2021学年第一章 勾股定理综合与测试单元测试达标测试

这是一份2021学年第一章 勾股定理综合与测试单元测试达标测试，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分)
1．△ABC三边长分别为a、b、c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝13
2．我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是( )
A．分类思想B．方程思想C．转化D．数形结合
3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5B．6C．7D．25
4．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于( )
A．B．C．D．
5．五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )
A．B．C．D．
6．如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( )
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，，，其中，则下列对长度判断正确的是( )
A．B．C．D．无法确定
8．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为( )
A．B．C．D．
9．如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有( )
A．1处B．2处C．3处D．4处
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是( )
A．B．C．D．
11．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
( )
A．B．C．D．
12．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2
13．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则( )
A．S1＝S2B．S1＝S3C．S2＝S3D．S1＝S2+S3
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是( )
A．①②③B．①②③④C．①③D．②④
二、填空题(本题共4个小题；每个小题3分，共12分，)
1.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.
2.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．
3.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＋AB＝10，BC＝3，则AC＝___________．
4.如图，在中，，、是边上的点，连结、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若，，则线段的长为_________．
三、解答题(本题共8道题，1-3每题6分，4-7每题8分，8题10分，满分60分)
1.如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．
2.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9．
(1)求CD的长．
(2)求AD的长．
(3)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
3.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
4.某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为25元，小区修建这个花园需要投资多少元？
5.常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为(a，b，c)．
(1)请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点(格点)．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格(有时简称网格)，这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．
(2)已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．
6.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里(即RQ=30).解答下列问题:
(1)求PR、PQ的值；
(2)求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)
7.在中，，是边上的一点(不与点重合)，边上点在点的右边且，点关于直线的对称点为，连接．

(1)如图1，
①依题意补全图1；
②求证：；
(2)如图2，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
8.如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
(1)则BC＝ cm；
(2)当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ＝ ；
(3)当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
答案
一、选择题
1．B． 2．D ． 3．A． 4．D． 5．C． 6．A． 7．C． 8．A
9．D 10．D 11．C 12．A 13．A． 14．A
二、填空题
1.4
2.13，84，85
4.4
三、解答题
1.解：在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=65m，BC=25m，
∴,
∴(m)
答：该河流的宽度为60 m
2.解：(1)∵ CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
在Rt△CDB中，CD＝＝＝12．
(2)在在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，AC=20，CD=12，
∴AD＝ ＝＝16．
(3)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝AD＋BD＝16＋9＝25，
∴AC2＋CB2＝202＋152＝625，
AB2=252=625，
∴AC2＋CB2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
3.由题意得：是直角三角形，，米
设，则
在中，由勾股定理得：，即
解得(米)
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
4.解：过点A作AD⊥BC于点D，
设BD=x，则CD=14﹣x，在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2=AB2﹣BD2 ， AD2=AC2﹣CD2 ，
∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2 ，即132﹣x2=152﹣(14﹣x)2 ，
解得x=5，
∴AD2=AB2﹣BD2=132﹣52=144，
∴AD=12(米)，
花园的面积＝×14×12＝84 (m2 )
∴学校修建这个花园的费用=25×84=2100(元)．
答：学校修建这个花园需要投资2100元．
5.(1)根据勾股数的定义计算即可；
(2)根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：(1)∵52+122＝132，
∴m＝13；
∵92+402＝412，
∴n＝40，
∵82+152＝172，
∴p＝8．
(2)如图所示：
在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，
S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．
6.(1)PR的长度为:12×1.5=18海里，
PQ的长度为:16×1.5=24海里；
(2)∵
∴，
∵“远航”号向北偏东方向航行，即，
∴，即 “海天”号向北偏西方向航行．
7.(1)①依题意补全图形，如图1．
②证明：连接，如图2．
，
．
点F与点D关于直线对称，
，．
．
又，
．
．
(2)线段之间的数量关系是．
证明：连接，如图3．
，
．
由(1)②，可得．
在中，由勾股定理，得．
．
8.解：(1)∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，
∴BC＝＝＝12(cm)．
故答案为：12；
(2)如图，
∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，
在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+(16﹣t)2＝t2，
解得：t＝．
此时，点Q在边AC上，CQ＝(cm)；
故答案为：13cm．
(3)①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴2t=22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴2t=24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
∴，
∴＝．
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴2t=26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
a
b
c
a
b
c
3
4
5
4
3
5
5
12
m
6
8
10
7
24
25
p
15
17
9
n
41
10
24
26
11
60
61
12
35
37
…
…
…
…
…
…