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初中数学苏科版七年级上册4.3 用一元一次方程解决问题导学案
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这是一份初中数学苏科版七年级上册4.3 用一元一次方程解决问题导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，重点难点，导学指导等内容，欢迎下载使用。
【重点难点】画线形示意图找等量关系
【导学指导】：
一、自主学习
问题1. 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？请尝试分析问题中的等量关系．
思考1：如何把问题中的等量关系的分析过程直观地展示出来？
画线形示意图进行分析．（1）
仿照（1）画出（2）的线形示意图．
解：
问题2. 运动场环形跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的 EQ \F(5,3) 倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？
可画如下线形示意图帮助分析：
解：
二、例题评析：
例1．敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解：
例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度为3千米/小时，求船在静水中的速度？
例3．一列火车进入长300m的隧道，从进入隧道到完全离开需20s，火车完全在隧道的时间是10s，求火车长．
归纳：利用画线形示意图的方法来分析行程类的问题，常见数量关系：路程＝速度×时间．分析时，常常抓住其中的一个量——路程（或时间或速度）找相等关系．
三、巩固知识
[典型问题]
1.现有若干辆汽车装运一批货物，每辆装3.5 t，这批货物就有2 t不能运走；每辆装4 t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物1 t．汽车有多少辆？这批货物有多少吨？
2．A，B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地出发，两车相向而行．经过多少时间两车相距30 km?
四基训练
3．某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是( )
A．47，6 B．46，6 C．54，7 D．61，8
4．几个人打算合买一件物品，每人出7元，还少4元；每人出8元，就多3元，则总人数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5．小明每秒跑6米，小彬每秒跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小彬要用( )
A．5秒 B．6秒 C．8秒 D．10秒
6．一艘轮船在A，B两港口之间行驶，顺水航行需要5 h，逆水航行需要7 h，水流的速度是5 km/h，则A，B两港口之间的路程是( )
A．105 km B．175 km C．180 km D．210 km
7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个中国结，可列方程____ _________．
8．如图，已知甲、乙两车同时从A地出发，相背而行，甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时30千米，2小时以后，甲车因有重要物品要还给乙车，回头去追赶乙车，从A地出发多长时间后，甲车追上乙车？
拓展提升
9.如图，甲、乙两人同时沿着边长为30 m的等边三角形按逆时针的方向行走，甲从A以65 m/min的速度，乙从B以71 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在等边三角形的( )
A．边AB上 B．点B处 C．边BC上 D．边AC上
10．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度，
（2）一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
答案：
一、自主学习
问题1. 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？请尝试分析问题中的等量关系．
思考1：如何把问题中的等量关系的分析过程直观地展示出来？
画线形示意图进行分析．（1）
仿照（1）画出（2）的线形示意图．
解：设该小组共有x人, 由线形示意图可知:计划做“中国结”(5x-9)个或(4x+15)个
5x-9=4x+15,解得： x=24,5x-9=111
答：该小组共有24人，计划做111个“中国结”
问题2. 运动场环形跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的 EQ \F(5,3) 倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？
可画如下线形示意图帮助分析：
解：设爷爷跑步的速度是xm/min,则小红跑步的速度是 EQ \F(5,3) xm/min
EQ \F(5,3) x=x+400, 解得：x=600, EQ \F(5,3) x=1000
答：小红和爷爷跑步的速度各是1000m/min、600m/min.
二、例题评析：
例1．敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的.
8x+1=25+5x, 解得：x=8
答：战斗是在开始追击后8小时发生的.
例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度为3千米/小时，求船在静水中的速度？
解：设船在静水中的速度x千米/小时,则船顺流行驶速度（x+3）千米/小时, 船逆流行驶速度（x-3）千米/小时
2（x+3）=2.5（x-3）, 解得：x=27
答：船在静水中的速度27千米/小时
例3．一列火车进入长300m的隧道，从进入隧道到完全离开需20s，火车完全在隧道的时间是10s，求火车长．
解：设火车长xm
300-x10=300+x20 解得：x=100
答：火车长100m
归纳：利用画线形示意图的方法来分析行程类的问题，常见数量关系：路程＝速度×时间．分析时，常常抓住其中的一个量——路程（或时间或速度）找相等关系．
三、巩固知识
[典型问题]
1.现有若干辆汽车装运一批货物，每辆装3.5 t，这批货物就有2 t不能运走；每辆装4 t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物1 t．汽车有多少辆？这批货物有多少吨？
分析：设汽车有x辆，可以画出如图所示的线形示意图．
由示意图可以看出其相等关系．
解：设汽车有x辆，则这批货物有(3.5x＋2)吨或(4x－1)吨．根据题意，得3.5x＋2＝4x－1，
解得x＝6.则4x－1＝23.
答：汽车有6辆，这批货物有23吨．
2．A，B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地出发，两车相向而行．经过多少时间两车相距30 km?
分析：利用线形示意图可知，
相遇前：行程之和＋30＝两地距离；
相遇后：行程之和－30＝两地距离．
解：设经过x小时两车相距30 km.根据题意，得
①相遇前：50x＋40x＋30＝120，解得x＝1；
②相遇后：50x＋40x－30＝120，解得x＝eq \f(5,3).
答：经过1小时或eq \f(5,3)小时两车相距30 km.
四基训练
3．某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是(C )
A．47，6 B．46，6 C．54，7 D．61，8
4．几个人打算合买一件物品，每人出7元，还少4元；每人出8元，就多3元，则总人数是(B)
A．6 B．7 C．8 D．9
5．小明每秒跑6米，小彬每秒跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小彬要用(D)
A．5秒 B．6秒 C．8秒 D．10秒
6．一艘轮船在A，B两港口之间行驶，顺水航行需要5 h，逆水航行需要7 h，水流的速度是5 km/h，则A，B两港口之间的路程是(B)
A．105 km B．175 km C．180 km D．210 km
7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个中国结，可列方程____eq \f(x＋9,6)＝eq \f(x－7,4)__________．
8．如图，已知甲、乙两车同时从A地出发，相背而行，甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时30千米，2小时以后，甲车因有重要物品要还给乙车，回头去追赶乙车，从A地出发多长时间后，甲车追上乙车？
解：设从A地出发x小时后，甲车追上乙车．由题意得40×(x－2)＝30x＋2×40，解得x＝16.
答：从A地出发16小时后，甲车追上乙车．
拓展提升
9.如图，甲、乙两人同时沿着边长为30 m的等边三角形按逆时针的方向行走，甲从A以65 m/min的速度，乙从B以71 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在等边三角形的( )
A．边AB上 B．点B处 C．边BC上 D．边AC上
解：设乙第一次追上甲需要x分钟,由题可知,
（75-65）x=60 解得：x=10,
故甲走的路程为650米,
∵650=（米）∴此时甲在AB上. 故选A.
10．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度，
（2）一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
解：（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，
根据题意得：2（2x-x）=400，
解得：x=200，
∴2x=400．
答：小明的骑行速度为200米/分钟，爸爸的骑行速度为400米/分钟．
（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50m，
①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了50米，
根据题意得：400y-200y=50，
解得：y=；
②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，
根据题意得：400y-200y=350，
解得：y=．
答：第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸跑道上相距50m．
【重点难点】画线形示意图找等量关系
【导学指导】：
一、自主学习
问题1. 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？请尝试分析问题中的等量关系．
思考1：如何把问题中的等量关系的分析过程直观地展示出来？
画线形示意图进行分析．（1）
仿照（1）画出（2）的线形示意图．
解：
问题2. 运动场环形跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的 EQ \F(5,3) 倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？
可画如下线形示意图帮助分析：
解：
二、例题评析：
例1．敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解：
例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度为3千米/小时，求船在静水中的速度？
例3．一列火车进入长300m的隧道，从进入隧道到完全离开需20s，火车完全在隧道的时间是10s，求火车长．
归纳：利用画线形示意图的方法来分析行程类的问题，常见数量关系：路程＝速度×时间．分析时，常常抓住其中的一个量——路程（或时间或速度）找相等关系．
三、巩固知识
[典型问题]
1.现有若干辆汽车装运一批货物，每辆装3.5 t，这批货物就有2 t不能运走；每辆装4 t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物1 t．汽车有多少辆？这批货物有多少吨？
2．A，B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地出发，两车相向而行．经过多少时间两车相距30 km?
四基训练
3．某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是( )
A．47，6 B．46，6 C．54，7 D．61，8
4．几个人打算合买一件物品，每人出7元，还少4元；每人出8元，就多3元，则总人数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5．小明每秒跑6米，小彬每秒跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小彬要用( )
A．5秒 B．6秒 C．8秒 D．10秒
6．一艘轮船在A，B两港口之间行驶，顺水航行需要5 h，逆水航行需要7 h，水流的速度是5 km/h，则A，B两港口之间的路程是( )
A．105 km B．175 km C．180 km D．210 km
7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个中国结，可列方程____ _________．
8．如图，已知甲、乙两车同时从A地出发，相背而行，甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时30千米，2小时以后，甲车因有重要物品要还给乙车，回头去追赶乙车，从A地出发多长时间后，甲车追上乙车？
拓展提升
9.如图，甲、乙两人同时沿着边长为30 m的等边三角形按逆时针的方向行走，甲从A以65 m/min的速度，乙从B以71 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在等边三角形的( )
A．边AB上 B．点B处 C．边BC上 D．边AC上
10．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度，
（2）一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
答案：
一、自主学习
问题1. 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？请尝试分析问题中的等量关系．
思考1：如何把问题中的等量关系的分析过程直观地展示出来？
画线形示意图进行分析．（1）
仿照（1）画出（2）的线形示意图．
解：设该小组共有x人, 由线形示意图可知:计划做“中国结”(5x-9)个或(4x+15)个
5x-9=4x+15,解得： x=24,5x-9=111
答：该小组共有24人，计划做111个“中国结”
问题2. 运动场环形跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的 EQ \F(5,3) 倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？
可画如下线形示意图帮助分析：
解：设爷爷跑步的速度是xm/min,则小红跑步的速度是 EQ \F(5,3) xm/min
EQ \F(5,3) x=x+400, 解得：x=600, EQ \F(5,3) x=1000
答：小红和爷爷跑步的速度各是1000m/min、600m/min.
二、例题评析：
例1．敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的.
8x+1=25+5x, 解得：x=8
答：战斗是在开始追击后8小时发生的.
例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度为3千米/小时，求船在静水中的速度？
解：设船在静水中的速度x千米/小时,则船顺流行驶速度（x+3）千米/小时, 船逆流行驶速度（x-3）千米/小时
2（x+3）=2.5（x-3）, 解得：x=27
答：船在静水中的速度27千米/小时
例3．一列火车进入长300m的隧道，从进入隧道到完全离开需20s，火车完全在隧道的时间是10s，求火车长．
解：设火车长xm
300-x10=300+x20 解得：x=100
答：火车长100m
归纳：利用画线形示意图的方法来分析行程类的问题，常见数量关系：路程＝速度×时间．分析时，常常抓住其中的一个量——路程（或时间或速度）找相等关系．
三、巩固知识
[典型问题]
1.现有若干辆汽车装运一批货物，每辆装3.5 t，这批货物就有2 t不能运走；每辆装4 t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物1 t．汽车有多少辆？这批货物有多少吨？
分析：设汽车有x辆，可以画出如图所示的线形示意图．
由示意图可以看出其相等关系．
解：设汽车有x辆，则这批货物有(3.5x＋2)吨或(4x－1)吨．根据题意，得3.5x＋2＝4x－1，
解得x＝6.则4x－1＝23.
答：汽车有6辆，这批货物有23吨．
2．A，B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地出发，两车相向而行．经过多少时间两车相距30 km?
分析：利用线形示意图可知，
相遇前：行程之和＋30＝两地距离；
相遇后：行程之和－30＝两地距离．
解：设经过x小时两车相距30 km.根据题意，得
①相遇前：50x＋40x＋30＝120，解得x＝1；
②相遇后：50x＋40x－30＝120，解得x＝eq \f(5,3).
答：经过1小时或eq \f(5,3)小时两车相距30 km.
四基训练
3．某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是(C )
A．47，6 B．46，6 C．54，7 D．61，8
4．几个人打算合买一件物品，每人出7元，还少4元；每人出8元，就多3元，则总人数是(B)
A．6 B．7 C．8 D．9
5．小明每秒跑6米，小彬每秒跑5米，小彬站在小明前10米处，两人同时起跑，小明追上小彬要用(D)
A．5秒 B．6秒 C．8秒 D．10秒
6．一艘轮船在A，B两港口之间行驶，顺水航行需要5 h，逆水航行需要7 h，水流的速度是5 km/h，则A，B两港口之间的路程是(B)
A．105 km B．175 km C．180 km D．210 km
7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个中国结，可列方程____eq \f(x＋9,6)＝eq \f(x－7,4)__________．
8．如图，已知甲、乙两车同时从A地出发，相背而行，甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时30千米，2小时以后，甲车因有重要物品要还给乙车，回头去追赶乙车，从A地出发多长时间后，甲车追上乙车？
解：设从A地出发x小时后，甲车追上乙车．由题意得40×(x－2)＝30x＋2×40，解得x＝16.
答：从A地出发16小时后，甲车追上乙车．
拓展提升
9.如图，甲、乙两人同时沿着边长为30 m的等边三角形按逆时针的方向行走，甲从A以65 m/min的速度，乙从B以71 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在等边三角形的( )
A．边AB上 B．点B处 C．边BC上 D．边AC上
解：设乙第一次追上甲需要x分钟,由题可知,
（75-65）x=60 解得：x=10,
故甲走的路程为650米,
∵650=（米）∴此时甲在AB上. 故选A.
10．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度，
（2）一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
解：（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，
根据题意得：2（2x-x）=400，
解得：x=200，
∴2x=400．
答：小明的骑行速度为200米/分钟，爸爸的骑行速度为400米/分钟．
（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50m，
①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了50米，
根据题意得：400y-200y=50，
解得：y=；
②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，
根据题意得：400y-200y=350，
解得：y=．
答：第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸跑道上相距50m．
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