数学必修 第一册2.1 古典概型导学案

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齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马．现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜．
[问题] (1)若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是多大？
(2)如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？



知识点 古典概型
1．古典概型的含义
一般地，若试验E具有如下特征：
(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率计算公式
对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝ eq \f(A包含的样本点个数,Ω包含的样本点总数) ＝ eq \a\vs4\al(\f(m,n)) ．
若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不是，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．
1．下列试验中，是古典概型的有( )
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四位同学用抽签法选一人参加会议
D．运动员投篮，观察是否投中
解析：选C A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型．
2．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：试验所包含的样本点有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，故所求的概率为P＝ eq \f(3,9) ＝ eq \f(1,3) .
答案： eq \f(1,3)
[例1] (链接教科书第195页思考交流)(多选)下列概率模型不属于古典概型的是( )
A．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
[解析] A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
[答案] ACD
eq \a\vs4\al()
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[跟踪训练]
下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案：①②④
[例2] (链接教科书第195页例1)同时掷两个骰子，计算：
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
(3)向上的点数之和是5的概率是多少？
[解] (1)把两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示：
所以，同时掷两个骰子的结果共有36种．
(2)由表可知，向上的点数之和是5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．
(3)记事件A表示“向上的点数之和为5”，由(2)可知，事件A包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝ eq \f(4,36) ＝ eq \f(1,9) .
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？
解：记“点数之和不大于7”这一事件为C，则C＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(6，1)}，样本点共有21个．∴P(C)＝ eq \f(21,36) ＝ eq \f(7,12) .
2．(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概率？
解：记“点数之和等于3的倍数”为事件D，即点数和为3，6，9，12的情形，则D＝{(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)}，样本点共有12个．
∴P(D)＝ eq \f(12,36) ＝ eq \f(1,3) .
eq \a\vs4\al()
求解古典概型的概率“四步”法

[跟踪训练]
1．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,5) D． eq \f(1,6)
解析：选A 甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，所以所求概率为 eq \f(1,3) .
2．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率．
解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种．其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种．
故选出的2名职工性别相同的概率为 eq \f(6,12) ＝ eq \f(1,2) .
[例3] (链接教科书第196页练习1题)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是16个，
所以样本点总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，
即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．
所以P(A)＝ eq \f(5,16) ，即小亮获得玩具的概率为 eq \f(5,16) .
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
所以P(B)＝ eq \f(6,16) ＝ eq \f(3,8) .
事件C包含的样本点个数共5个，
即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
所以P(C)＝ eq \f(5,16) .因为 eq \f(3,8) ＞ eq \f(5,16) ，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
eq \a\vs4\al()
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性；
(2)计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点．
[跟踪训练]
甲、乙两人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三档题，其中容易题2道 ，分值各10分，中档题1道，分值20分，难题1道，分值40分，两人需分别从这4道题中随机抽取1道题作答(甲、乙两人所选题目可以相同).
(1)求甲、乙所选题目分值相同的概率；
(2)求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率．
解：(1)设容易题用A1，A2表示，中档题用B表示，难题用C表示．
甲、乙两人分别从中随机抽取1道题作答，样本点共16个，为(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C).
甲、乙所选题目分值相同所包含的样本点有(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，
所以甲、乙所选题目分值相同的概率为 eq \f(6,16) ＝ eq \f(3,8) .
(2)甲所选题目分值大于乙所选题目分值所包含的样本点有(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，
所以甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率为 eq \f(5,16) .
1．下列试验中，是古典概型的为( )
A．三月份某一天是否下雨
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．春天移植的树苗能否成活
解析：选C 古典概型有两个条件：有限性、等可能性．故选C.
2．在某微信群的“微信抢红包”活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元的5个红包，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率是( )
A． eq \f(3,10) B． eq \f(2,5)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,5)
解析：选D 由题意，知甲、乙抢到的金额包含的样本点的总数为20，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，…，(1.55，0.62)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，…，(0.62，1.55).甲、乙抢到的金额之和不低于3元包含的样本点有12个，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1.55)，(1.83，2.28)，(1.83，1.55)，(2.28，1.55)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，(1.55，1.72)，(2.28，1.83)，(1.55，1.83)，(1.55，2.28).所以甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率为 eq \f(12,20) ＝ eq \f(3,5) .故选D.
3．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A． eq \f(3,5) B． eq \f(2,5)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,8)
解析：选C 集合{a，b，c，d，e}有25＝32个子集，集合{a，b，c}有23＝8个子集，所以所求概率P＝ eq \f(8,32) ＝ eq \f(1,4) .
4．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,5)
解析：选A 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又因为所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝ eq \f(1,4) .
5．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人共有15个样本点(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，2名都是女同学的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共有3个样本点故所求的概率为 eq \f(3,15) ＝ eq \f(1,5) .
答案： eq \f(1,5)
新课程标准解读
核心素养
结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率
数学抽象、数学运算
古典概型的判断
较为简单的古典概型问题
1
2
3
4
5
6
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
(1，6)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
(2，6)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
(3，6)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
(4，6)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
(5，6)
6
(6，1)
(6，2)
(6，3)
(6，4)
(6，5)
(6，6)
较为复杂的古典概型问题