初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试练习

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试练习，共4页。试卷主要包含了定义运算，给出一种运算，定义新运算“★”，对于实数a,b,定义运算“*”，定义，观察下列一组方程，新定义等内容，欢迎下载使用。

定义新运算型
1.定义运算:m☆n＝mn2－m－1.例如:4☆2＝4×22－4×2－1＝7,则方程1☆x＝0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根
2.给出一种运算:对于函数y＝xn,规定y′＝n×xn－1若函数为y＝x4,则有y′＝4×x3,已知
函数y＝x3,则方程y′＝9x的解是( )
A.x＝3B.x＝－3C.x1＝0,x2＝3D.x1＝0,x2＝－3
3.对于实数a,b,定义一种新运算“★”:当a≥b时,a★b＝a2+ab；当aA.10B.4C.4或－6D.4或－6或10
4.定义新运算“★”:当m≥n时,m★n＝mn+n；当m5.对于实数a,b,定义运算“*”:a*b＝ eq \b \lc\{(\a \al \c1(a2-ab(a≥b),ab-b2(a2,所以5*2＝52－5×2＝15.若x1,x2是
一元二次方程x2－5x+6＝0的两个根,则x1*x2＝________。
6.在实数范围内定义一种新运算,规定:a★b＝a2－b2,求方程(x+2)★5＝0的解
定义新概念型
7.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)满足a+b+c＝0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程,已知ax2+bx+c＝0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论:①a＝c,②a＝b,③b＝c,④a＝b＝c,其中正确的是________(填序号).
8.观察下列一组方程:①x2－x＝0；②x2－3x+2＝0；③x2－5x+6＝0；④x2－7x+12＝0；…,它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”
若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”,则k的值为_________,第n个方程为________。
9.新定义:[a,b]为一次函数y＝ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”,若“关联数”为[1,m－2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为________。
10.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Max{a,b}表示a,b中的较大值,如:Max{2,4}＝4,按照这个规定,方程Max{x,－x}＝x2－2的解为________。
11.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0,x2＝－1,则方程x2+x＝0是“邻根方程”
(1)通过计算,判断方程2x2－2 eq \r(3) x+1＝0是不是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0(a,b是常数,a>0)是“邻根方程”,令t＝12a－b2,试求t的最大值.
定义新方法型
12.“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式例如:解方程x－ eq \r(x) ＝0,就可以利用该思维方式,设 eq \r(x) ＝y,将原方程转化为y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.
已知实数x,y满足 eq \b \lc\{(\a \al \c1(5x2y2+2x+2y=133, eq \f(x+y,4) +2x2y2=51)) ,求x2+y2的值.
参考答案
1.A由题意知,1☆x＝x2－x－1＝0,∵a＝1,b＝－1,c＝－1,∴＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0,
∴方程x2－x－1＝0有两个不相等的实数根,故选A.
2.C函数为y＝x3,方程为y′＝9x,∴3x2＝9x,3x2－9x＝0,3x(x－3)＝0,∴3x＝0或x－3＝0,∴x1＝0,x2＝3.故选C.
3.B当m≤2时,22+2m＝24,解得m＝10,10>2,∴m＝10舍去；当m>2时,m2+2m＝24,解得m＝－6或4.∵－6<2,∴m＝4.综上,m＝4.故选B.
4.【答案】 eq \f(1,2) 或－2
【解析】①当2x≥x+2,即x≥2时,2x★(x+2)＝2x(x+2)+(x+2)＝0,所以(2x+1)(x+2)＝0,
解得x1＝－ eq \f(1,2) (舍去),x2＝－2(舍去)；
②当2x所以(2x－1)(x+2)＝0,
解得x1＝ eq \f(1,2) ,x2＝－2.
综上所述,x的值是 eq \f(1,2) 或－2.
5.【答案】－3或3
【解析】x2－5x+6＝0,整理得(x－3)(x－2)＝0,
∴x－2＝0或x－3＝0,∴x＝2或x＝3,
若x1＝2,x2＝3,
∵2<3,∴x1*x2＝2×3－32＝－3；
若x1＝3,x2＝2,
∵3>2,∴x1*x2＝32－3×2＝3,
故答案为－3或3.
6.【解析】∵(x+2)★5＝0,∴(x+2)2－52＝0
∴(x+2)2＝52,
∴x+2＝±5,∴x1＝3,x2＝－7.
7.【答案】①
【解析】∵方程有两个相等的实数根,且a+b+c＝0,∴b2－4ac＝0,b＝－a－c,将b＝－a－c代入b2－4ac＝0得a2+2ac+c2－4ac＝(a－c)2＝0,则a＝c故①正确.又由已知条件得不出②③④,故正确的是①
8.【答案】－15；x2－(2n－1)x+n(n－1)＝0
【解析】设方程x2+kx+56＝0的两根分别为x1,x2,则x1x2＝56,又∵方程的两根为两个连续的自然数,∴x1＝7,x2＝8,∴方程x2+kx+56＝0可化为(x－7)(x－8)＝0,即x2－15x+56＝0,∴k＝－15.由题意,第n个方程的解为x1＝n－1,x2＝n,可得第n个方程为(x－n)(x－n+1)＝0,即x2－(2n－1)x+n(n－1)＝0
9.【答案】x1＝－1,x2＝－2
【解析】由“关联数”的定义得一次函数为y＝x+m－2,又此一次函数为正比例函数,∴m－2＝0,解得m＝2,∴关于的方程为x2+3x+2＝0,因式分解得(x+1)(x+2)＝0,∴x+1＝0或x+2＝0,∴x1＝－1,x2＝－2.
10.【答案】2和－2
【解析】分为两种情况:①当x>－x,即x>0时,x2－2＝x,解得x1＝2,x2＝－1(舍去)；②当－x>x,即x<0时,x2－2＝－x,解得x1＝－2,x2＝1(舍去),所以方程Max{x,－x}＝x2－2的解为2和－2.
11.【解析】(1)2x2－2 eq \r(3) x+1＝0,
解得x＝ eq \f(2 eq \r(3) ± eq \r(12－8) ,4) ＝ eq \f( eq \r(3) ±1,2) ,
∵ eq \f( eq \r(3) +1,2) ＝ eq \f( eq \r(3) －1,2) +1,∴2x2－2 eq \r(3) x+1＝0是“邻根方程”.
(2)因式分解得(x－m)(x+1)＝0,∴x＝m或x＝－1
∵方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”,
∴m＝－1+1或m＝－1－1,
∴m＝0或－2.
(3)∵关于x的方程ax2+bx+1＝0(a、b是常数,a>0)是“邻根方程”,
∴ eq \f(-b+ eq \r(b2-4ac) ,2a) － eq \f(-b－ eq \r(b2-4ac) ,2a) ＝1,
∴b2＝a2+4a.
t＝12a－b2,
∴t＝8a－a2＝－(a－4)2+16
∵a>0,∴a＝4时,t的值最大,为16.
12.【解析】令xy＝a,x+y＝b,则原方程组可化为
eq \b \lc\{(\a \al \c1(5a2+2b＝133, eq \f(b,4) +2a2＝51)) ,整理得 eq \b \lc\{(\a \al \c1(5a2+2b＝133①,16a2+2b＝408②)) ,
②－①得11a2＝275,解得a2＝25,代入②可得b＝4,
∴ eq \b \lc\{(\a \al \c1(a＝5,b＝4)) 或 eq \b \lc\{(\a \al \c1(a＝－5,b＝4))
当a＝5时,x+y＝4,xy＝5,∴x＝4－y,代入xy＝5,可得y2－4y+5＝0,此时△＝16－20<0,方程无解；
当a＝－5时,x+y＝4,xy＝－5(经检验存在满足条件的x值和y值),
∴x2+y2＝(x+y)2－2xy＝42－2×(－5)＝26,因此x2+y2的值为26