初中数学苏科版八年级上册6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学设计

课题：6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式

教材：苏科版八年级上册第六章

教学目标：

1．通过具体实例，初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.

2．了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决实际问题过程中的作用和联系，能综合运用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式解决相关的问题。

3．通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及问题的解决，学会用函数的观点去认识问题。

教学重点：

通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．

教学难点：

了解一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系.

教学策略选择与设计：

本节课综合运用演示法、启发式、合作学习等策略，引导学生学进去，面向全体，多设台阶，降低难度，形成“形”“数”互化意识，为学生自主探究打好基础。集思广益，理清知识脉络；明确内在联系，形成解题思路。用不同解法去体验一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的密切联系，明白它们是从不同角度刻画同一运动变化过程中两个变量之间的对应关系的数学模型，是一个无法割裂的有机整体。为内化知识，形成技能做准备。

教学过程：

一、自主先学1

1.（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；

（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；

（3）不等式2x＋4＜0的解集为________.

2.当自变量x        时, 函数y=2x+4的值等于零?

  当自变量x        时, 函数y=2x+4的值大于零?

  当自变量x        时, 函数y=2x+4的值小于零?

3.归纳总结1：

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.

已知一次函数的表达式，

当其中一个变量的值确定时，可以由相应的____________确定另一个变量的值．

当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的_________确定另一个变量的取值范围．

设计思路：

通过自主先学1，帮助学生通过解一元一次方程、一元一次不等式和探究一次函数变量间的关系和图像特征为一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的探讨作好铺垫，体会三者内在联系．

   自主先学2

6.一元一次不等式5x-6>3x-10转化为ax+b>0或ax+b<0的形式为               ，其解集为      。

思考:是不是任意的一元一次不等式都能进行这样的转化呢?     是     不是     (打√)

7.如果每个不等式都能转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的         边与一次函数y=kx+b的形式是一致的

8.归纳总结2：

解一元一次不等式从函数值的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的       值大于或小于零的自变量的取值范围.即：ax+b>0或ax+b<0中x的取值范围

设计思路：

通过自主先学2，进一步帮助学生体会一元一次不等式与函数的对应关系；

教师应重点关注：

(1)学生能否体会到解一元一次不等式与当一次函数大于或小于零时,求自变量的取值范围的关系.

(2)学生独立思考及参与解决问题的积极性

二、合作助学

问题1：一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过

点（   ，   ）、点（   ，   ）的直线。

2.在坐标系中画出y=2x＋4的图象。

观察：这条直线上的点。

3．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．

思考：（1）试用红笔描出y>0时图象上点的位置。

     （2）这个问题与解一元一次不等式是同一问题吗？  是     不是     (打√)

学生独立完成画图，相互交流观察与思考的结果，教师巡视，对学生出现的疑问给予帮助。师生共同归纳得到。函数y=kx+b，当y>0时的点在x轴的上方，即此时y=kx+b>0。

通过图象让学生认识不等式的解集与图象上点的坐标的联系

      （3）观察图像，当y>0时，自变量x应取何值？

学生独立完成问题，然后师生共同归纳得到，解一元一次不等式从形的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）部分所有点的横坐标所构成的集合。

归纳总结3：

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.

已知一次函数的表达式，当其中因变量y的取值确定时，大于这个变量的范围可以由这个图像的       部相应的所有点的         坐标所构成的集合，确定另一个变量的取值范围．小于这个变量的范围可以由这个图像的       部相应的所有点的         坐标所构成的集合，确定另一个变量的取值范围．

设计思路：

通过问题设置，帮助学生从形的角度去认识一次函数与解一元一次不等式的关系。通过观察函数图像直接找出一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.凸显数形结合的数学思想，让学生初步感受一次函数、一元一次方程和一元一次不等式三者的特点，体会它们之间的关系，初步形成对数学整体性的认识．

在此活动中，教师应重点关注：

1）学生是否通过“数”和“形”的角度去认识一次函数与解一元一次不等式。

2）学生是否能意识到图象法解一元一次不等式的优点和缺点。

三、拓展导学

例　一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.如果每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.试写出弹簧的长度与所挂物体重量之间的函数关系式；

设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.

写出y与x之间的函数表达式                  ，

如果画该函数的图像，根据实际意义，函数图像只会

出现在第      象限，画出函数图像，

如果在弹簧伸长后的长度不能超过35cm，试求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．

你还能用什么方法解决这个问题？

法二：

法三：

引导导学生尝试用不同的方法解决问题．使学生认识到：函数求值和变量范围确定的问题可以通过方程、不等式解决、图像等方法解决．

设计思路：

1．例题是弹簧挂物问题，学生不难列出一次函数的关系式，画出函数图像.

2．通过函数图像的观察结合实际意义，学生容易想到，当弹簧的长度为35 cm时，物体A的质量最大，从而利用方程解决问题.

3．题目中的“不超过”其实暗含的是不等式的模型，所以很自然会考虑用不等式解决问题.

四、检测促学

1．x取什么值时，函数y＝－2x＋4的值是正数？负数？非负数？

2．声音在空气中的传播速度（简称音速）y（m/s）与气温x（℃）之间的函数表达式为y＝0.6x＋331．求：

   （1）音速为340 m/s时的气温；

   （2）音速超过340 m/s时的气温范围.

变式训练：

3．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝6的解

和不等式2x＋4＞6、2x＋4＜6的解．

4.已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像，观察图像并回答问题：

（1）x取何值时，2x－4＞0？

（2）x取何值时，－2x＋8＞0？

（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？

5．尝试：

一辆汽车行驶了35 km后，驶入高速公路，并以105 km/h的速度匀速行驶了x h.试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解．

由学生自己先做 (或互相讨论)，然后回答.

设计思路：

变式训练与前面的探索活动相呼应，培养学生的逻辑思维能力，进一步渗透数形结合的数学思想.

开放式问题的设计，可以使学生进一步加强对三者关系的认识.

教师应根据学生情况选择题目，要注意题目的针对性，并结合学生出现的问题进行讲评.

在此次活动中，教师应重点关注：

（1）学生是否能灵活运用一元一次方程、一元一次不等式的知识解决问题。

（2）学生能否建立函数模型并将“数”和“形”结合起来。

五、小结反思

1、你对本节课的内容有哪些认识？

学生思考后充分发表自己的意见。

2、师生共同归纳总结：

 一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的关系；

 （1） 从“数”和“形”两个方面去看一元一次不等式和一元一次方程；

 （2）如果已知一次函数的解析表达式，那么当其中一个变量的值确定时，可以用相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的范围确定时，可以用相应的一元一次不等式确定另一个变量的范围.

  (3)解一元一次不等式从函数值的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的Y值大于或小于零的自变量的取值范围.即：ax+b>0或ax+b<0中x的取值范围

 （4）已知一次函数的表达式，当其中因变量y的取值确定时，大于这个变量的范围可以由这个图像的上部相应的所有点的横坐标坐标所构成的集合，确定另一个变量的取值范围．小于这个变量的范围可以由这个图像的下部相应的所有点的横坐标坐标所构成的集合，确定另一个变量的取值范围．

在此次活动中，教师应重点关注：

积极评价不同层次学生的不同认识，从不同角度去理解函数与一元一次不等式、一元一次方程的关系。

六、布置作业 

必做：P165习题6.6第2、3题．

选做：P166习题6.6第4题.

设计思路：

在此次活动中，教师应重点关注：应根据学生情况选择题目．要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

七、教学评价设计

本节课采用“学讲方式”，利用学案引导，通过自主探究、合作交流为主的学习方式，关注学生自学能力培养；分散难点，突出重点，融知识技能于实际问题情境，迁移渗透数学思想方法，关注学生数学思维能力培养；巧降难度多铺台阶，多元标准分层评价，激发学生探究问题的兴趣，关注学生个性发展的需求。