2020-2021学年2.5 解直角三角形的应用习题

2.5 解直角三角形的应用

第3课时　与方位角有关的应用问题

1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(    )

  A．250米         B．250米

  C.米         D．500米

   第1题图                     第2题图

2．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是           米．(结果保留根号)

3．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为       海里．(结果取整数)(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

第3题图                      第4题图

4．某人从A处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C处，则他从C处回到A处至少要走            米．

5．如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A、B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)

第5题图

6．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．

(1)请在图中作出该船在点B处的位置；

(2)求钓鱼岛C到B处的距离．(结果保留根号)

第6题图

7．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1)

第7题图

8．南海是我国的南大门．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有—艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)

第8题图

9．如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57)

(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1海里)

(2)若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．

第9题图

10．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20 km.一轮船以36 km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12 km.

(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?

(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：≈1.4，≈1.7)

第10题图

参考答案

1．A       2． 10       3．11        4． 100

5．解：由题意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.

在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，

∴AB＝AC·tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)，

故A、B两岛之间的距离约为33.5海里．

6．解：(1)如答图．

(2)AB＝30×0.5＝15(海里)，

由题意知CB⊥AB，

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，

tan∠BAC＝，

∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×＝5(海里)．

答：钓鱼岛C到B处的距离为5海里．

第6题答图

7．解：作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，如答图.

在Rt△APC中，∵AP＝20海里，∠APC＝60°，

∴PC＝AP·cos60°＝20×＝10(海里)，

AC＝AP·sin60°＝20×＝10＝10×1.732≈17.3(海里)．

在Rt△BPC中，∵∠BPC＝45°，

∴BC＝PC＝10海里．

∴AB＝AC－BC＝17.3－10＝7.3(海里)．

答：它向东航行7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．

第7题答图

8．解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，如答图. 由题意知∠BAD＝45°.

在△ABD中，AD＝cos45°AB＝×20＝10(海里)，

∴BD＝AD＝10海里．

在△BCD中，DC＝BD·tan75°≈53(海里)．

∴AC＝AD＋CD＝67海里．

答：海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．

第8题答图

9．解：(1)过点P作PD⊥AB于点D，如答图.

由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30，

在Rt△ADP中，sin∠PAD＝，得

PD＝AP·sin∠PAD＝30×sin32°≈15.9.

答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里．

(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝，

∴BP＝＝≈19.4，

A船需要的时间为＝1.5(小时)，

B船需要的时间为≈1.3(小时)．

∵1.5＞1.3，∴B船先到达P处．

答：B船先到达P处．

第9题答图

10．解：(1)延长AB交直线l于点F，过A，B分别作AD⊥l，BE⊥l，如答图.

∵∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°.

∵∠DAC＝30°，∴∠DCA＝60°.

∴∠ACB＝90°.

在Rt△ABC中，BC＝12 km，

AB＝36×＝24(km)，

∴AB＝2BC.∴∠BAC＝30°.

AC＝＝12(km)．

在Rt△ACD中，AD＝AC·cos30°＝12×＝18(km)．

在Rt△ADF中，AF＝2AD＝36 km.

36÷36＝1小时．

答：轮船在11：00到达海岸线l.

(2)能，理由：

在Rt△ADF中，DF＝AF·sin60°＝36×＝18.

在Rt△ADC中，DC＝AC＝6，

∴CF＝12.

∵CN＝20，CM＝21.5，12≈20.4，

∴20＜20.4＜21.5.∴轮船能够停靠在码头．

第10题答图