高中北师大版 (2019)2.2 古典概型的应用课后练习题

2.2　古典概型的应用

1.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

2．从1,2,3,4,5,6中任取两个数字组成一个两位数，求组成的两位数大于50的概率．

3.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B的概率是，事件A的概率是事件B的概率的3倍，那么事件A的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

4．一盒中装有各种颜色的球共12个，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1个球，求：

(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．

5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)

A.  B.

C.    D.

6．在平面直角坐标系中，从点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．

7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)

A.  B.

C.  D．1

3．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离大于该正方形边长的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

4．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

6．(探究题)在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是(　　)

A．都是一级品

B．都是二级品

C．一级品和二级品各1件

D．至少有1件二级品

7．某单位要在甲、乙、丙、丁四人中选2人担任周六、周日的值班任务，每人被安排是等可能的，每天只安排一人，则甲、乙两人都被安排的概率为________．

8．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．

9．(易错题)甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道．甲、乙两人依次抽取1道题，则甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为________．

10．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．

(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

1．从52张扑克牌(没有大小王)中随机地抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率是________．

2．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝________.

3．(情境命题—生活情境)汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．

小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？说明理由．

2．2　古典概型的应用

必备知识基础练

1．解析：解法一：用A，B，C，D分别代表语文、数学、历史、体育四门课，则所有结果如图：

该试验样本空间的样本点有24个，体育不排在第一节的样本点有18个，故所求概率为＝.

解法二：我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为.

答案：D

2．解析：解法一：试验样本空间Ω＝{12,13,14,15,16,21,23,24,25,26,31,32,34,35,36,41,42,43,45,46,51,52,53,54,56,61,62,63,64,65}，共有30个样本点．设“组成的两位数大于50”为事件A，则事件A＝{51,52,53,54,56,61,62,63,64,65}，共有10个样本点．

由古典概型的概率计算公式得所求概率为P(A)＝＝.

解法二：由于50的个位数字是0，因此大于50的两位数只要十位上的数字不小于5即可，则试验的样本空间{1,2,3,4,5,6}，共有6个样本点．设十位上的数字不小于5为事件A，则事件A＝{5,6}，共有2个样本点．

由古典概型的概率计算公式得所求概率为P(A)＝＝.

3．解析：由题意，得所以P(A)＝.

答案：C

4．解析：设事件A1＝“任取1球为红球”，A2＝“任取1个球为黑球”，A3＝“任取1个球为白球”，A4＝“任取1个球为绿球”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.

根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1个球为红球或黑球的概率为：

P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.

(2)取出1个球为红球或黑球或白球的概率为：

P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

5．解析：设3个红球分别为红1，红2，红3；2个白球分别为白1，白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的样本点有：(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)，共10个，其中不含白球的，样本点只有(红1，红2，红3)，1个，所以不含白球的概率为，故至少有1个白球的概率为1－＝.

答案：D

6．解析：如图

从这五点中任取三点的样本点有：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个，逐一验证，可以发现只有ACE，BCD两个样本点不能构成三角形，故能构成三角形的概率为1－＝.

答案：

7．解析：由题意知，(a，b，c)所有的样本点：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27个．

(1)设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＋＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个样本点．

所以P(A)＝＝.

故“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3个样本点．

所以P(B)＝1－P()＝1－＝.

故“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.

关键能力综合练

1．解析：从A，B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个样本点，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2个样本点，所以所求概率P＝＝，选C.

答案：C

2．解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中取出2粒恰好是同一色的概率为.

答案：C

3．解析：

如图可知，从5个点中选取2个点，则样本空间Ω＝{OA，OB，OC，OD，AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共10个样本点．设事件A表示“两个点的距离大于该正方形边长”，A＝{AC，BD}，包含2个样本点，故P(A)＝＝.

答案：A

4．解析：两位数共有90个样本点，能被2整除的有45个，能被3整除的奇数有15个，记事件“能被2整除的两位数”和“能被3整除的两位奇数”分别为A，B，则A，B是互斥事件．因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

答案：C

5．解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，试验样本空间的样本点有：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10个，其中“甲与乙均未被录用”的样本点有(丙，丁，戊)这1个，故其对立事件“甲或乙被录用”的概率p＝1－＝.

答案：D

6．解析：设A1，A2，A3分别表示3件一级品，B1，B2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2}．

事件A表示“2件都是一级品”，则P(A)＝；

事件B表示“2件都是二级品”，则P(B)＝，

事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”，

则P(C)＝＝.

事件D表示“至少有1件二级品”，则P(D)＝.

答案：D

7．解析：解法一：从甲、乙、丙、丁中选2人安排在周六、周日，安排结果如树状图．

样本空间Ω＝{甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙}，共12个样本点．设事件A表示“甲、乙两人都被安排”，A＝{甲乙，乙甲}，包含2个样本点，故P＝＝.

解法二：只考虑选人即可．从4人中选2人所有选法有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁6个样本点．满足条件的只有甲乙一个，故所求概率为.

答案：

8．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，样本空间为{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)}，共12个样本点．

设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.

答案：

9．易错分析：错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件的总数应为20.

解析：通过列举法可得到甲抽到选择题、乙抽到填空题的样本点有6个，又甲、乙两人依次抽取1道题的样本点有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为＝.

答案：

10．解析：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，组成的样本空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个样本点组成，而且可以确定这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取出两件，组成的样本空间为Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.

学科素养升级练

1．解析：在52张牌中，J，Q和K共12张，故是J或Q或K的概率是＝.

答案：

2．解析：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4

故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.

答案：

3．解析：每次游戏时，所有样本点如下表所示：

共有9个，且每个样本点出现的可能性相同．其中，能组成上下结构的汉字的样本点有4个：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为，所以这个游戏对小慧有利．