初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计及反思

从算式到方程（1）

一、内容和内容解析

1．内容

方程及一元一次方程的概念；根据问题中的数量关系，设未知数建立方程模型．解方程及方程的解的概念．

2．内容解析

方程是初等代数学的核心内容，是解决实际问题的一种重要的数学模型．方程的出现是从算术方法发展到代数方法的一个重要标志．方程随着实践的需要而产生，它是具备了“含有未知数”特征的等式，它使得实际问题中的已知数与未知数通过等式连接起来．列方程描述问题中的相等关系，解方程使问题中的未知数转化为确定的解，这种以方程为工具解决问题的思想即“方程思想”，它在本章中占主要地位．

一元一次方程是最简单的代数方程．解任何一个代数方程(组)最终都要化归为一元一次方程．一元一次方程是具备了“含有一个未知数，未知数的次数是一次”两个特征的整式方程(即等号两边都是整式的方程)．整式方程一般是按照其中未知数(元)的个数和未知数的最高次数分类，也就是方程的命名是根据未知数的个数定“元”，根据未知数的最高次数定方程的次数．一元一次方程中的“一元”指方程仅含有一个未知数，“一次”指未知数的次数为1．

利用方程解决实际问题，首先要根据实际问题列出方程，而列出方程以后，接下来就要研究如何解方程，以便得到方程的解．那么什么是方程的解就是学生首先要了解的问题，方程的解是一个数值，它需要满足“使方程中等号左右两边相等”的条件．要得到方程的解，就必须经历解方程的过程．本节课并没有系统研究如何解一元一次方程，而是对简单的一元一次方程利用估算的方法得到方程的解．对于一个数值，它是不是某个一元一次方程的解，就要通过检验看它能不能“使方程中等号左右两边相等”．但对于比较复杂的一元一次方程，借助估算的方法并不容易得到方程的解，这也为以后学习解一元一次方程的具体方法埋下伏笔．

由以上分析，可以确定本节课的教学重点是：方程及一元一次方程的概念，方程思想．方程的解的概念及用观察估算的方法寻求方程的解．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)了解方程及一元一次方程的概念．

(2)经历列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想．

(3)了解解方程及方程的解的概念．

(4)体验用观察估算的方法寻求方程的解的过程，通过具体数值的计算和比较，渗透从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：使学生知道方程是含有未知数的等式，一元一次方程是含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程；能准确判断一个等式是否为方程和一元一次方程，能举出方程及一元一次方程的具体例子．

达成目标（2）的标志是：使学生通过对行程问题的分析，并尝试用算式和方程两种方法解决，从而认识到方程的优越性．在此过程中，学生需要经历在实际问题中建立方程模型并认识它的结构特征的过程，体会出方程是解决问题的有力工具，并在不断重复运用的过程中加深对方程思想的体会．

达成目标（3）的标志是：使学生知道方程的解是使方程中等号左右两边相等的未知数的值；了解求出方程的解的过程就是解方程；了解要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等．

达成目标（4）的标志是：通过具体数值的代入计算和比较，体验用观察估算的方法寻求方程的解的过程；渗透从特殊到一般，从具体到抽象的数学方法；在此过程中，使学生体会到利用估算的方法能得出简单的一元一次方程的解，但对于比较复杂的一元一次方程，借助估算的方法并不容易得出方程的解，这也为以后学习解一元一次方程的具体方法埋下伏笔．

三、教学问题诊断分析

在小学学段，学生已经习惯了用算术的方法解决实际问题，而对于如何设未知数，如何寻找相等关系，如何用含有未知数的式子表示相等关系，虽然已经有所接触，但是还不够熟练，从算术方法过渡到代数方法的思维转变还有一定困难．因此，本节教学时应该进行有针对性的问题引领．通过思考，让学生比较算术方法和代数方法，体会方程在解决问题中的优势，从而更重视到对方程的学习．

上节课从实际问题(行程问题)开始讨论，在引出方程后提出“从算式到方程是数学的进步”．学生了解了方程及一元一次方程的概念，体会到方程的优越性．如何解一元一次方程，学生在小学阶段虽然有所接触，但是很不系统．由于学生已经有了算术方法的基础，对于简单的一元一次方程估算求解可以完成，但对于比较复杂的一元一次方程，估算求解并不容易．

由以上分析，本节课的教学难点是：从列算式到列方程的思维习惯的转变．用观察估算的方法寻求较复杂的方程的解．

四、教学过程设计

1．创设情境，提出问题

在小学，我们已经见过像这样的简单方程，其中字母表示未

知数．方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工具．研究许多问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分析数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数．怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？这是本章研究的主要问题．通过学习本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一元一次方程解决问题的方法．本节课就来了解一下一元一次方程．

问题1 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地．A，B两地间的路程是多少？

(1)这是一道行程问题，小学大家会用算术方法解决这个问题，请列算式试试．

师生活动：教师展示问题，学生讨论并展示解决问题的结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷(或学生没有解决问题的方案)，教师提出进一步学习新解法的必要性．

设计意图：让学生感受问题1用算术解法不容易解决，使学生认识到进一步学习新解法的必要性．在学生尝试算术方法解决问题之后，教师提问：

此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？ 你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？列方程的依据是什么？

教师与学生一起进行分析，引导学生找出相等关系列出方程．客车和卡车从A地到B地所用的时间分别表示为h和h．因为客车比卡车早1h经过B地，所以比小1，即－＝1．

问题2 对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？

教师提出问题，学生思考回答．

此环节教师应关注：(1)学生用算式是否能顺利地讨论问题；(2)学生从方程的角度是否可以顺利设出未知数，用未知数表示等量关系．

设计意图：这是一个行程问题，用未知量表示路程、时间、速度，让学生体会到用字母也可以表示数量，找出相等关系是列方程的关键所在．通过对问题的思考有助于分析问题，体会一个问题中的相等关系往往不止一个，所以列出方程的角度不是唯一的．

2．定义方程，感受过程

问题3 你能归纳出方程的定义吗？

教师引导学生结合上面等式的特征，给出方程的定义．

师生活动：学生归纳出定义之后，提问：你能举出方程的一个例子吗？

说明：列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．

此环节教师应关注：(1)学生能否归纳出方程的两个特点；(2)学生能否正确举例；(3)学生对学习方程的兴趣．

设计意图：这是首次正式给出方程的定义，学生在小学已经学过简易方程，通过举例可让学生回顾已经学过的知识．

3．尝试归纳，探究新知

例1   根据下列问题，设未知数并列出方程：

(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(4x＝24)

(2)一台计算机已经使用1 700 h，预计每月再使用150 h，经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450 h？(50x＋1 700＝2 450)

(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？(52%x－48%x＝80)

师生活动：教师出示问题，学生独立完成，学生代表分析并展示结果．

设计意图：通过例题的学习，让学生再次熟悉列方程时的设未知数、寻找相等关系、列出方程的过程，为学习一元一次方程的定义奠定基础．

问题4 观察上面的例题，列出的三个方程有什么特征？

教师引导学生对列出的方程进行特征分析．教师可以提示：观察方程的特征可以从未知数的个数和次数来观察．

只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1(次)，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．

设计意图：运用三个问题巩固列方程的一般步骤，强调列方程是依据了相等关系，进一步让学生体会相等关系是列方程的关键．在归纳方程特征的过程中，培养学生观察、分析、归纳的能力．

练习  下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？

(1)2x＋1；(2)2m＋15＝3；(3)3x－5＝5x＋4；(4)x2＋2x－6＝0；

(5)－3x＋1.8＝3y；(6)3a＋9＞15．

师生活动：学生思考回答，教师点拨．

此环节教师应关注：(1)学生对列方程的掌握情况；(2)学生能否正确归纳出一元一次方程的特征；(3)学生能否运用概念进行正确辨析．

设计意图：让学生巩固对方程与一元一次方程的概念的认识．

明确一元一次方程的概念，请同学们思考．

(1)怎样将一个实际问题转化为方程问题？

(2)列方程的依据是什么？

学生针对上面的分析过程做进一步思考、归纳，教师帮助学生规范语言．

教师展示结论． 

将实际问题转化为数学问题的一般过程：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法．

实际问题               一元一次方程

设计意图：归纳得出分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．

问题5列方程是解决问题的重要方法．列出方程后，还要求出符合方程的未知数的值．那么，怎样求出符合方程的未知数的值呢？

对于简单的一元一次方程，估算是一种重要的方法，采用估算的方法可以找出符合方程的未知数的值．

本环节中，教师应重点关注：

(1)学生能否理解方程、一元一次方程的概念；

(2)学生能否把握一元一次方程的三个特征：一元、一次、整式；

(3)学生能否举出正确的一元一次方程的例子；

(4)学生能否体会到列方程的关键是确定相等关系．

设计意图：使学生加深对方程、一元一次方程的概念的理解；准确把握一元一次方程的三个特征：一元、一次、整式；使学生进一步体会列方程的关键是确定相等关系，并为后面估算方程的解提供素材．

问题6 你认为怎样进行估算可以找出符合方程的未知数的值．

师生活动：学生分组讨论后回答，教师引导学生采用“尝试——发现——归纳”的方法，使学生尝试后发现通过估算找出符合方程的未知数的值的方法．

估算：用一些具体的数值代入方程，看方程是否成立．

本环节中，教师应重点关注：

(1)学生能否举出简单的一元一次方程，用一些具体的数值代入方程进行估算；

(2)学生能否主动思考、合作探索归纳出估算方程的解的方法．

设计意图：使学生在合作交流中，总结出通过估算找出符合方程的未知数的值的方

法，培养学生归纳概括的能力和语言表达能力，让学生体会到估算的重要性．

估算：

(1)方程4x＝24中未知数x的值是多少？

(2)方程1 700＋150x＝2 450中未知数x的值是多少？

教师出示问题(1)，学生进行估算，教师板书过程．

当x＝6时，方程4x＝24等号左右两边相等．x＝6叫做方程4x＝24的解．

教师出示问题(2)，学生思考，教师进行引导：

①当x＝1时，1 700＋150x的值是多少？

②当x＝2时，1 700＋150x的值是多少？

师生活动：师生共同完成解答过程．

当x＝5时，方程1 700＋150x＝2 450等号左右两边相等．x＝5叫做方程1 700＋150x＝

2 450的解．

本环节中，教师应重点关注：

(1)学生能否估算出简单的一元一次方程的解；

(2)学生能否体会从特殊到一般，从具体到抽象的数学方法．

设计意图：对于简单的一元一次方程可以通过观察估算直接得出方程的解．但是对于比较复杂的一元一次方程用估算求解就比较困难了．通过这两个小题，使学生经历估算方程的解的过程，掌握估算方程的解的方法，体会从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法．

问题7思考：x＝1 000和x＝2 000中哪一个是方程0.52x－(1－0.52)x＝80的解？

师生活动：学生思考、讨论后，师生共同完成解答过程．

当x＝1 000时，0.52x－(1－0.52)x＝40，所以，x＝1 000不是方程的解；

当x＝2 000时，0.52x－(1－0.52)x＝80，所以，x＝2 000是方程的解．

总结：一般地，要检验某个值是不是方程的解，就是用这个值代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等．

本环节中，教师应重点关注：

(1)学生能否理解方程的解与解方程的概念；

(2)学生是否了解检验一个数值是不是某个方程的解的方法．

设计意图：以框图形式呈现，为后面学习一元一次方程的一般解法作准备，初步渗透程序化思想．通过思考，使学生体会检验方程的解的过程，加深对方程的解的理解．

4．应用概念，巩固延伸

练习  根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：

(1)环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？

(2)甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？

(3)一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底．

(4)用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？

(5)某班开展为贫困山区学校捐书活动，捐的书比平均每人捐3本多21本，比平均每人捐4本少27本，求这个班有多少名学生？如果设这个班有x名学生，请列出关于x的方程并估算方程的解．

师生活动：教师出示问题，学生独立完成，小组讨论，学生代表展示结果．

此环节教师应关注：(1)学生对方程和一元一次方程概念是否理解；(2)学生是否可以独立地进行设、列方程；(3)学生对于学习的热情．

设计意图：让学生巩固列方程的基本步骤，在给学生数学知识的同时渗透建立数学模型的思想方法．

5．课堂小结，布置作业

课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？

师生活动：学生发表对本节课的认识和理解，其他同学加以补充，教师及时给予激励性评价．

本环节中，教师应重点关注：学生能否从多方面、多角度进行总结归纳．

设计意图：课堂小结不仅可以使学生巩固所学知识和方法，加深对所学内容的理解，还可以培养学生独立分析、归纳概括的能力，充分发挥学生的主体作用．

教科书第83页习题3.1第3，5，6，7，8题．

五、目标检测设计

1．下列各式中，是方程的是(     )．

①3＋6＝9；②2x－1；③x＋1＝5；④3x＋4y＝12；⑤5x2＋x＝3．

A．①②③④⑤  B．①③④⑤   C．②③④⑤   D．③④⑤

设计意图：考查对方程概念的理解．

2．下列各式中，是一元一次方程的是(     )．

A．3x－2＝y   B．x2－1＝0        C．＝2        D．＝2

设计意图：考查一元一次方程的概念．

3．根据条件“x的比它的小5”列出方程为_________________．

4．(设未知数列方程)某校组织活动，共有100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组的人数比第二组的人数的2倍少8人，问这两组各有多少人？

设计意图：考查设未知数列方程的步骤．

说明：本课程结合了义务教育教科书数学七年级上册（人民教育出版社）第三章第1节的内容，见教科书第78页至第80页。