高中第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.4 棱锥与棱台优秀作业课件ppt

11.1.4　棱锥与棱台

1．棱锥

(1)关于棱锥的定义、分类、图形及表示，请填写下表：

(2)正棱锥的有关概念及其特征

如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．

2．棱台

(1)关于棱台的定义、分类、图形及表示，请填写下表：

(2)正棱台的有关概念及其特征

由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．

1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)

A．三角形　　B．四边形　　C．五边形　　D．六边形

A　[棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．]

2．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　D

C　[棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．]

3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为(　　)

A．三棱锥的四个面是三角形

B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形

C．棱锥的侧面都是三角形

D．棱锥的侧棱相交于一点

B　[根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．]

4．如图，下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．

①③④　⑥　⑤　[结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]

【例1】　有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？

[解]　不一定．如图①所示，将正方体ABCD­A1B1C1D1截去两个三棱锥A­A1B1D1和C­B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．

棱锥的三个本质特征

1．有一个面是多边形．

2．其余各面是三角形．

3．这些三角形有一个公共顶点．

1．观察如图的四个几何体，其中判断不正确的是(　　)

A．①是棱柱 B．②不是棱锥

C．③不是棱锥 D．④是棱台

B　[②显然是棱锥．]

【例2】　下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是________．

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；

(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；

(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

(2)(3)　[(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]

棱台结构特征问题的判断方法

(1)举反例法．

结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法．

2．判断图中的几何体是不是台体？并说明为什么？

(1)(3)(4)不是棱台；(2)是棱台　[对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．]

[探究问题]

1．计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？

[提示]　常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．

2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？

[提示]　是．

3．正棱台中的计算呢？

[提示]　根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．

【例3】　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．

[思路探究]　正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．

[解]　作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．

在Rt△ADO中，AD＝，

∠OAD＝30°，

故AO＝＝.

在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，

故SO＝＝3，其高为3.

正棱锥、正棱台中的计算技巧

1．正棱锥中的直角三角形的应用

已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．

(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.

(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.

(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.

2．正棱台中的直角梯形的应用

已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，

(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.

(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.

(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.

1．在理解的基础上，要牢记棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．

2．棱柱、棱台、棱锥关系图

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．               (　　)

(2)棱台的侧棱长都相等．  (　　)

(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　)

A．1个　　　 B．2个

C．3个 D．4个

D　[在三棱锥A­BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]

3．如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是(　　)

A．三棱锥 B．四棱锥

C．三棱柱 D．三棱台

B　[剩余几何体为四棱锥A′­BCC′B′.]

4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．

48　[正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]

5．画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体；

(2)三个三棱锥，并用字母表示．

[解]　画三棱台一定要利用三棱锥．

①　　　　　　　　②

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.