2023年湖北省武汉市名校导练九年级四月调考数学模拟试卷（二）（含解析）

2023年湖北省武汉市名校导练九年级四月调考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “某人投篮一次，投中篮筐”这一事件是(    )

A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件

3.  十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知点，在反比例函数的图象上，若，则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  龟兔赛跑是一个非常励志的寓言故事龟兔同时间出发，朝终点跑去，刚开始兔子遥遥领先，就偷懒睡起了大觉，乌龟却一直坚持不懈的努力前进，当兔子一觉醒来时，发现乌龟已经到达比赛的终点了若比赛中龟兔距出发点的距离单位：与出发时间单位：的关系如图，则乌龟追上兔子所需要的时间是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  甲、乙、丙、丁四个人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾的概率(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  正五角星中存在黄金分割数如图，在正五角星中，各边围成正五边形的边长为，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是______．

12.  在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下所示，则这些运动员成绩的中位数是______ ．

13.  计算的结果是______ ．

14.  一个三角形的零件形状如图所示，其中，，，则的长是______ ．

15.  已知抛物线是常数开口向上，过，两点其中，下列四个结论：
；
若，则；
对于任意实数，总有；
关于的一元二次方程必有两个不相等的数根．
其中正确的是______ 填写序号．

16.  锐角中，，，点，，分别在的三条边上，则周长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组，请按下列步骤完成解答．
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是______ ．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，，和的角平分线相交于点．
求证：；
求的大小．

19.  本小题分
为调查某校学生阅读情况，某部门就“每周阅读时长”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
每周阅读时长的频数分布表

每周阅读时长的扇形统计图

请根据图表信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______ 人， ______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
若该校约有名学生，请估计其中阅读时长超过小时的学生人数．

20.  本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．
求证：；
若，，，求的值．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，先将线段绕点逆时针旋转至，画出线段，连接交于点，再在上画点，使；
在图中，作出一点，使得．

 

22.  本小题分
某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达，整个赛道长，全天共可容纳约人滑雪嬉戏小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端处下滑，测得小明离处的距离单位：随运动时间单位：变化的数据，整理得下表．

经验证小明离处的距离与运动时间之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点的处操控一个无人机沿着赛道方向以的速度飞向小明，无人机离处的距离单位：与运动时间单位：之间是一次函数关系．
直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
小明滑完整个赛道需要耗时多久？
小明出发多久后与无人机相遇？

23.  本小题分
如图，在中，，，为边上的一点不与，重合，连接，将线段绕点逆时针旋转度得到，连接交于点，为的中点，连接．
如图，当时，若，请直接写出的值；
如图，当时，若，求的值；
如图，当时，若，直接写出的值用含的式子表示

 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点在左侧，与轴交于点．
直接写出，两点的坐标；
如图，当时，是第三象限内抛物线上一动点，连接，过点作，垂足为点，求的最大值；
如图，已知点，直线交抛物线于点，直线交抛物线于点，连接交轴于点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“某人投篮一次，投中篮筐”这一事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据立体图可知该俯视图是第一行有个小正方形，第二行左边有个小正方形．
故选：．
根据三视图的定义即可判断．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
点，在反比例函数的图象上，且，
，
点在第三象限，点在第一象限，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的特性，即可得出与的大小关系．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，当时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
乌龟的速度为：米，
，
即乌龟追上兔子所需要的时间是，
故选：．
根据图象中的数据，可以计算出乌龟的速度，再根据乌龟追上兔子时，乌龟前进的路程为米，然后即可计算出乌龟追上兔子所需要的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中甲不在排头，乙不在排尾的结果数为，
所以甲不在排头，乙不在排尾的概率．
故选：．
画树状图展示所以种等可能的结果，再找出甲不在排头，乙不在排尾的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，则，
根据图形可得：剩下的钢板面积




，
，，
，即剩下的钢板面积，
剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合；
故选：．
首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案．
本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
在正五角星中，，
五边形为正五边形，
，
，
，，
，
，，
，
，，
∽，
：：，
，
点为的黄金分割点，

即
同理可得点为的黄金分割点，，
．
故选：．
连接、，如图，利用正五边形的性质计算出，再证明，接着证明∽，利用相似比得到，则可判断点为的黄金分割点，所以，则可计算出，同理可得，然后计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了正五边形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用二次根式的性质“”和积的乘方可得结果．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质“”是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据图表可知题目中数据共有个，故中位数是按从小到大排列后第，第两个数的平均数作为中位数．
故这组数据的中位数是．
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个图表分析的不准确，没有考虑到共有个数据而不是个而错解．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算．
本题主要考查异分母分式的加减，利用因式分解进行通分，化成同分母分式是本题解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，从而可知，，再根据句锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线开口向上，
，
，即，正确；
，，
抛物线，
过，，
，，
，错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
对于任意实数，总有，即，正确；
抛物线开口向上，且与轴有两个交点，
抛物线与直线由两个交点，
关于的一元二次方程必有两个不相等的数根，正确．
故答案为：．
利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，由，即可求得，即可判断；由，得到抛物线，即可求得过，，得到，，求得，即可判断；根据二次函数的最值即可判断；抛物线与直线由两个交点，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，熟知二次函数的性质，函数与方程的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图在中，作于点，于点，

，，
，，
，
，
，
，
，
如图，连接，作关于的对称点，作关于的对称点，
连接交与、于，
连接、、、，

由对称得，，，
，
两点之间线段最短，
故为所求周长的最小值，
由对称得，，
为等腰三角形，
，，且，
，
当腰长最短时底边最短，
当时，
即，时，最短，
如图在中，作

，
，，
，
．
故答案为：．
根据等面积法求出，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，由两点之间线段最短，得为所求，证明出为等腰三角形，说明当腰长最短时底边最短，即当时，最短，再在中求出即可．
本题考查了两点间线段最短的应用，等腰三角形的性质的应用及勾股定理的计算是解题关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
．
．
解：由得，．
．
平分，平分，
，．
．
． 

【解析】根据同旁内角互补，两直线平行解决此题．
由平行线的性质，得根据角平分线的定义，平分，平分，得，，
进而推断出，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：本次调查的学生共有人，
，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，，；
人，
答：估计其中阅读时长超过小时的学生人数为人．
由组人数及其所占百分比可得总人数，根据个分组的人数之和等于总人数可得的值，用乘以组人数所占比例即可；
总人数乘以、组人数和所占比例即可．
本题考查了扇形统计图，频数分布表，样本估计整体，熟练掌握样本容量的计算，圆心角的计算是解题的关键．
 

20.【答案】证明：如图，连接，

点是的内心，
是的角平分线，
，
，
点是的内心，
是的角平分线，
，
，
；

由知，，
，
，
是等边三角形，
，
如图，过点作于，

则，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
． 

【解析】先判断出，，再用三角形的外角的性质判断出，即可得出结论；
先判断出是等边三角形，得出，进而得出，再根据勾股定理得出，，进而求出，再判断出∽，求出，最后判断出∽，即可求出答案．
此题主要考查了三角形的内心，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形求出是解本题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，线段，点，直线即为所求；
如图中，点即为所求是的外心，利用圆周角定理，可以解决问题．
 

【解析】利用旋转变换的性质作出线段，连接交于点，取的中点，作直线即可；
分别作出线段，线段的垂直平分线交于点，连接，，点即为所求
本题考查作图旋转变换，平行线的判定，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：设关于的函数解析式为，
将，，代入得：
，
解得，
；
根据题意得，
关于的函数解析式为，关于的函数解析式为；
在中，令得：
，
解得或舍去，
小明滑完整个赛道需要耗时；
由得：或，
小明出发与无人机相遇． 

【解析】设关于的函数解析式为，用待定系数法可得；根据题意得，
在中，令可解得小明滑完整个赛道需要耗时；
由可解得小明出发与无人机相遇．
本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
 

23.【答案】解：，
，
即：，
，，
≌，
，
，
，，
，
点是的中点，
；
如图，

延长至，是，连接，作于，
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
由知：≌，
，，
设，，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，

作，交于，
∽，，
，
不妨设，，则，
，
，
，
，
． 

【解析】可证得≌，从而得出，从而得出，进一步得出结果；
延长至，是，连接，作于，可证得四边形是平行四边形，从而，，设，，则，，解，从而得出，进一步得出结果；
作，交于，可得出∽，，从而得出，不妨设，，则，，可证得，进而得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

24.【答案】解：在中，令得：，
解得或，
，；
过作轴交于，如图：

当时，，
令得，
，
，
，直线解析式为，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的最大值是；
由，得直线解析式为，
联立，解得或，
，
由，得直线解析式为，
联立，解得或，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令得，
，
，
在中，令得，
，
，
，
的值是． 

【解析】在中，令可解得，；
过作轴交于，当时，，，即得，直线解析式为，而是等腰直角三角形，有，设，则，由二次函数性质可得答案；
由，得直线解析式为，联立，解得，同理可得，用待定系数法得直线解析式为，可得，，而，即可得的值是．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．