数学必修 第一册4 事件的独立性课时练习

这是一份数学必修 第一册4 事件的独立性课时练习，共10页。试卷主要包含了4，乙胜丙的概率为0等内容，欢迎下载使用。

1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
2．从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
4.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( )
A.eq \f(3,20) B.eq \f(42,135)
C.eq \f(47,250) D．以上都不对
5．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
6．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为eq \f(1,2)与eq \f(2,5).
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )
A.eq \f(14,25) B.eq \f(12,25)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,5)
2．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D．1
3．2020年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq \f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,5).假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A.eq \f(59,60) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,60)
4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
5．甲射手击中靶心的概率为eq \f(1,3)，乙射手击中靶心的概率为eq \f(1,2)，甲、乙两人各射一次，那么eq \f(5,6)等于( )
A．甲、乙都击中靶心的概率
B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率
C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率
D．甲、乙不全击中靶心的概率
6．(探究题)如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少
有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
7．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是________．
8．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
9．(易错题)在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率为________．
10．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
1．(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为eq \f(1,6)
B．2个球不都是红球的概率为eq \f(1,3)
C．至少有1个红球的概率为eq \f(2,3)
D．2个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,2)
2．某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为eq \f(5,12)，至少一项技术指标达标的概率为eq \f(11,12).按质量检验规定，两项技术指标都达标的零件为合格品，则一个零件经过检测为合格品的概率是________．
3．计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为eq \f(4,5)，eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，在实际操作考试中“合格”的概率依次为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
§4 事件的独立性
必备知识基础练
1．解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标．也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
答案：A
2．解析：(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P(A)＝eq \f(4,52)＝eq \f(1,13)
抽到红牌的概率为P(B)＝eq \f(26,52)＝eq \f(1,2)，
故P(A)P(B)＝eq \f(1,13)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,26)，
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝eq \f(2,52)＝eq \f(1,26)，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥．由于P(A)＝eq \f(1,13)≠0.P(C)＝eq \f(1,13)≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件．
3．解析：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4).
(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．租车费用都为0元的概率为p1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，租车费用都为2元的概率为p2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，租车费用都为4元的概率为p3＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).
所以甲、乙所付租车费用相同的概率p＝p1＋p2＋p3＝eq \f(5,16).
(2)设“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元”为事件A，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．
所以P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,16)，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为eq \f(5,16).
4．解析：利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \f(7,10)＝eq \f(47,250).
答案：C
5．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
答案：0.09
6．解析：(1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,5)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,5).
∴恰好命中一次的概率为P＝P(A·eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))·B)＝P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))2＝eq \f(9,100).
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝eq \f(91,100).
关键能力综合练
1．解析：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，根据题意知，P(A)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(7,10)，且A与B相互独立，故他们都命中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(14,25).
答案：A
2．解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
根据题意，知事件A和B相互独立，
且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3).
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，
则C＝Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \x\t(A)B，且Aeq \(B,\s\up6(－))和eq \x\t(A)B互斥，
故P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \x\t(A)B)
＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \x\t(A)B)
＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)
＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
答案：C
3．解析：设“这段时间内至少有1人去北京旅游”为事件A，则“这段时间内没有人去北京旅游”为事件eq \x\t(A)，且P(eq \x\t(A))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(2,5)，故P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝eq \f(3,5).故选B.
答案：B
4．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq \f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq \f(3,4).
答案：A
5．解析：设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A，则P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，甲、乙不全击中靶心的概率为P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq \f(5,6).
答案：D
6．解析：解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(eq \x\t(A1)A2)＋P(A1eq \x\t(A2))＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为
P(K)[P(eq \x\t(A1)A2)＋P(A1eq \x\t(A2))＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
故选B.
解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为
1－P(eq \x\t(A1) eq \x\t(A2))＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(eq \x\t(A1) eq \x\t(A2))]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
答案：B
7．解析：设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75.
答案：0.75
8．解析：若都取到白球，P1＝eq \f(8,12)×eq \f(6,12)＝eq \f(1,3)，
若都取到红球，P2＝eq \f(4,12)×eq \f(6,12)＝eq \f(1,6)，
则所求概率P＝P1＋P2＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．解析：由题意知逆时针方向跳的概率为eq \f(2,3)，顺时针方向跳的概率为eq \f(1,3)，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条，按A→B→C→A，P1＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)；
第二条，按A→C→B→A，P2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27)，
所以跳三次之后停在A片上的概率为P1＋P2＝eq \f(8,27)＋eq \f(1,27)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
10．解析：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up6(－)))
＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
学科素养升级练
1．解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝eq \f(1,3)，P(A2)＝eq \f(1,2)，且A1，A2独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为eq \f(5,6)，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，D正确．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1，P2，一个零件经过检测为合格品的概率为P.
由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P11－P2＋P21－P1＝\f(5,12),1－1－P11－P2＝\f(11,12)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P1＝\f(3,4),P2＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P1＝\f(2,3),P2＝\f(3,4)，))
则P＝P1P2＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
3．解析：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,5)，
P(B)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(2,3)×eq \f(5,6)＝eq \f(5,9).
因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．
(2)设“三人计算机考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \(A,\s\up6(－))BC)
＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(4,9)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)
＝eq \f(11,30).
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
相互独立事件的判断
知识点二
相互独立事件同时发生的概率
知识点三
互斥事件、对立事件与独立事件的综合应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层