2021年湖南省长沙市长郡教育集团中考第一次模拟考试数学试卷

长郡教育集团初中课程中心2020—2021学年度初三第一次模拟考试

数学

注意事项：

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．若互为相反数，则的值为（    ）

A．    B．    C．1    D．2

2．要使有意义，则实数x的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图①表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．下列命题正确的是（    ）

A．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据更稳定

B．从中随机抽取一个数，抽到偶数的概率比抽到奇数的概率大

C．数据的中位数是3，众数是4

D．若某种游戏活动的中奖率是，则参加这种活动10次必有3次中奖

7．如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（    ）

A．    B．    C．    D．

8．艺术课上，老师将一矩形纸片对折后再对折，如图所示，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（    ）

A．三角形    B．矩形    C．菱形    D．正方形

9．中国技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现信号全覆盖．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒．若设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（    ）

A．    B．    C．    D．

10．边长为1的正方形的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形绕顶点O顺时针旋转，如图所示，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数是3．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式___________．

12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为长为，则纸扇外边缘弧长为___________．

13．如图，与相交于点E，若，则等于___________．

14．钓鱼岛是中国固有领土，2021年4月26日，国家自然资源部发布了钓鱼岛地形地貌调查报告，钓鱼岛中央山脊呈东西走向，北坡稍缓，南坡陡峭，已知主峰高华峰北坡坡度，海平面上的水平距离约为615米，则主峰高华峰的高度约为___________米．（精确到1米）

15．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________．

16．如图，点O是三角形内的一点，，已知，则___________，___________．

三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分6分）计算：

18．（本小题满分6分）

先化简，再求值：，其中．

19．（本小题满分6分）

如图所示，平面直角坐标系的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C坐标为．

（1）画出向右平移4个单位的图形；

（2）画出关于x轴的对称图形；

（3）写出点A绕B点顺时针旋转对应的点的坐标．

20．（本小题满分8分）

为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次被抽取的部分人数是_______________名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．

21．（本小题满分8分）

如图，中，的平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求阴影部分面积．

22．（本小题满分9分）

已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货11吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货19吨，某物流公司现有50吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？

23．（本小题满分9分）

数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线．

小姝的作法是：

①在直线l上任取两点；②以D为圆心，长为半径作圆弧；③以B为圆心，为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接，则直线即为直线l的平行线．

（1）根据小姝的作法，请你证明直线直线l；

（2）在第（1）问条件下，如图2，在线段上取一点E，连接并延长交的延长线于P，连接交于点M，连接并延长交于F，交于G．

①求证：；

②求与的面积之比．

24．（本小题满分10分）

如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”．

（1）下列方程是“3系方程”的是_________（填序号即可）；

①；②；③．

（2）若关于x的一元二次方程是“2系方程”．

①求证：；

②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值．

25．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，已知抛物线L与x轴交于两点，且经过点，抛物线的顶点D的坐标为．

（1）求抛物线L的函数表达式；

（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作于点G，求的最大值，及此时点E的坐标；

（3）如图2，连接，过点O作直线，点分别为直线l和抛物线L上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2020-2021学年度初三第一次模拟考试

数学参考答案

—、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（答案不唯一）    12．    13．    14．362    15．    16．

三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解析】原式        4分

．        6分

18．【解析】原式，        4分

，

，

∴原式．        6分

19．【解析】

（1）如图，为所求作．        2分

（2）如图，为所求作．        4分

（3）点A绕B点顺时针旋转对应的点的坐标为．        6分

20．【解析】（1）本次被抽取的人数是（名）．         2分

（2）图略．        4分

（3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，小利被选中的结果有6个，

∴小利被选中的概率为：．        8分

21．【解析】

（1）证明：过O作于D，如图所示，

，

平分，

为的半径，为的半径，

是的切线．        4分

（2）

，

阴影部分面积的面积的面积一扇形的面积．        8分

22．【解析】（1）设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，

根据题意得：解得：

则1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货3吨，5吨．        4分

（2）∵某物流公司现有50吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，

，

则有解得：，

为整数，．

为整数，

，

，

∴满足条件的租车方案一共有4种，．        9分

23．【解析】（1）连接C，由作图过程可知：，

四边形为平行四边形，

，即直线直线．        3分

（2）①，

又．        6分

②，

又，

，又由①知，即，

．        9分

24．【解析】（1）①③        3分

（2）①设方程的两根为，

原方程为“2系方程”，则，

方程组消去得：，

．        6分

②∵原方程为“2系方程”，由①得：，又，

∴函数即为：，且，

函数对称轴为：，

当，即时，，

解得：，又，故此时无解；        8分

当，即时，，

解得：，又，故此时．

综上所述，满足条件的a的值为．        10分

25．【解析】

（1）设抛物线L的解析式为，

将代入得：，解得，

抛物线L的解析式为，即．        3分

（2）如图，过点E作轴于点H，交于点F，

设点，

直线的解析式为：，则，

，

又，

，当时取最大，

，此时点E的坐标为．        6分

（3）合条件的点P的坐标为或．

直线的解析式为，

设，

①当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，

解得（舍去）或．

．        8分

②当点P在直线左侧时，

由①的方法同理可得点Q的坐标为．

此时点P的坐标为．        10分