03-专项综合全练(三)新定义型试题-数学七年级上册人教版

初中数学·人教版·七年级上册——专项综合全练(三)

专项综合全练（三） 新定义型试题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.历史上,数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示,把x等于某数a时的多项式的值用f(a)来表示,例如多项式f(x)=x2+2x-5,则f(-1)等于              (　　)

A.-2　　　　　B.-4　　　　　C.-6　　　　　D.-8

2.我们规定这样一种运算:如果ab=N(a>0,且a≠1,N>0),那么b就叫做以a为底N的对数,记作b=logaN.例如:因为43=64,所以log464=3,则log264的值为              (　　)

A.4　　　　　B.6　　　　　C.12　　　　　D.24

3.若a,b是有理数,定义一种新运算⊕:a⊕b=2ab+1.

例如:(-3)⊕4=2×(-3)×4+1=-23.

试计算:

(1)3⊕(-5);

(2)[3⊕(-5)]⊕(-6).

4.定义一种新的运算:对于任意的有理数a,b,都有a⊗b=a+b,a⊕b=a-b,等式右边是通常的加法、减法运算,如a=2,b=1时,a⊗b=2+1=3,a⊕b=2-1=1.

(1)求(-2)⊗3+4⊕(-2)的值;

(2)化简:a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab.

5.请你先看懂下面给出的例题,再按要求计算.

例:规定=a1b2-a2b1,计算.

解:由规定,得=3×3-4×2=1.

问题:规定=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a1b3c2-a2b1c3.

请你计算.

6.定义:若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.

(1)3与　　　　是关于1的平衡数,5-x与　　　　是关于1的平衡数(用含x的式子表示); 

(2)若a=2x2-3(x2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x2)-2],判断a与b是不是关于1的平衡数,并说明理由.

7.阅读理解.

已知(a×b)2=a2×b2,(a×b)3=a3×b3,(a×b)4=a4×b4.

(1)用特例验证上述等式是否成立(取a=1,b=-2);

(2)通过上述验证,猜一猜:(a×b)100=　　　　,归纳得出:(a×b)n=　　　　; 

(3)上述性质可以用来进行积的乘方运算,反之仍然成立,试计算:×42 016.

8.观察下列两个等式:3+2=3×2-1,4+=4×-1,给出定义如下:

我们称使等式a+b=ab-1成立的一对有理数a,b为“椒江有理数对”,记为(a,b),如:数对(3,2),都是“椒江有理数对”.

(1)数对(-2,1),中是“椒江有理数对”的是　　　　; 

(2)若(m,n)是“椒江有理数对”,则(-n,-m)　　　　“椒江有理数对”(填“是”“不是”或“不确定是不是”); 

(3)请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”:　　　　.(不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复) 

9.【概念学习】

规定:求若干个相同的有理数(均不为0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④,读作“-3的圈4次方”.一般地,把(a≠0)记作,读作“a的圈n次方”.

【初步探究】

(1)直接写出计算结果:2③=　　　　,=　　　　; 

(2)关于除方,下列说法错误的是　　　　; 

A.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数

B.对于任何正整数n,=1

C.3④=4③

D.负数的圈奇数次方的结果是负数,负数的圈偶数次方的结果是正数

【深入思考】

我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?

(3)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.

(-3)④=　　　　;5⑥=　　　　;=　　　　; 

(4)想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为　　　　; 

(5)算一算:122÷×-÷34.

专项综合全练（三） 新定义型试题

1.C　f(-1)=(-1)2+2×(-1)-5=1-2-5=-6,故选C.

2.B　因为26=64,所以log264=6.故选B.

3.解析　(1)原式=2×3×(-5)+1=-30+1=-29.

(2)原式=(-29)?(-6)=2×(-29)×(-6)+1=348+1=349.

4.解析　(1)根据题中的新定义得(-2)⊗3+4⊕(-2)=(-2)+3+4-(-2)=7.

(2)根据题中的新定义得a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.

5.解析　由规定,得=3×(-2)×(-5)+15×4×

(-1)+(-21)×1×3-(-21)×(-2)×(-1)-3×4×3-15×1×(-5)=30-60-63+42-36+75=-12.

6.解析　(1)设3关于1的平衡数为a,则3+a=2,解得a=-1,所以3与-1是关于1的平衡数.

设5-x关于1的平衡数为b,则5-x+b=2,所以b=2-(5-x)=x-3,所以5-x与x-3是关于1的平衡数.

(2)a与b不是关于1的平衡数.理由如下:

因为a=2x2-3(x2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x2)-2],

所以a+b=2x2-3(x2+x)+4+2x-[3x-(4x+x2)-2]=2x2-3x2-3x+4+2x-3x+4x+x2+2=6≠2,

所以a与b不是关于1的平衡数.

7.解析　(1)成立.[1×(-2)]2=4,12×(-2)2=4,

则[1×(-2)]2=12×(-2)2;

[1×(-2)]3=-8,13×(-2)3=-8,

则[1×(-2)]3=13×(-2)3;

[1×(-2)]4=16,14×(-2)4=16,

则[1×(-2)]4=14×(-2)4.

(2)a100×b100;an×bn.

(3)×42 016=×4=(-1)×4=-4.

8.解析　(1)因为-2+1=-1,-2×1-1=-3,

所以-2+1≠-2×1-1,

所以(-2,1)不是“椒江有理数对”.

因为5+=,5×-1=,所以5+=5×-1,

所以是“椒江有理数对”.

(2)不是.

理由:-n+(-m)=-n-m,-n·(-m)-1=mn-1,

因为(m,n)是“椒江有理数对”,所以m+n=mn-1,

所以-n-m=-(mn-1)=-[(-n)·(-m)-1],

所以(-n,-m)不是“椒江有理数对”.

(3)(6,1.4)(答案不唯一).

9.解析　(1)2③=2÷2÷2=,

=÷÷÷=1÷÷=(-2)÷=4.

(2)C.

任何非零数的圈3次方都等于它的倒数,所以选项A中的说法正确;因为无论多少个1相除都是1,所以对于任何正整数n,都等于1,所以选项B中的说法正确;3④=3÷3÷3÷3=,4③=4÷4÷4=,则3④≠4③,所以选项C中的说法错误;负数的圈奇数次方相当于奇数个负数相除,则结果是负数;负数的圈偶数次方相当于偶数个负数相除,则结果是正数,所以选项D中的说法正确.故选C.

(3)(-3)④=;5⑥=;=(-2)8.

(4)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为a×.

(5)122÷×-÷34=144÷×(-3)3×-÷34

=144÷9×(-2)-9÷34=16×(-2)-=-32-

=-32.