数学必修12.2对数函数教学设计

这是一份数学必修12.2对数函数教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．能说出对数的概念，知道什么是对数的底数，什么是对数的真数；
2．能记住对数恒等式，并能应用对数恒等式进行有关的计算；
3．能记住对数的性质；
4．能解决对数式与指数式的互化问题。
【教学重难点】
重点：对数的概念以及对数式与指数式的互化；
难点：对数概念的理解以及对数中的计算问题；对数与指数的关系。
【教学过程】
1．对数及有关概念
如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝lgaN，这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数。
预习交流1
在对数符号lgaN中，为什么只有在a＞0，a≠1且N＞0时才有意义？
提示：（1）若a＜0，则N取某些数值时，lgaN不存在，因此规定a不能小于0.
（2）若a＝0，则当N≠0时，lgaN不存在，当N＝0时，则lgaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.
（3）若a＝1，当N≠1时，则lgaN不存在，当N＝1时，
则lgaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1．
（4）正数的任何次幂都是正数，因此N＞0.
预习交流2
对数的定义是由指数式推得的，那么指数式ab＝N与对数式lgaN＝b有何关系？
提示：（1）在关系式ab＝N中，已知a和b求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求b就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算。
（2）指数式和对数式的关系及相应各部分的名称。
预习交流3
所有的指数式都可以改写为对数式吗？
提示：并不是所有的指数式都可以改写为对数式，例如(－2)4＝16就不能改写为lg(－2)16＝4，只有当ab＝N中，a＞0且a≠1，N＞0时才可以进行改写。
2．对数恒等式
对数的基本恒等式是，b＝lgaaB．
3．对数的性质
对数lgaN(a＞0且a≠1)的性质是：
（1）零和负数没有对数，即N＞0；
（2）1的对数为零，即lga1＝0；
（3）底的对数等于1，即lgaa＝1．
一、对数概念的理解
在对数式lg(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是什么？
思路分析：根据对数的概念，列出实数a满足的不等式组，解不等式组得到实数a的取值范围。
解：由对数的概念知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<5，,a>2，,a≠3.))
则实数a的取值范围为{a|2＜a＜3或3＜a＜5}。
求下列各式中的x的取值范围：
（1）lgx＋1(x－2)；（2）lgx＋2(x＋2)＝1．
解：根据对数定义中各字母的取值范围来求。
（1）由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x＋1≠1，,x＋1>0，))得x＞2．
（2）由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,x＋2≠1，))得x＞－2且x≠－1．
求形如lgf(x)g(x)的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g(x)>0，,f(x)>0，,f(x)≠1，))进而求得x的取值范围。
2．已知含x的对数等式，确定x的值时，易忽视使其真数、底数有意义的x的取值范围，也就是解对数方程不可忽视对所求x值的检验。
二、指数式与对数式的互化
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54＝625；（2）²－6＝eq \f(1,64)；（3）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))m＝5．73；
（4）；（5）；（6）lg5eq \f(1,25)＝－2．
思路分析：利用ab＝N⇔lgaN＝b进行互化。
解：（1）lg5625＝4；（2）lg2eq \f(1,64)＝－6；
（3）；（4）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16；
（5）(eq \r(5))6＝125；（6）5－2＝eq \f(1,25)。
1．用对数式填空：
36＝729⇔__________，⇔__________，
⇔__________。
答案：lg3729＝6 lg64eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3)
2．用指数式填空：
lg2512＝9⇔____________，lg100.000 1＝－4⇔__________，⇔__________。
答案：29＝512 10－4＝0.000 1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))m＝4．2
1．lgaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系。可以利用其中两个量表示第三个量。
2．对数式lgaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图。
三、利用对数的概念、性质以及对数恒等式求值
解答下列各题：
（1）求值；
（2）若lgx²7＝eq \f(3,2)，则x＝__________；
（3）lg2(lg5x)＝1，则x＝__________；
（4）已知lga2＝m，lga3＝n，求am＋3n的值。
思路分析：根据题目条件，利用对数恒等式、对数的性质以及对数式与指数式的关系分别进行求解。
解：（1）＝5×eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)；
（2）由lgx²7＝eq \f(3,2)可得，即，故x＝9；
（3）由lg2(lg5x)＝1可知lg5x＝2，所以x＝52＝25；
（4）由于lga2＝m，lga3＝n，
∴ am＝2，an＝3．
∴ am＋3n＝am·a3n＝am·(an)3＝2×33＝54．
故am＋3n＝54．
求解下列各题：
（1）若，则x＝__________；
（2）若lgx(eq \r(2)＋1)＝－1，则x＝__________；
（3）若x＝lg23，则4x－2－x＝__________。
答案：（1）－2 （2）eq \r(2)－1 （3）eq \f(26,3)
解析：（1）由可得eq \f(1－4x,9)＝1，解得x＝－2；
（2）由lgx(eq \r(2)＋1)＝－1可得x－1＝eq \r(2)＋1，即eq \f(1,x)＝eq \r(2)＋1，∴x＝eq \f(1,\r(2)＋1)＝eq \r(2)－1；
（3）∵x＝lg23，∴2x＝3，于是4x－2－x＝(2x)²－eq \f(1,2x)＝32－eq \f(1,3)＝eq \f(26,3)。
1．进行对数式的运算时，一方面要熟练掌握对数恒等式、对数的性质；另一方面还要熟悉指数式与对数式的互化关系。
2．在对数运算中，要注意总结常见幂式的值，以便在计算中灵活应用。
1．把对数式m＝lgnq化为指数式是( )。
A．mn＝q B．nm＝q C．nq＝m D．qm＝n
答案：B
2．，则x等于( )。
A．eq \f(1,27) B．27 C．eq \f(1,9) D．9
答案：B
3．有以下四个命题：
①若lg5x＝3，则x＝15；
②若lg25x＝eq \f(1,2)，则x＝5；
③若，则x＝eq \r(5)；
④若，则x＝125．
其中真命题的个数为( )。
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：只有②和④是真命题，故选B．
4．在对数式lg(x－1)(x＋5)中，x的取值范围是__________。
答案：{x|x＞1且x≠2}
解析：依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,x＋5>0，))解得x＞1且x≠2．
5．，则x＝__________。
答案：5
解析：∵，∴lg3(x－2)＝1．
∴x－2＝3，x＝5．式子
名称
a
b
N
指数式
ab＝N
底数
指数
幂
对数式
lgaN＝b
底数
对数
真数