数学北师大版 (2019)第七章 概率2 古典概型2.1 古典概型课堂检测

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1.下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率；
②从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率；
③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同)，求取到一白一红的概率；
④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
3.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(3,10)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
4．口袋中有6个除颜色外其余都相同的球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率．
(1)A＝{取出的2个球都是白球}；
(2)B＝{取出的2个球一个是白球，另一个是红球}．
5.袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．
(1)三次抽取的颜色各不相同；
(2)三次抽取的颜色不全相同；
(3)三次取出的球无红色．
1．下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
2．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
③某篮球运动员投篮一次命中的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
3．现有三张卡片，正面分别标有数字1,2,3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
4．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(1,10) D.eq \f(1,20)
6．袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球、2个白球和2个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
8．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是________．
9．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
10．(易错题)任意掷两枚骰子，计算出现点数之和为偶数的概率．
1．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq \f(1,2)
B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq \f(1,2)
D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
2．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
3．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．
(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．
§2 古典概型
2．1 古典概型
必备知识基础练
1．解析：①不是古典概型．因为从区间[1,10]内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件．
②是古典概型．因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”．
③是古典概型．道理同②.
④不是古典概型．虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”．
答案：B
2．解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案：①②④
3．解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为eq \f(3,10)，故选B.
答案：B
4．解析：设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.
从口袋中的6个球中任取2个球的样本空间为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)从口袋中的6个球中任取2个球，所取的2个球都是白球包含的样本点共有6个，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
所以取出的2个球全是白球的概率P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
(2)从口袋中的6个球中任取2个球，其中一个是白球，另一个是红球包含的样本点共有8个，分别为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)．
所以取出的2个球一个是白球，另一个是红球的概率P(B)＝eq \f(8,15).
5．解析：则基本事件的个数n＝27.
(1)记事件A为“三次抽取的颜色各不相同”，则A包含的基本事件数为6，所以P(A)＝eq \f(6,27)＝eq \f(2,9).
(2)记事件B为“三次抽取的颜色不全相同”，则B包含的基本事件数为27－3＝24，所以P(B)＝eq \f(24,27)＝eq \f(8,9).
(3)记事件C为“三次取出的球无红色”，则C包含的基本事件数为8，所以P(C)＝eq \f(8,27).
关键能力综合练
1．解析：对于A，发芽与不发芽概率不同；对于B，任取一球的概率相同，均为eq \f(1,4)；对于C，基本事件有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.
答案：B
2．解析：古典概型的概率特点是样本空间的样本点数是有限个，并且每个样本点发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型．故选A.
答案：A
3．解析：将1,2,3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为eq \f(2,3).
答案：C
4．解析：甲、乙、丙排成一排的样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的样本点有：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
答案：C
5．解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共10个样本点，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5}，∴所求概率为eq \f(1,10)，选C.
答案：C
6．解析：用A表示红球，B1，B2表示两个白球，C1，C2表示两个黑球，任取两球的样本点有：AB1，AB2，AC1，AC2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共10个．一白一黑的样本点有：B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共4个．由古典概型的概率计算公式，得P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).故选B.
答案：B
7．解析：从5个球中随机取出2个球共有10个样本点，所取出的2个球颜色不同的样本点有(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，共6个，故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
8．解析：抽取的a，b组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15个样本点，其中(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个样本点满足b＞a，故所求概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
9．解析：一次取出2根竹竿，则试验的样本空间的样本点共有(2.5，2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)10个，它们的长度恰好相差0.3 m的样本点有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)2个，故所求概率为P＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
10．易错分析：本题容易误认为点数之和为奇数有5种情况，为偶数有6种情况，所以点数之和为偶数的概率为eq \f(6,11).事实上11种情况并非等可能的，不属于古典概型．
解析：如图，可知样本空间的样本点共有36个，事件A表示“点数之和为偶数”，A包含18个样本点，故P(A)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
学科素养升级练
1．解析：记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为eq \f(1,2)，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：记事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，则A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}．
而(b，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个样本点．
其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19个样本点，故事件A的概率P(A)＝eq \f(19,36).
答案：eq \f(19,36)
3．解析：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2,2名女职工为b1，b2.
(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，该试验的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12个．其中选出的2名职工性别相同的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6个．
故选出的2名职工性别相同的概率为eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，该试验的样本点有：(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21个．
其中选出的2名职工来自同一工厂的样本点有：(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9个．
故选出的2名职工来自同一工厂的概率为eq \f(9,21)＝eq \f(3,7).
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
古典概型的判断
知识点二
古典概型的计算
知识点三
古典概型的简单应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层