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初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案及反思
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案及反思，共5页。
课题
22.1.1二次函数
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；
2.会利用二次函数的概念解决问题；
3.根据实际问题列出二次函数表达式.
重点
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；
2.会利用二次函数的概念解决问题．
难点
理解并掌握二次函数的概念和一般形式．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.什么是函数？
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
什么是一次函数？正比例函数？
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数．
学生回忆并回答问题.
回顾函数、一次函数、正比例函数的定义.
讲授新课
环节一：探究二次函数的定义
问题1：正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y．显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示
问题2：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为:
问题3：某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)2 t，即两年后的产量是：
思考：上面三个问题中的关系式有什么共同点?
都有两个变量，对于 x（或 n） 的每一个值，y （或 m）都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数（或 m 是 n 的函数）．而且函数都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
其他特殊形式：（1）当b=0 时，y=ax2+c
当c=0 时，y=ax2+bx
注意：1. 等号左边是函数，等式右边是关于自变量的整式；
2. 二次项系数a≠0；
3. 二次项系数、一次项系数、常数项包含前面的符号；
4. 自变量的最高次数是2；
5. 自变量的取值范围是：一般情况是全体实数，实际问题要符合实际意义.
思考：二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有什么联系和区别？
联系：
(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0；
(2)方程ax2+bx+c=0可以看成函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:
(1)前者是函数,后者是方程；
(2)函数的左边是y,方程右边是0.
环节二：二次函数定义的运用
例1 下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
(1)y=3(x-1)²+1 √ 二次项系数:3，一次项系数:-6，常数项:4
×
s=3-2t² √ 二次项系数:-2，一次项系数:0，常数项:3
(4) y=(x+3)²-x2 × 先整理化简后，再作判断
(5)v=10πr² √ 二次项系数:10π，一次项系数:0，常数项:0
(6) y=ax2 × 强调a≠0
例2 如果是二次函数，求m的值.
解：由题意知
解得 m=0
强调：满足的条件：（1）二次项系数不等于0；
（2）未知数最高次数为2
例 3 如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y 与 x 的关系式．
解：由题意知
扩充后的绿地的面积是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600
即 y=x2+50x+600
环节三：课堂练习
1.下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
√ a=3,b=0,c=2
×
√ a=1,b=-5,c=6
×
×
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式S=4πr2
3.关于x的函数是二次函数, 则m=2.
4. 已知
(1)m取什么值时,此函数是正比例函数？
(2)m取什么值时,此函数是二次函数？
解：(1)由题可知
解得
由题可知
解得m=3
学生自学课本P28 ，回答问题.
归纳得出二次函数的定义.并找出二次函数与一元二次方程的区别和联系.
运用二次函数的定义进行判断、求解未知字母的值以及解决实际问题.
学生练习、板演解题过程，师生互评，进行订正.
从具体问题到一般规律获得二次函数的定义，区别二次函数和一元二次方程的定义.
深刻理解二次函数的定义，初步理解问题并能用所学的知识解决问题.
培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
二次函数
课堂小结
a，b，c包含前面的符号，a≠ 0
定义
未知数的最高次数为2
y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)
一般形式
y=ax²+bx
y=ax²+c
求未知字母m的值
应用
根据实际问题列出二次函数表达式
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.1.1 二次函数
定义： 一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）
例1 例2
例3 练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
课题
22.1.1二次函数
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；
2.会利用二次函数的概念解决问题；
3.根据实际问题列出二次函数表达式.
重点
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；
2.会利用二次函数的概念解决问题．
难点
理解并掌握二次函数的概念和一般形式．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.什么是函数？
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
什么是一次函数？正比例函数？
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数．
学生回忆并回答问题.
回顾函数、一次函数、正比例函数的定义.
讲授新课
环节一：探究二次函数的定义
问题1：正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y．显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示
问题2：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为:
问题3：某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)2 t，即两年后的产量是：
思考：上面三个问题中的关系式有什么共同点?
都有两个变量，对于 x（或 n） 的每一个值，y （或 m）都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数（或 m 是 n 的函数）．而且函数都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
其他特殊形式：（1）当b=0 时，y=ax2+c
当c=0 时，y=ax2+bx
注意：1. 等号左边是函数，等式右边是关于自变量的整式；
2. 二次项系数a≠0；
3. 二次项系数、一次项系数、常数项包含前面的符号；
4. 自变量的最高次数是2；
5. 自变量的取值范围是：一般情况是全体实数，实际问题要符合实际意义.
思考：二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有什么联系和区别？
联系：
(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0；
(2)方程ax2+bx+c=0可以看成函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:
(1)前者是函数,后者是方程；
(2)函数的左边是y,方程右边是0.
环节二：二次函数定义的运用
例1 下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
(1)y=3(x-1)²+1 √ 二次项系数:3，一次项系数:-6，常数项:4
×
s=3-2t² √ 二次项系数:-2，一次项系数:0，常数项:3
(4) y=(x+3)²-x2 × 先整理化简后，再作判断
(5)v=10πr² √ 二次项系数:10π，一次项系数:0，常数项:0
(6) y=ax2 × 强调a≠0
例2 如果是二次函数，求m的值.
解：由题意知
解得 m=0
强调：满足的条件：（1）二次项系数不等于0；
（2）未知数最高次数为2
例 3 如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y 与 x 的关系式．
解：由题意知
扩充后的绿地的面积是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600
即 y=x2+50x+600
环节三：课堂练习
1.下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
√ a=3,b=0,c=2
×
√ a=1,b=-5,c=6
×
×
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式S=4πr2
3.关于x的函数是二次函数, 则m=2.
4. 已知
(1)m取什么值时,此函数是正比例函数？
(2)m取什么值时,此函数是二次函数？
解：(1)由题可知
解得
由题可知
解得m=3
学生自学课本P28 ，回答问题.
归纳得出二次函数的定义.并找出二次函数与一元二次方程的区别和联系.
运用二次函数的定义进行判断、求解未知字母的值以及解决实际问题.
学生练习、板演解题过程，师生互评，进行订正.
从具体问题到一般规律获得二次函数的定义，区别二次函数和一元二次方程的定义.
深刻理解二次函数的定义，初步理解问题并能用所学的知识解决问题.
培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
二次函数
课堂小结
a，b，c包含前面的符号，a≠ 0
定义
未知数的最高次数为2
y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)
一般形式
y=ax²+bx
y=ax²+c
求未知字母m的值
应用
根据实际问题列出二次函数表达式
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.1.1 二次函数
定义： 一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）
例1 例2
例3 练习
教师展示本节课的内容.
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