质推出∠MOP=∠MPO得到OM=PM=6，由勾股定理即可求出半径的长．
本题考查切线的性质定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，关键是过点O作OM//PB交PA于M，由平行线等分线段定理推出DM=DP.
10.【答案】A
【解析】解：设A(m,mk)，
∵AB=2 34，
∴OA= 34，
则有m2+m2k2=34m2−m2k2=16，
解得m2=25m2k2=9，
∴k2=925，
∵k>0，
∴k=35，
故选：A.
设A(m,mk)，构建方程组，求出k2，.可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】4
【解析】解： (−4)2= 16=4.
故答案为：4.
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
12.【答案】9
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，9，9，10，所以中位数为9.
故答案为：9.
根据中位数和平均数的求解即可．
此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】1a+4
【解析】解：原式=2a(a+4)(a−4)−a+4(a+4)(a−4)
=2a−a−4(a+4)(a−4)
=a−4(a+4)(a−4)
=1a+4.
故答案为：1a+4
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
14.【答案】1米
【解析】解：过点A作AD⊥MN，垂足为D，
设DC=x米，
∵BC=1.4米，
∴DB=DC+BC=(x+1.4)米，
在Rt△ADC中，∠ACD=10∘，
∴AD=CD⋅tan10∘≈528x(米)，
在Rt△ADB中，∠ABD=8∘，
∴AD=BD⋅tan8∘≈17(x+1.4)米，
∴528x=17(x+1.4)，
∴x=5.6，
∴AD=528x=1(米)，
∴该大灯距地面的高度约为1米．
故答案为：1米．
过点A作AD⊥MN，垂足为D，设DC=x米，则DB=(x+1.4)米，然后在Rt△ADC中，利用锐角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ADB中，利用锐角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】②③④
【解析】解：①∵a−b+c=0，∴c=b−a，若a>0，当b≤a时，则c≤0，故①的结论不正确；
②∵a−b+c=0，∴c=b−a，若4a+2b+c<0，则4a+2b+b−a<0，∴a+b<0，故②的结论正确；
③∵a−b+c=0，若a=c，则2a−b=0，即b=2a，∴−b2a=−2a2a=−1，4ac−b24a=4a2−(2a)24a=0，∴抛物线的顶点坐标为(−1,0)，故③的结论正确；
④∵a−b+c=0，若c=−3a，则a−b−3a=0，∴b=−2a，∴抛物线的对称轴为：x=−b2a=−−2a2a=1，∵b>0，∴a<0，∴抛物线开口向下，∵点M(t,y1)，N(t+1,y2)在抛物线上，∴t+t+12=1时，即t=12时，y1=y2，由函数图象可知当t<12时y2>y1，故④的结论正确；
故答案为：②③④．
①由a−b+c=0，得c=b−a，若a>0，讨论b≤a时c的取值范围，便可确定结论是否正确；
②由a−b+c=0，得c=b−a，再代入4a+2b+c<0中，得a+b的取值范围，便可确定结论是否正确；
③由a−b+c=0，a=c，得b=2a，再根据抛物线顶点公式求得顶点坐标便可确定结论是否正确；
④由a−b+c=0，c=−3a，得b=−2a，进而求得抛物线的对称轴方程，再结合b>0，得出a的正负情况，再根据点M(t,y1)，N(t+1,y2)在抛物线上，求出M、N点关于抛物线的对称轴对称时t的值，进而根据二次函数图象和性质便可确定结论正确与否．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的顶点坐标等问题，掌握相关知识是解题的关键．
16.【答案】2 10
【解析】解：如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=45∘，AB//CD，
∵BF2=BC2+CF2，AF2=AD2+DF2=AD2+(DC+CF)2，且AF= 2BF，
∴AD2+(DC+CF)2=2(BC2+CF2)，
∴CF=2BC，
设AB=BC=CD=AD=a，则CF=2a，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CFB，且∠BCF=∠BHE=90∘，
∴△BCF∽△EHB，
∴BCCF=EHBH=12，
∴BH=2EH，
∵AC⊥AE，∠CAB=45∘，
∴EH=AH，
∵AH2+EH2=AE2=16，
∴EH=AH=2 2，
∴BH=4 2，
∵BE2=BH2+EH2=32+8=40，
∴BE=2 10，
故答案为：2 10.
如图，过点E作EH⊥AB于H，由勾股定理可求CF=2BC，通过证明△BCF∽△EHB，可得BH=2EH，由勾股定理可得EH，即可求BH的长，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，求出BH=2EH是本题的关键．
17.【答案】x>−2x≤2−2
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为−2
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴GF//CD，
∴∠2=∠3，
∵DE//BC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠1=40∘，
∴∠2=40∘；
(2)∵DE//BC，
∴∠1=∠3，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠3，
∴∠ACD=∠1，
∵∠1=40∘，
∴∠ACD=40∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴∠A=180∘−∠ADC−∠ACD=180∘−90∘−40∘=50∘.
【解析】(1)易证GF//CD，则∠2=∠3，根据DE//BC，可得∠1=∠3，据此即可得解．
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠A的度数．
本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】60C36∘
【解析】解(1)∵B组人数为12人，所占的百分比为20%，
∴总人数为12÷20%=60(人)，
∴C组人数为60−6−12−18=24(人)，
条形统计图如图：
故答案为：60，补全条形统计图如图所示；
(2)根据中位数的定义，60个数中位数为第30，31个数的平均数，根据条形统计图可知第30，31个数都位于C组，
∴中位数落在C组，
扇形A的圆心角度数是360∘×660=36∘；
故答案为：C，36∘；
(3)1300×1860=390(人)，
答：估计这次竞赛成绩在D组的学生有390人．
(1)根据“B组”的频数、频率，由频率=频数÷频率，进行计算即可；
(2)根据中位数的意义求出中位数即可，求出样本中“A组”所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
(3)求出“D组”所占的百分比，估计总体中“D组”所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，理解两个统计图中数量之间的关系是正确简单的前提，掌握频率=频数÷频率是解决问题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OB，
∴∠ODA=∠A，
∵DF=BF，
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90∘，
∴∠ODA+∠FDB=∠A+∠B=90∘，
∴∠ODF=180∘−(∠ODA+∠FDB)=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是半圆O的切线．
(2)解：连接OF，设半圆O的半径长为r，
∵AC=6，BC=4，CF=1，
∴DF=BF=BC−CF=4−1=3，OC=AC−OA=6−r，
∵∠ODF=∠C=90∘，
∴OD2+DF2=OC2+CF2=OF2，
∴r2+32=(6−r)2+12，解得r=73，
∴半圆O的半径长是73.
【解析】(1)连接OD，则OD=OB，所以∠ODA=∠A，由DF=BF，得∠FDB=∠B，则∠ODA+∠FDB=∠A+∠B=90∘，所以∠ODF=180∘−(∠ODA+∠FDB)=90∘，即可证明DF是半圆O的切线；
(2)连接OF，设半圆O的半径长为r，由AC=6，BC=4，CF=1，得DF=BF=BC−CF=3，OC=AC−OA=6−r，根据据勾股定理得r2+32=(6−r)2+12=OF2，则r=73.
此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1，取格点Q，连接AQ，使AQ=AC，且AQ⊥AC，
连接CQ，交AB于点E，
则∠ACE=45∘，
即点E为所求．
(2)如图1，取AQ的中点P，连接FP交AB于点D，
∵点F为AC的中点，
∴PF//CQ，
∴∠AFD=∠ACE=45∘，
由图可知，∠B=45∘，
∴∠B=∠AFD，
∴∠ADF=∠ACB，
即点D为所求．
(3)如图2，点N即为所求．
(4)如图2，取格点G，连接CG，使∠ACG=45∘，
∵∠ABC=45∘+∠CBK，
∴作∠GCM=∠CBK即可，
取格点H，连接GH，CH，交AB于点M，使GH⊥CG，且GH：CG=1：4，
∴tan∠CBK=tan∠GCH=14，
∴∠GCM=∠CBK.
即点M为所求．
【解析】(1)取格点Q，连接AQ，使AQ=AC，且AQ⊥AC，连接CQ，交AB于点E，即可得∠ACE=45∘.
(2)取AQ的中点P，连接FP交AB于点D，则点D即为所求．
(3)利用网格特征作出点N即可．
(4)取格点G，连接CG，使∠ACG=45∘，再取格点H，连接GH，CH，交AB于点M，使GH⊥CG，且GH：CG=1：4，则点M即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵函数图象过点(0,30)和(1,35)，
则k+b=35b=30，
解得：k=5b=30，
∴y1与x之间的函数关系式为y1=5x+30；
(2)∵x=6时，y1=5×6+30=60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2=ax2+bx，
∴点(1,35)，(6,60)在抛物线y2=ax2+bx上，
∴a+b=3536a+6b=60，
解得：a=−5b=40，
∴y2=−5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2=−5x2+40x；
(3)设小钢球和无人机的高度差为y米，
由−5x2+40x=0得，x=0或x=8，
①1
∵a=−5<0，
∴抛物线开口向下，
又∵1
②6
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x=72，
∴当x>72时，y随x的增大而增大，
∵6
∵1254<70，
∴高度差的最大值为70米．
【解析】(1)先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)用待定系数法求函数解析式即可；
(3)当1
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC，
∵BD=AE，
∴△ABD≌△BCD(SAS)，
∴∠ABE=∠BCD，
∴∠EFC=∠BCF+∠FBC=∠ABE+∠CBF=60∘；
(2)①在AC上截取AM=BD，连接BM交CD于点N，过点M作MP//AB交CD于点P，
由(1)可知∠MPC=60∘，
∵∠HOC=60∘，
∴GH//BM，
∴OHMN=COCN，OGBN=COCN，
∴OHMN=OGBN，
∵OHOG=43，
∴MNBN=43，
设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x−a，
∵PM//AB，
∴PMBD=MNBN，即PMBD=43，
∴PM=43BD=43a，
∵PM//AB，
∴CMAC=PMAD，
∴x−ax=43ax−a，
解得x=3a或x=13a(舍)，
∴ABBD=3aa=3；
②延长CA至M，使AM=BD，连接MB交CD于点N，过点A作AP//MN交CD于点P，
由(1)可知∠MNC=60∘，
∴GH//MN，
∴OHMN=OGBN，
设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x+a，
∵OHOG=256，
∴MNBN=256，
∵AP//MN，
∴APNM=ACMC=xx+a，BNAP=BDAD=aa+x，
∴MN=x+ax⋅AP，BN=aa+x⋅AP，
∴256=x+ax⋅a+xa
解得x=23a或x=32a，
∴ABBD=23或32.
【解析】(1)利用SAS证明△ABD≌△BCD，再由等量代换证明∠EFC∠ABE+∠CBF=60∘；
(2)①在AC上截取AM=BD，连接BM交CD于点N，过点M作MP//AB交CD于点P，由(1)可知∠MPC=60∘，则GH//BM，再由平行线的性质可得OHMN=OGBN，即MNBN=43设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x−a，由PM//AB，可得PMBD=43，CMAC=PMAD，从而得到等式x−ax=43ax−a，求出x=3a，即可求ABBD=3；
②延长CA至M，使AM=BD，连接MB交CD于点N，过点A作AP//MN交CD于点P，由(1)可知∠MNC=60∘，则GH//MN，可得OHMN=OGBN，设BD=AM=a，AB=x，则AD=CM=x+a，可知MNBN=256，再由AP//MN，分别得到APNM=ACMC=xx+a，BNAP=BDAD=aa+x，从而得到方程256=x+ax⋅a+xa，求出x=23a或x=32a，即可求ABBD=23或32.
本题考查相似的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=−2x+8分别交x轴，y轴于点B，C，
∴B(4,0)，C(0,8)，
∵抛物线y=−x2+bx+c过B，C两点，
∴−16+4b+c=0c=8，
解得：b=2c=8，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+8；
(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形．理由如下：
设P(t,−2t+8)，
∵PD⊥x轴，
∴PD//y轴，即PQ//y轴，
则Q(t,−t2+2t+8)，
∴PQ=−t2+2t+8−(−2t+8)=−t2+4t，
∵y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，
∴抛物线的顶点为M(1,9)，对称轴为直线x=1，
∴N(1,6)，
∴MN=9−6=3，MN//y轴，
∴PQ//MN，
要使四边形MNPQ为菱形，必须PQ=MN=PN，
由−t2+4t=3，
解得：t=1或t=3，
当t=1时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；
当t=3时，P(3,2)，Q(3,5)，
∴PQ=5−2=3，
∴PQ=MN，
∵PQ//MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵PN= (3−1)2+(2−6)2=2 5，
∴PN≠MN，
故四边形MNPQ不能为菱形．
(3)如图(2)，连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，
设G(0,m)，
∵EF//BC，直线BC：y=−2x+8，
∴直线EF的解析式为y=−2x+m，
∵直线EF与直线y=−4x交于点H，
∴y=−4xy=−2x+m，
解得：x=−12my=2m，
∴H(−12m,2m)，
∴HK=−12m，GK=−m，
在Rt△GHK中，HG= HK2+GK2= (−12m)2+(−m)2=− 52m，
∵直线EF与抛物线交于点E，F，
∴−x2+2x+8=−2x+m，
整理得：x2−4x+m−8=0，
∴xE+xF=4，xExF=m−8，
在Rt△BOC中，OB=4，OC=8，
∴BC= OB2+OC2= 42+82=4 5，
∴sin∠BCO=OBBC=44 5= 55，
∵EF//BC，
∴∠FGT=∠EGL=∠BCO，
∴sin∠FGT=sin∠EGL=sin∠BCO= 55，
∴EG=ELsin∠EGL=−xE 55=− 5xE，FG=FTsin∠FGT=xF 55= 5xF，
∴1EG−1FG=FG−EGEG⋅FG= 5(xF+xE)−5xExF=4 5−5(m−8)，
∵1EG−1FG=1HG，
∴4 5−5(m−8)=1− 52m，
解得：m=−8，
∴点G的坐标为(0,−8).
【解析】(1)根据直线BC的解析式可求得B(4,0)，C(0,8)，代入抛物线y=−x2+bx+c即可求得答案；
(2)设P(t,−2t+8)，则Q(t,−t2+2t+8)，根据PQ//MN，PQ=MN，可得t=3，即P(3,2)，Q(3,5)，由两点间距离公式可得PN=2 5，由于PN≠MN，故四边形MNPQ不能为菱形．
(3)连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，设G(0,m)，由EF//BC，直线BC：y=−2x+8，可得直线EF的解析式为y=−2x+m，通过联立方程组可得H(−12m,2m)，进而求得HG=− 52m，根据直线EF：y=−2x+m与抛物线交于点E，F，可得x2−4x+m−8=0，运用根与系数关系可得：xE+xF=4，xExF=m−8，利用三角函数定义可得：EG=ELsin∠EGL=−xE 55=− 5xE，FG=FTsin∠FGT=xF 55= 5xF，再由1EG−1FG=1HG，建立方程求解即可得出答案．
本题属于二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系，解直角三角形、勾股定理、待定系数法求函数的解析式、平行四边形和菱形的判定等知识点，运用数形结合思想以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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