高中数学第十章 概率本章综合与测试优秀课时作业

10．1 随机事件与概率

10．1.1 有限样本空间与随机事件 

1．下列事件：

①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

③下周六是晴天．

其中，是随机事件的是(　　 )

A．①②　　　　　　　　 B．②③

C．①③  D．②

解析：选B　①为必然事件；②③为随机事件．

2．为了丰富高一学生们的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选C　样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)．共3个．

3．下列事件中，必然事件是(　　)

A．10人中至少有2人生日在同一个月

B．11人中至少有2人生日在同一个月

C．12人中至少有2人生日在同一个月

D．13人中至少有2人生日在同一个月

解析：选D　一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.

4．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(　　)

A．不可能事件  B．必然事件

C．可能性较大的随机事件  D．可能性较小的随机事件

解析：选D　掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．

5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________.

解析：含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd.∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．

答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}

1．随机试验的三个特点

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2．关于样本点和样本空间

(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；

(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．

3．事件与基本事件

(1)随机事件是样本空间的子集. 随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．

(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．

[例1]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

(2)三角形的两边之和大于第三边；

(3)没有空气和水，人类可以生存下去；

(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．

[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．

(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．

(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．

(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．

对事件类型判断的两个关键点

(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；

(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．　　　　

[变式训练]

指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：

(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；

(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；

(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；

(4)没有水分，种子发芽．

解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．

(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．

(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．

(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．

[例2]　将一枚骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间．

[解]　(树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：

试验的样本空间：

Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．

确定样本空间的方法

(1)当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．

(2)当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，即用树状的图形把样本点列举出来(如本例)．树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段. 　　　　

[变式训练]

袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.

解析：从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．

从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．

答案：{红，白，黄，黑}　{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}

[例3]　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验包含的样本点的总数；

(3)用集合表示下列事件：

①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；

③T＝“xy＝4”．

[解]　(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．

(2)样本点总数为16.

(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：

(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．

所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}

②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．

所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}

③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．

所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}

1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　

[变式训练]

1．[变设问]若本例条件不变，问题改为用集合表示事件：P＝“x＋y是偶数”．

解：“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．

所以P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．

2．[变设问]在本例的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？

解：当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件．

A级——学考合格性考试达标练

1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)

①方程ax＋b＝0有一个实数根；

②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；

③在常温下，锡块熔化；

④若a>b，那么ac>bc.

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选C　①②④是随机事件，③是不可能事件．故选C.

2．一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为(　　)

A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}

B．{(男，女)，(女，男)}

C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}

D．{(男，男)，(女，女)}

解析：选C　随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.

3．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选D　设3种不同颜色分别用A，B，C表示，该事件的样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中事件A＝{(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)}共6个样本点．故选D.

4．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为(　　)

A．3件都是正品  B．至少有1件次品

C．3件都是次品  D．至少有1件正品

解析：选C　25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.

5．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；

②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；

④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．

其中正确的命题有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选C　∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.

6．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．

解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.

答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5

7．在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．

解析：样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．

答案：5

8．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．

解析：质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．

答案：随机

9．从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．

解：画出树状图，如图：

由图可知样本空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432}．

10．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．

(1)写出样本空间；

(2)写出事件“甲赢”；

(3)写出事件“平局”．

解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．

(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．

(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．

B级——面向全国卷高考高分练

1．[多选]下面事件是随机事件的是(　　)

A．某项体育比赛出现平局

B．抛掷一枚硬币，出现反面向上

C．全球变暖会导致海平面上升

D．一个三角形的三边长分别为1,2,3

解析：选AB　体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件，因为三角形两边之和大于第三边，而1＋2＝3，所以一个三角形的三边长分别为1,2,3是不可能事件．故选A、B.

2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是(　　)

A．必然事件  B．不可能事件

C．随机事件  D．以上选项均不正确

解析：选C　若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．故选C.

3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有(　　)

A．7个  B．8个

C．9个  D．10个

解析：选C　“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C.

4．写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．

解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．

答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4}

5．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：

①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；

②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；

③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；

④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.

其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)

解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.

答案：③④　②　①

6．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“为整数”这一事件包含样本点个数为________个．

解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．共16个样本点．

用A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．

答案：8

7．先后抛掷两枚质地均匀的硬币．

(1)写出该实验的样本空间；

(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？

解：抛掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．

(1)该试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．

(2)设事件A＝“一枚正面，一枚反面”，则A＝{(正面，反面)，(反面，正面)}共2种结果．

C级——拓展探索性题目应用练

设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．

(1)写出该事件的样本空间Ω；

(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；

(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．

(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；

B＝{S7，S8，S9，S10}．

(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．

10．1.2 事件的关系和运算

1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)

A．A⊆B　　　　　　　 B．A⊇B

C．A＝B  D．A<B

解析：选A　由事件的包含关系知A⊆B.

2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)

A．A⊆B  B．A∩B＝{出现的点数为2}

C．事件A与B互斥  D．事件A与B是对立事件

解析：选B　由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．

3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A．至多有一次中靶  B．两次都中靶

C．只有一次中靶  D．两次都不中靶

解析：选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．

4．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C　对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对于④A⊆A∪B，即A与B的和事件包含事件A，但两个事件不能比较大小，故④错．

5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．

解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}，且A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以A∩B＝{(白、红)}．故A∩B表示的事件为恰有一个红球．

答案：恰有一个红球

1．事件的关系

2．事件的运算

[说明]　1.互斥事件与对立事件的区别与联系

(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．

而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．

(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．

2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

[例1]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

判断事件间关系的方法

(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．

[变式训练]

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

[例2]　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．

[解]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.

同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.

且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.

(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，

所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．

同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.

事件运算应注意的2个问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　

[变式训练]

盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.

(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.

A级——学考合格性考试达标练

1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)

A．A⊆B

B．A⊇B

C．A与B互斥

D．A与B互为对立事件

解析：选C　由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.

2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　　)

A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥

C．任何两个都互斥  D．A与B对立

解析：选ABC　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C.

3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A．至多有2件次品  B．至多有1件次品

C．至多有2件正品  D．至少有2件正品

解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B.

4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)

A．全是白球与全是红球是对立事件

B．没有白球与至少有一个白球是对立事件

C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系

D．全是红球与有一个红球是包含关系

解析：选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B.

5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)

A．A⊆B

B．A＝B

C．A∪B表示向上的点数是1或2或3

D．AB表示向上的点数是1或2或3

解析：选C　设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.

6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．

解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}．

F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5}

∴E∩F＝{向上的点数为2}．

答案：向上的点数为2

7．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．

解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中二次A2或击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)．

答案：A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)

8．把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________.

解析：因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立．

答案：互斥但不对立

9．从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．

解：①，②，④可同时发生，不是对立事件；对于③至少有一个奇数包括有一个偶数一个奇数和两个数都是奇数，显然与两个都是偶数是对立事件．故对立事件有1对，是③.

10．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

解：(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A.

B级——面向全国卷高考高分练

1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

解析：选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．故选A.

2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)

A．A∪B是必然事件  B．∪是必然事件

C.与一定互斥  D.与一定不互斥

解析：

选B　用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件．故选B.

3．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)

A．H＋E＋F  B．H ＋E＋ F

C．HE＋HF＋EF   D.＋＋

解析：选B　选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D为选项A的对立事件，即表示三个事件都不发生．故选B.

4．在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是(　　)

A．A⊆D  B．B∩D＝∅

C．A∪C＝D  D．A∪C＝B∪D

解析：选D　“恰有一弹击中目标”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中目标}，不是必然事件；“至少有一弹击中目标”包含两种情况：一种是恰有一弹击中目标，一种是两弹都击中目标，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故选D.

5．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．

解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．

答案：A，B　A，B

6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：

A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：

 (1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.

解析：当事件B发生时，H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事件A与G相等，即A＝G.

答案：⊆　⊆　⊆　＝

7．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求两两运算的结果．

解：在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．

(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.

B∩C＝A3＝{出现点数3}，

B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝∅

A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，

A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，

A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．

B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．

B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．

C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．

C级——拓展探索性题目应用练

某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；

(4)B与C；(5)C与E.

解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

10．1.3 古典概型

1．下列试验中，属于古典概型的是(　　)

A．种下一粒种子，观察它是否发芽

B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d

C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面

D．某人射击中靶或不中靶

解析：选C　依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等．

2．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)

①样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.

A．②④　　　　　　　　 B．①③④

C．①④  D．③④

解析：选B　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.

3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)

A.   B.

C.  D．1

解析：选C　从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.

4．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有以下10种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．其中含有红色彩笔的有4种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，所以所求事件的概率P＝＝.故选C.

5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为________．

解析：从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2)，(2,4)两种．

∴所求概率为＝.

答案：

1．古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

2．古典概型的概率公式

设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝＝.

[说明]　(1)随机试验E中的样本点

①任何两个样本点都是互斥的；

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．

(2)求解古典概型问题的一般思路

①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；

②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；

③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．

[例1]　判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？

①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；

②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；

③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；

④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．

[解]　根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．

判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．　　　　

[变式训练]

某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？

解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.

[例2]　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为(　　)

A．2　　　　　　　 B．3

C．4  D．6

(2)连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．

①写出这个试验的所有样本点；

②求这个试验的样本点的总数；

③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？

[解析]　(1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．

[答案]　C

(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．

②这个试验包含的样本点的总数是8.

③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

随机试验中样本点的探求方法

(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．

(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．　　　　

[变式训练]

将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：

(1)一共有几个样本点？

(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？

解：(树状图法)：

一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：

(1)由图知，共36个样本点．

(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．

[例3]　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)A：取出的两球都是白球；

(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．

[解]　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．

(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝；

(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝＝.

求解古典概型的概率“四步”法

[变式训练]

(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.

[例4]　小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．

(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；

(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．

[解]　将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.

(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．

设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.

(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．

设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.

解决有序和无序问题应注意两点

(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．

(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．　　　　

[变式训练]

从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．

(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．

设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝，所以n(A)＝4，

从而P(A)＝＝＝.

(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝，所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝.

A级——学考合格性考试达标练

1．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.故选C.

2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.

3．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝.故选D.

4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，∴P＝＝.故选B.

5．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.故选B.

6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．

解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝.

答案：

7．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.

解析：此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，故P(A)＝＝.

答案：

8．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．

解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝＝＝.

答案：

9．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

解：(1)由分层抽样的定义知，

从小学抽取的学校数目为6×＝3(所)，

从中学抽取的学校数目为6×＝2(所)，

从大学抽取的学校数目为6×＝1(所)．

(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．

②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝＝.

10．抛掷两粒均匀的骰子，求：

(1)点数之和为5的概率；

(2)点数之和为7的概率；

(3)出现两个4点的概率．

解：在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间

Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，