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2020年湖北省武汉十一崇仁中学中考数学模拟试卷（5月份）【含答案】
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这是一份2020年湖北省武汉十一崇仁中学中考数学模拟试卷（5月份）【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，五作为一步或第五，六作为一步或第六，七作为一步或第七，八作为一步或第八，九作为一步，共1种，等内容，欢迎下载使用。
2020年湖北省武汉十一崇仁中学中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有理数﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
3．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A．平均数、中位数 B．众数、方差
C．平均数、方差 D．众数、中位数
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．菱形
5．（3分）如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是（ ）
A．8x+3＝7x﹣4 B．
C． D．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数y＝的图象上有三点（x1，﹣1），B（x2，a），C（x3，3），当x3＜x2＜x1时，a的取值范围为（ ）
A．a＞3 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．a＞3或a＜﹣1
9．（3分）某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（ ）
A．21 B．28 C．35 D．36
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若＝，则tan∠B的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算﹣的结果是 ．
12．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到黑球，则盒子里白球的大约有 个．
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21°，则∠C＝ ．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB的解析式为y＝ax+2，顶点C，D在双曲线y＝（k＞0）上．若AB＝2AD，则k＝ ．
16．（3分）如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，＝m．若＝，则m＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：3a3•2a3+a8÷a2﹣（﹣2a2）3．
18．（8分）已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
19．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，武汉市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，恰好抽到1个男生和1个女生的概率为 ；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点．
（1）AB＝ ；＝ ；
（2）请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．试找一点M使DM∥AB，且DM＝AB．
21．（8分）已知如图：在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F．
（1）求证：∠EFC＝∠BFD；
（2）若F为半圆弧AB的中点，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．
22．（10分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小李决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）直接写该类型口罩销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系 （12≤x≤30）．
（2）小李为了让利给顾客，并获得840元利润，售价应定位多少？
（3）当售价定为多少时，小李获得利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．
（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；
②若BD＝3CD，求的值；
（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．
24．（12分）如图1，该抛物线是由y＝x2平移后得到，它的顶点坐标为（﹣，﹣），并与坐标轴分别交于A，B，C三点．
（1）求A，B的坐标．
（2）如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标．
（3）如图3，直线y＝ax+b（b＜0）与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E．若OD•OE＝3，请探索a与b的数量关系．并说明理由．
2020年湖北省武汉十一崇仁中学中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有理数﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据负数没有平方根判断即可确定出x的范围．
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则需x+1≥0，即x≥﹣1，
则x的取值范围是x≥﹣1，
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，弄清二次根式性质是解本题的关键．
3．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A．平均数、中位数 B．众数、方差
C．平均数、方差 D．众数、中位数
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是（ ）
A．8x+3＝7x﹣4 B．
C． D．
【分析】根据两人购买时的单价相同列方程即可得．
【解答】解：设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有可能出现的情况，让摸到至少有一个小球为蓝色的情况数除以情况总数即可解答．
【解答】如图所示：
红
红
蓝
蓝
红
红红
红蓝
红蓝
红
红红
红蓝
红蓝
蓝
蓝红
蓝红
蓝蓝
蓝
蓝红
蓝红
蓝蓝
共有12种可能，至少有一个小球为蓝色的有10种结果，
∴摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
8．（3分）反比例函数y＝的图象上有三点（x1，﹣1），B（x2，a），C（x3，3），当x3＜x2＜x1时，a的取值范围为（ ）
A．a＞3 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．a＞3或a＜﹣1
【分析】根据反比例函数的性质即可求得．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵A（x1，﹣1），C（x3，3），
∴A（x1，﹣1）在第四象限，C（x3，3）在第二象限，
∴x1＞0，x3＜0，
当x3＜x2＜0时，则a＞3，
当0＜x2＜x1时，则a＜﹣1，
故a的取值范围为a＞3或a＜﹣1，
故选：D．
【点评】考查反比例函数图象上的点的特点；k＜0，在同一象限内，y随x的增大而增大．
9．（3分）某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（ ）
A．21 B．28 C．35 D．36
【分析】先判断出有两次一步走2级，进而分情况统计即可得出结论．
【解答】解：从三楼到四楼的楼梯共9级且规定从三楼到四楼用7步走完，
所以，有两次必须一步两级，其余每级一步，
当第一、二级作为一步时，
第三、四作为一步或第四、五作为一步或第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共6种，
当第二、三级作为一步时，
第四、五作为一步或第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共5种，
当第三、四级作为一步时，
第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共4种，
当第四、五级作为一步时，
第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共3种，
当第五、六级作为一步时，
第七、八作为一步或第八、九作为一步，共2种，
当第六、七级作为一步时，
第八、九作为一步，共1种，
所以，走完台阶数的方法有：6+5+4+3+2+1＝21种，
故选：A．
【点评】此题是排列与组合问题，主要考查了分类讨论是思想，判断出有两次每一步需走两级是解本题的关键．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若＝，则tan∠B的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，根据垂径定理得到CH＝CD，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即即可得到结论．
【解答】解：连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，
∵＝，
∴设DE＝3x，CE＝5x，
∴CD＝8x，
∴CH＝CD＝4x，
∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，
∴∠EOC＝90°，
∴OC2＝CH•CE＝20x2，
∴OC＝2x，
∴OH＝2x，
∴OE＝＝x，
∵DF⊥AB，OC⊥AB，
∴DF∥OC，
∴△OCE∽△DFE，
∴＝＝，
∴DF＝x，EF＝x，
∴BF＝，
∴tan∠B＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算﹣的结果是 ﹣3 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：﹣＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，比较简单．
12．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到黑球，则盒子里白球的大约有 8 个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【解答】解：∵共摸球30次，其中10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为＝，
设盒子中共有白球x个，则
＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解．
故答案为：8．
【点评】本题考查了用样本估计总体．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先通分，再根据同分母分式加减法法则计算．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
14．（3分）如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21°，则∠C＝ 67° ．
【分析】设∠C＝α，根据AB＝CB，AC＝AD，即可得出∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：设∠C＝α，
∵AB＝CB，AC＝AD，
∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，
又∵∠BAD＝21°，
∴∠CAD＝α﹣21°，
∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴α﹣21°+α+α＝180°，
∴α＝67°，
∴∠C＝67°．
故答案为：67°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理等隐含条件．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB的解析式为y＝ax+2，顶点C，D在双曲线y＝（k＞0）上．若AB＝2AD，则k＝ 3 ．
【分析】过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，设AE＝a，根据相似三角形的性质可表示出D的坐标，同理可表示出点C的坐标（用a表示），然后根据点D、C在反比例函数的图象上得到关于a的方程，就可求得D的坐标，代入y＝（k＞0）即可求得．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，如图所示．
∵∠DEA＝∠AOB＝90°，∠EAD＝∠ABO＝90°﹣∠OAB，
∴△AED∽△BOA，
∴＝＝＝，
∴ED＝1，
设AE＝a，
∴OB＝2a，
∴点D（1，2+a）．
同理：点C（2a+1，a）．
∵点C、D都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴1×（2+a）＝（2a+1）•a，
∴a＝±1（负数舍去）．
∴点D的坐标为（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、相似三角形的性质等知识，求得点D、C的坐标是解决本题的关键．
16．（3分）如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，＝m．若＝，则m＝ ．
【分析】作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，易得△ABE∽△CEF，易证四边形BDCF为平行四边形，设BE＝3a，CD＝BF＝5a，可求EF＝4a，即可求出m的值．
【解答】解：作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，则∠AEB+∠CEF＝90°＝∠AEB+∠ABE，
∴∠ABE＝∠CEF，
∵∠A＝∠ECF＝90°
∴△ABE∽△CEF，
∴＝m，
∵＝m．
∴CF＝BD，
∵∠A＝∠ECF＝90°，
∴AB∥CF，
∴四边形BDCF为平行四边形，
设BE＝3a，CD＝BF＝5a，
在Rt△BEF中，EF＝，
∵＝m，
∴，
∴m＝，
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建相似形是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：3a3•2a3+a8÷a2﹣（﹣2a2）3．
【分析】直接利用单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝6a6+a6+8a6
＝15a6．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵EG∥HF
∴∠OEG＝∠OFH，
∵∠1＝∠2
∴∠AEF＝∠DFE
∴AB∥CD．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
19．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，武汉市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 30° ；
（2）若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，恰好抽到1个男生和1个女生的概率为 ；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【分析】（1）用“了解很少”部分的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；然后用“了解”部分所占的百分比乘以360°得到扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）画树状图为（分别用A、B表示两名女生，用C、D表示两名男生）展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）利用样本估计总体，用900乘以“了解”和“基本了解”所占的百分比的和即可．
【解答】解：（1）30÷50%＝60（人），
所以接受问卷调查的学生共有60人；
扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为×360°＝30°；
故答案为60；30°；
（2）画树状图为：（分别用A、B表示两名女生，用C、D表示两名男生）
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1个男生和1个女生的结果数为8，
所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率＝＝．
故答案为：．
（3）900×＝300（人），
所以估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点．
（1）AB＝ ；＝ 2 ；
（2）请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．试找一点M使DM∥AB，且DM＝AB．
【分析】（1）利用勾股定理以及平行线等分线段定理解决问题即可．
（2）取格点K，连接BK得到点M，连接DM即可．
【解答】解：（1）AB＝＝，AC＝
由平行线等分线段定理可知：＝2
故答案为：，2．
（2）如图，线段DM即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）已知如图：在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F．
（1）求证：∠EFC＝∠BFD；
（2）若F为半圆弧AB的中点，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．
【分析】（1）连接BD，圆心角、弧、弦间的关系得到∠BFD＝∠CDB；根据邻补角的定义和园内接四边形对角互补的性质推知∠EFC＝∠CDB，则∠EFC＝∠BFD；
（2）如图，连OF，OC，BC，由于∠EFC所在的三角形不是直角三角形，欲求求正切值，需要将其转化为求∠BCG的正切值，据此推知相关线段的长度即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB⊥CD 且AB为直径，
∴＝．
∴∠BFD＝∠CDB．
又∵∠EFC+∠CFB＝180°，
而∠CFB+∠CDB＝180°，
∴∠EFC＝∠CDB．
∴∠EFC＝∠BFD；
（2）解：如图，连OF，OC，BC，
可知∠EFC＝∠BFD＝∠BCG，
又F为半圆AB的中点，
∴∠FOB＝∠FOA＝90°，
∴OF∥CD，
∴OG：OB＝EF：FB＝2：3．
设OG＝2x，则0B＝OC＝3x，则CG＝x．
∴tan∠EFC＝tan∠BCG＝＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形以及圆心角、弧、弦的关系等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用好圆的有关基础知识．
22．（10分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小李决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）直接写该类型口罩销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系 y＝﹣10x+300 （12≤x≤30）．
（2）小李为了让利给顾客，并获得840元利润，售价应定位多少？
（3）当售价定为多少时，小李获得利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设利润为w，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出w关于x的函数关系式，代入w＝840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）由题意得：y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30），
故答案为：y＝﹣10x+300．
（2）设利润为w，则w＝（﹣10x+300）（x﹣10）＝840，
解得：x1＝16，x2＝24（舍去）
答：小李为了让利给顾客，售价应定为16元；
（3）w＝（﹣10x+300）（x﹣10）＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵12≤x≤30，a＝﹣10＜0，
∴x＝20 时，w最大值为1000，
答：当售价定为20元时，最大利润为1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
23．（10分）在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．
（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；
②若BD＝3CD，求的值；
（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．
【分析】（1）①由题意先判定△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，再判定△ABE≌△CAF（AAS），则可由全等三角形的性质及中线的定义可得答案；②过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，由两组角对应相等判定△ABE∽△CAG，再由CF∥BE判定△BED∽△CFD，由相似三角形的性质得两个比例等式，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，代入比例式化简计算可得答案．
（2）过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，利用等腰三角形的判定与性质进行推理，结合tan∠BED＝2，得出AG的长；利用勾股数得出FG与CG的长；由DE∥CG得出比例式，计算可求得BE的长．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠AFC，
∴在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF＝EF，
∴BE＝AF＝2EF＝2CF，
∴＝2；
②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，
∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，
∴∠AEB＝∠AGC，
∴△ABE∽△CAG，
∴＝．
∵CF∥BE，
∴△BED∽△CFD，
∴＝＝3，
设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，
∴＝，
解得：＝，
∴＝；
（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，
则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，
又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，
∴∠ACF＝∠F，
∴AF＝AC＝5，
又AE＝ED，
∴FG＝CG，
∴AG⊥CF，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴AD⊥AG，
∵tan∠BED＝2，
∴tan∠AEG＝2，
∵AE＝ED＝2，
∴＝2，
∴AG＝2AE＝4，
又∵AC＝5，
∴FG＝CG＝3，
∵DE∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴解得，BE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（12分）如图1，该抛物线是由y＝x2平移后得到，它的顶点坐标为（﹣，﹣），并与坐标轴分别交于A，B，C三点．
（1）求A，B的坐标．
（2）如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标．
（3）如图3，直线y＝ax+b（b＜0）与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E．若OD•OE＝3，请探索a与b的数量关系．并说明理由．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝（x+）2﹣＝x2+3x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣1，即可求解；
（2）如图，设直线CP交x轴于点H，故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G，设GH＝GA＝x，则GC＝4x，故AC＝GC﹣GA＝3x＝4，解得：x＝，则AH＝x＝，故点H（﹣，0），即可求解；
（3）直线PG的表达式为：y＝（m+4）x﹣（m+4）、直线BG的表达式为：y＝（n+4）x﹣（n+4）；故OD＝﹣（m+4），OE＝（n+4），OD•OE＝﹣（m+4）•（n+4）＝3，即﹣[mn+4（m+n）+16]＝3，而m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+）2﹣＝x2+3x﹣4…①，
令x＝0，则y＝﹣4，故点C（0，﹣4）；
令y＝0，则x＝4或﹣1，
故点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）；
（2）如图，设直线CP交x轴于点H，故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G，
tan∠BCO＝＝＝tan∠PCA＝tanα，
∵OA＝OC＝4，故∠BAC＝45°＝∠GAH，
设GH＝GA＝x，则GC＝4x，故AC＝GC﹣GA＝3x＝4，
解得：x＝，
则AH＝x＝，故点H（﹣，0），
由点CH的坐标得，CH的表达式为：y＝﹣x﹣4…②，
联立①②并解得：x＝0（舍去）或﹣，
故点P（﹣，﹣）；
（3）设点P、G的坐标分别为：（m，m2+3m﹣4）、（n，n2+3n﹣4），
由点P、B的坐标得，直线PG的表达式为：y＝（m+4）x﹣（m+4）；
同理直线BG的表达式为：y＝（n+4）x﹣（n+4）；
故OD＝﹣（m+4），OE＝（n+4），
直线y＝ax+b（b＜0）…③，
联立①③并整理得：x2+（3﹣a）x﹣b﹣4＝0，
故m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，
OD•OE＝﹣（m+4）•（n+4）＝3，
即﹣[mn+4（m+n）+16]＝3，而m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，
整理得：b＝4a+3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、韦达定理的运用等，其中（3），用韦达定理求解复杂数据是本题的难点．
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日期：2020/6/19 15:58:20；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080
2020年湖北省武汉十一崇仁中学中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有理数﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
3．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A．平均数、中位数 B．众数、方差
C．平均数、方差 D．众数、中位数
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．菱形
5．（3分）如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是（ ）
A．8x+3＝7x﹣4 B．
C． D．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数y＝的图象上有三点（x1，﹣1），B（x2，a），C（x3，3），当x3＜x2＜x1时，a的取值范围为（ ）
A．a＞3 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．a＞3或a＜﹣1
9．（3分）某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（ ）
A．21 B．28 C．35 D．36
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若＝，则tan∠B的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算﹣的结果是 ．
12．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到黑球，则盒子里白球的大约有 个．
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21°，则∠C＝ ．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB的解析式为y＝ax+2，顶点C，D在双曲线y＝（k＞0）上．若AB＝2AD，则k＝ ．
16．（3分）如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，＝m．若＝，则m＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：3a3•2a3+a8÷a2﹣（﹣2a2）3．
18．（8分）已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
19．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，武汉市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，恰好抽到1个男生和1个女生的概率为 ；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点．
（1）AB＝ ；＝ ；
（2）请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．试找一点M使DM∥AB，且DM＝AB．
21．（8分）已知如图：在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F．
（1）求证：∠EFC＝∠BFD；
（2）若F为半圆弧AB的中点，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．
22．（10分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小李决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）直接写该类型口罩销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系 （12≤x≤30）．
（2）小李为了让利给顾客，并获得840元利润，售价应定位多少？
（3）当售价定为多少时，小李获得利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．
（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；
②若BD＝3CD，求的值；
（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．
24．（12分）如图1，该抛物线是由y＝x2平移后得到，它的顶点坐标为（﹣，﹣），并与坐标轴分别交于A，B，C三点．
（1）求A，B的坐标．
（2）如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标．
（3）如图3，直线y＝ax+b（b＜0）与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E．若OD•OE＝3，请探索a与b的数量关系．并说明理由．
2020年湖北省武汉十一崇仁中学中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有理数﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据负数没有平方根判断即可确定出x的范围．
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则需x+1≥0，即x≥﹣1，
则x的取值范围是x≥﹣1，
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，弄清二次根式性质是解本题的关键．
3．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A．平均数、中位数 B．众数、方差
C．平均数、方差 D．众数、中位数
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是（ ）
A．8x+3＝7x﹣4 B．
C． D．
【分析】根据两人购买时的单价相同列方程即可得．
【解答】解：设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有可能出现的情况，让摸到至少有一个小球为蓝色的情况数除以情况总数即可解答．
【解答】如图所示：
红
红
蓝
蓝
红
红红
红蓝
红蓝
红
红红
红蓝
红蓝
蓝
蓝红
蓝红
蓝蓝
蓝
蓝红
蓝红
蓝蓝
共有12种可能，至少有一个小球为蓝色的有10种结果，
∴摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
8．（3分）反比例函数y＝的图象上有三点（x1，﹣1），B（x2，a），C（x3，3），当x3＜x2＜x1时，a的取值范围为（ ）
A．a＞3 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．a＞3或a＜﹣1
【分析】根据反比例函数的性质即可求得．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵A（x1，﹣1），C（x3，3），
∴A（x1，﹣1）在第四象限，C（x3，3）在第二象限，
∴x1＞0，x3＜0，
当x3＜x2＜0时，则a＞3，
当0＜x2＜x1时，则a＜﹣1，
故a的取值范围为a＞3或a＜﹣1，
故选：D．
【点评】考查反比例函数图象上的点的特点；k＜0，在同一象限内，y随x的增大而增大．
9．（3分）某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（ ）
A．21 B．28 C．35 D．36
【分析】先判断出有两次一步走2级，进而分情况统计即可得出结论．
【解答】解：从三楼到四楼的楼梯共9级且规定从三楼到四楼用7步走完，
所以，有两次必须一步两级，其余每级一步，
当第一、二级作为一步时，
第三、四作为一步或第四、五作为一步或第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共6种，
当第二、三级作为一步时，
第四、五作为一步或第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共5种，
当第三、四级作为一步时，
第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共4种，
当第四、五级作为一步时，
第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共3种，
当第五、六级作为一步时，
第七、八作为一步或第八、九作为一步，共2种，
当第六、七级作为一步时，
第八、九作为一步，共1种，
所以，走完台阶数的方法有：6+5+4+3+2+1＝21种，
故选：A．
【点评】此题是排列与组合问题，主要考查了分类讨论是思想，判断出有两次每一步需走两级是解本题的关键．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若＝，则tan∠B的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，根据垂径定理得到CH＝CD，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即即可得到结论．
【解答】解：连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，
∵＝，
∴设DE＝3x，CE＝5x，
∴CD＝8x，
∴CH＝CD＝4x，
∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，
∴∠EOC＝90°，
∴OC2＝CH•CE＝20x2，
∴OC＝2x，
∴OH＝2x，
∴OE＝＝x，
∵DF⊥AB，OC⊥AB，
∴DF∥OC，
∴△OCE∽△DFE，
∴＝＝，
∴DF＝x，EF＝x，
∴BF＝，
∴tan∠B＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算﹣的结果是 ﹣3 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：﹣＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，比较简单．
12．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到黑球，则盒子里白球的大约有 8 个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【解答】解：∵共摸球30次，其中10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为＝，
设盒子中共有白球x个，则
＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解．
故答案为：8．
【点评】本题考查了用样本估计总体．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先通分，再根据同分母分式加减法法则计算．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
14．（3分）如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21°，则∠C＝ 67° ．
【分析】设∠C＝α，根据AB＝CB，AC＝AD，即可得出∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：设∠C＝α，
∵AB＝CB，AC＝AD，
∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，
又∵∠BAD＝21°，
∴∠CAD＝α﹣21°，
∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴α﹣21°+α+α＝180°，
∴α＝67°，
∴∠C＝67°．
故答案为：67°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理等隐含条件．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB的解析式为y＝ax+2，顶点C，D在双曲线y＝（k＞0）上．若AB＝2AD，则k＝ 3 ．
【分析】过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，设AE＝a，根据相似三角形的性质可表示出D的坐标，同理可表示出点C的坐标（用a表示），然后根据点D、C在反比例函数的图象上得到关于a的方程，就可求得D的坐标，代入y＝（k＞0）即可求得．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥x轴，如图所示．
∵∠DEA＝∠AOB＝90°，∠EAD＝∠ABO＝90°﹣∠OAB，
∴△AED∽△BOA，
∴＝＝＝，
∴ED＝1，
设AE＝a，
∴OB＝2a，
∴点D（1，2+a）．
同理：点C（2a+1，a）．
∵点C、D都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴1×（2+a）＝（2a+1）•a，
∴a＝±1（负数舍去）．
∴点D的坐标为（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、相似三角形的性质等知识，求得点D、C的坐标是解决本题的关键．
16．（3分）如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，＝m．若＝，则m＝ ．
【分析】作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，易得△ABE∽△CEF，易证四边形BDCF为平行四边形，设BE＝3a，CD＝BF＝5a，可求EF＝4a，即可求出m的值．
【解答】解：作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，则∠AEB+∠CEF＝90°＝∠AEB+∠ABE，
∴∠ABE＝∠CEF，
∵∠A＝∠ECF＝90°
∴△ABE∽△CEF，
∴＝m，
∵＝m．
∴CF＝BD，
∵∠A＝∠ECF＝90°，
∴AB∥CF，
∴四边形BDCF为平行四边形，
设BE＝3a，CD＝BF＝5a，
在Rt△BEF中，EF＝，
∵＝m，
∴，
∴m＝，
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建相似形是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：3a3•2a3+a8÷a2﹣（﹣2a2）3．
【分析】直接利用单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝6a6+a6+8a6
＝15a6．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵EG∥HF
∴∠OEG＝∠OFH，
∵∠1＝∠2
∴∠AEF＝∠DFE
∴AB∥CD．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
19．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，武汉市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 30° ；
（2）若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，恰好抽到1个男生和1个女生的概率为 ；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【分析】（1）用“了解很少”部分的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；然后用“了解”部分所占的百分比乘以360°得到扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）画树状图为（分别用A、B表示两名女生，用C、D表示两名男生）展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）利用样本估计总体，用900乘以“了解”和“基本了解”所占的百分比的和即可．
【解答】解：（1）30÷50%＝60（人），
所以接受问卷调查的学生共有60人；
扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为×360°＝30°；
故答案为60；30°；
（2）画树状图为：（分别用A、B表示两名女生，用C、D表示两名男生）
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1个男生和1个女生的结果数为8，
所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率＝＝．
故答案为：．
（3）900×＝300（人），
所以估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点．
（1）AB＝ ；＝ 2 ；
（2）请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．试找一点M使DM∥AB，且DM＝AB．
【分析】（1）利用勾股定理以及平行线等分线段定理解决问题即可．
（2）取格点K，连接BK得到点M，连接DM即可．
【解答】解：（1）AB＝＝，AC＝
由平行线等分线段定理可知：＝2
故答案为：，2．
（2）如图，线段DM即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）已知如图：在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F．
（1）求证：∠EFC＝∠BFD；
（2）若F为半圆弧AB的中点，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．
【分析】（1）连接BD，圆心角、弧、弦间的关系得到∠BFD＝∠CDB；根据邻补角的定义和园内接四边形对角互补的性质推知∠EFC＝∠CDB，则∠EFC＝∠BFD；
（2）如图，连OF，OC，BC，由于∠EFC所在的三角形不是直角三角形，欲求求正切值，需要将其转化为求∠BCG的正切值，据此推知相关线段的长度即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB⊥CD 且AB为直径，
∴＝．
∴∠BFD＝∠CDB．
又∵∠EFC+∠CFB＝180°，
而∠CFB+∠CDB＝180°，
∴∠EFC＝∠CDB．
∴∠EFC＝∠BFD；
（2）解：如图，连OF，OC，BC，
可知∠EFC＝∠BFD＝∠BCG，
又F为半圆AB的中点，
∴∠FOB＝∠FOA＝90°，
∴OF∥CD，
∴OG：OB＝EF：FB＝2：3．
设OG＝2x，则0B＝OC＝3x，则CG＝x．
∴tan∠EFC＝tan∠BCG＝＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形以及圆心角、弧、弦的关系等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用好圆的有关基础知识．
22．（10分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小李决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）直接写该类型口罩销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系 y＝﹣10x+300 （12≤x≤30）．
（2）小李为了让利给顾客，并获得840元利润，售价应定位多少？
（3）当售价定为多少时，小李获得利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设利润为w，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出w关于x的函数关系式，代入w＝840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）由题意得：y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30），
故答案为：y＝﹣10x+300．
（2）设利润为w，则w＝（﹣10x+300）（x﹣10）＝840，
解得：x1＝16，x2＝24（舍去）
答：小李为了让利给顾客，售价应定为16元；
（3）w＝（﹣10x+300）（x﹣10）＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵12≤x≤30，a＝﹣10＜0，
∴x＝20 时，w最大值为1000，
答：当售价定为20元时，最大利润为1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
23．（10分）在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．
（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；
②若BD＝3CD，求的值；
（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．
【分析】（1）①由题意先判定△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，再判定△ABE≌△CAF（AAS），则可由全等三角形的性质及中线的定义可得答案；②过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，由两组角对应相等判定△ABE∽△CAG，再由CF∥BE判定△BED∽△CFD，由相似三角形的性质得两个比例等式，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，代入比例式化简计算可得答案．
（2）过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，利用等腰三角形的判定与性质进行推理，结合tan∠BED＝2，得出AG的长；利用勾股数得出FG与CG的长；由DE∥CG得出比例式，计算可求得BE的长．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠AFC，
∴在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF＝EF，
∴BE＝AF＝2EF＝2CF，
∴＝2；
②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，
∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，
∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，
∴∠AEB＝∠AGC，
∴△ABE∽△CAG，
∴＝．
∵CF∥BE，
∴△BED∽△CFD，
∴＝＝3，
设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，
∴＝，
解得：＝，
∴＝；
（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，
则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，
又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，
∴∠ACF＝∠F，
∴AF＝AC＝5，
又AE＝ED，
∴FG＝CG，
∴AG⊥CF，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴AD⊥AG，
∵tan∠BED＝2，
∴tan∠AEG＝2，
∵AE＝ED＝2，
∴＝2，
∴AG＝2AE＝4，
又∵AC＝5，
∴FG＝CG＝3，
∵DE∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴解得，BE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（12分）如图1，该抛物线是由y＝x2平移后得到，它的顶点坐标为（﹣，﹣），并与坐标轴分别交于A，B，C三点．
（1）求A，B的坐标．
（2）如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标．
（3）如图3，直线y＝ax+b（b＜0）与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E．若OD•OE＝3，请探索a与b的数量关系．并说明理由．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝（x+）2﹣＝x2+3x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣1，即可求解；
（2）如图，设直线CP交x轴于点H，故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G，设GH＝GA＝x，则GC＝4x，故AC＝GC﹣GA＝3x＝4，解得：x＝，则AH＝x＝，故点H（﹣，0），即可求解；
（3）直线PG的表达式为：y＝（m+4）x﹣（m+4）、直线BG的表达式为：y＝（n+4）x﹣（n+4）；故OD＝﹣（m+4），OE＝（n+4），OD•OE＝﹣（m+4）•（n+4）＝3，即﹣[mn+4（m+n）+16]＝3，而m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+）2﹣＝x2+3x﹣4…①，
令x＝0，则y＝﹣4，故点C（0，﹣4）；
令y＝0，则x＝4或﹣1，
故点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）；
（2）如图，设直线CP交x轴于点H，故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G，
tan∠BCO＝＝＝tan∠PCA＝tanα，
∵OA＝OC＝4，故∠BAC＝45°＝∠GAH，
设GH＝GA＝x，则GC＝4x，故AC＝GC﹣GA＝3x＝4，
解得：x＝，
则AH＝x＝，故点H（﹣，0），
由点CH的坐标得，CH的表达式为：y＝﹣x﹣4…②，
联立①②并解得：x＝0（舍去）或﹣，
故点P（﹣，﹣）；
（3）设点P、G的坐标分别为：（m，m2+3m﹣4）、（n，n2+3n﹣4），
由点P、B的坐标得，直线PG的表达式为：y＝（m+4）x﹣（m+4）；
同理直线BG的表达式为：y＝（n+4）x﹣（n+4）；
故OD＝﹣（m+4），OE＝（n+4），
直线y＝ax+b（b＜0）…③，
联立①③并整理得：x2+（3﹣a）x﹣b﹣4＝0，
故m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，
OD•OE＝﹣（m+4）•（n+4）＝3，
即﹣[mn+4（m+n）+16]＝3，而m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，
整理得：b＝4a+3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、韦达定理的运用等，其中（3），用韦达定理求解复杂数据是本题的难点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/6/19 15:58:20；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080
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