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2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）
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这是一份2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．（3分）下列四个数中，最大的负数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（3分）的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
3．（3分）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141
4．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
5．（3分）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O顺时针旋转90°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
6．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．（3分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该塔的高度CD为（ ）
A．81m B．85m C．88m D．93m
10．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
11．（3分）如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（5，0），点P为坐标平面内一点，CP＝2，连接AP、BP，当点P运动到某一位置时，BP+AP有最小值，则最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
13．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．
14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
18．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20．（8分）新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项），根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．
上学方式统计表
上学方式
人数
乘私家车
42
坐公交
54
骑车
a
步行
b
（1）本次学校共调查了 名学生，a＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；
（3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．
22．（9分）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共2500人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为80元和60元．
（1）“五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，求有多少人选择不辣口味虾？
（2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为18万元，求a的值．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．
24．（10分）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．
（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．
①求证：DF＝EF；
②若b＝6．c＝4，试说明AB＝AG，并求出CG的长度；
（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．
25．（10分）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．（3分）下列四个数中，最大的负数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】有理数大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1＜2，
∴其中最大的负数是﹣1．
故选：B．
2．（3分）的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．
【解答】解：＝4，±＝±2，
故选：C．
3．（3分）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141
【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入．
【解答】解：3.14159精确到千分位的结果是3.142．
故选：C．
4．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O顺时针旋转90°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】利用图象法求解即可．
【解答】解：如图，观察图象可知G′（1，2）．
故选：B．
6．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
7．（3分）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】把代数式4m2+8m﹣3变形为4（m2+2m）﹣3，再把m2+2m＝1代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m2+2m＝1，
∴4m2+8m﹣3
＝4（m2+2m）﹣3
＝4×1﹣3
＝1．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
9．（3分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该塔的高度CD为（ ）
A．81m B．85m C．88m D．93m
【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝104m，
∴CD＝BD•sin60°＝104×＝52≈88（m），
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
11．（3分）如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC＝，
∴AM＝6×＝3（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：
则∠COD＝＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6mm，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），
∴b＝2OM＝6（mm），
故选：B．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（5，0），点P为坐标平面内一点，CP＝2，连接AP、BP，当点P运动到某一位置时，BP+AP有最小值，则最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
【分析】由CP＝2可知P在以C为圆心、2为半径的圆上，然后取CD的中点E，构造相似三角形，使其相似比为，从而构造出，再根据两点之间，线段最短来解决问题即可．
【解答】解：∵点P为坐标平面内一点，CP＝2，
∴点P在以C为圆心、2为半径的圆上，
如图，设⊙C交x轴上一点为C，
取CD的中点E，
∵，
∴，
且∠ECP＝∠PCA，
∴△CPE∽△CAP，
∴，
∴，
∴BP+＝BP+PE，
∴当B、P、E三点共线时，BP+PE＝BE最小，
∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3），
∴OB＝3，OE＝4，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：
BE＝．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
13．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 30 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝30．
故答案为：30．
14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围 x≥1且x≠3 ．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x﹣1≥0；根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，则函数的自变量x取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：
解得x≥1且x≠3，
即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为 +1 ．
【分析】由正方形的性质得∠CBD＝45°，解直角三角形得EF，由角平分线的性质得CE，进而得正方形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∵EF⊥BD于点F．BE＝，
∴EF＝BE•sin45°＝1，
∵DE平分∠CDB，
∴CE＝EF＝1，
∴BC＝+1．
故答案为：+1．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 或 ．
【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．
【解答】解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），
点C（，），∴AB≠AC，
①当AB＝BC时，（）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝±（舍去负值）；
②当AC＝BC时，同理可得：（﹣）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝（舍去负值）；
故答案为：或．
三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
【分析】本题涉及开平方、零次幂、绝对值、特殊角的三角函数，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后再根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3﹣1+﹣1+2×，
＝3﹣1+﹣1+，
＝5﹣2．
18．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝＝．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5，
20．（8分）新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项），根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．
上学方式统计表
上学方式
人数
乘私家车
42
坐公交
54
骑车
a
步行
b
（1）本次学校共调查了 150 名学生，a＝ 24 ，m＝ 28 ；
（2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；
（3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．
【分析】（1）依据乘公交车的人数以及百分比，即可得到本次调查共抽取的人数，根据本次调查共抽取的人数乘以骑车的百分比即可得到结论；
（2）依据“步行”的百分比乘以360°，即可得到结论；
（3）根据题意画树状图即可得到结论．
【解答】解：（1）本次学校共调查了54÷36%＝150名学生，a＝150×16%＝24（名），m＝×100＝28；
故答案为：150，24，28；
（2）扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为360°×（1﹣36%﹣28%﹣16%）＝72°；
（3）画树状图如图所示，
∵共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有3种情况，
∴甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
22．（9分）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共2500人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为80元和60元．
（1）“五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，求有多少人选择不辣口味虾？
（2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为18万元，求a的值．
【分析】（1）设有x人选择不辣口味虾，则有（2500﹣x）人选择微辣口味虾，根据选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，列出方程可求解；
（2）根据最终销售总额为18万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设有x人选择不辣口味虾，则有（2500﹣x）人选择微辣口味虾，
依题意，得：2500﹣x＝1.5x，
解得：x＝1000．
答：1000人选择不辣口味虾．
（2）依题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+a%）×1000＝180000，
整理，得：12a2﹣120a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：∠OCD＝90°，可得结论；
（2）先根据三角函数计算AC＝6，BC＝8，证明△CAD∽△BCD，得，设AD＝3x，CD＝4x，利用勾股定理列方程可得x的值，证明△CED∽△BFD，列比例式可得CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，
sinB＝，
∴AC＝6，BC＝8，
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
设AD＝3x，CD＝4x，
Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
52+（4x）2＝（5+3x）2，
x＝0（舍）或，
∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，
∴CE＝CF，
设CF＝a，
∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，
∠CFE＝∠B+∠BDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
∵∠ACD＝∠B，
∴△CED∽△BFD，
∴，
∴，a＝，
∴CF＝．
24．（10分）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．
（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．
①求证：DF＝EF；
②若b＝6．c＝4，试说明AB＝AG，并求出CG的长度；
（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．
【分析】（1）①利用三角形的中位线定理以及三角形中分线段的定义解决问题即可．
②根据等角的余角相等证明∠FOG＝∠FGO，再证明ABG＝∠FOG可得结论．
（2）如图2中，过点E作EN⊥BC于N，过点G作GM⊥BC于M．由S△BDH＝S△EGH，推出S△BCG＝S△ECD，可得•BC•GM＝•CD•EN，由BC＝2CD，推出EN＝2GM，用b，c表示出CG，AG，根据AC＝b，构建关系式即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵BD＝DC，AF＝CF，
∴DF＝AB＝c，
∵DE是△ABC的中分线段，
∴CD+CF+EF＝BC+AC+AB，
∵CD＝BC，CF＝AC，
∴EF＝AB＝c，
∴DF＝EF．
②证明：如图设BG交DF于O．
∵DF＝EF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵BG⊥DE，
∴∠EHG＝∠DHO＝90°，
∴∠FED+∠EGH＝90°，∠FDE+∠HOD＝90°，
∵∠HOD＝∠FOG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵BD＝DC，AF＝CF，
∴DF∥AB，
∴∠ABG＝∠FOG，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴AB＝AG，
∵AB＝AG＝4，AC＝6，
∴CG＝AC﹣AG＝6﹣4＝2．
（2）解：如图2中，过点E作EN⊥BC于N，过点G作GM⊥BC于M．
∵S△BDH＝S△EGH，
∴S△BCG＝S△ECD，
∴•BC•GM＝•CD•EN，
∵BC＝2CD，
∴EN＝2GM，
∵EN∥GM，
∴EG＝CG，MN＝CM，
∵EF＝c，CF＝AF＝b，
∴EC＝，
∴CG＝EC＝，
∵AB＝AG＝c，AG+GC＝b，
∴c+＝b，
∴4c+b+c＝4b，
∴5c＝3b，
∴＝．
25．（10分）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求AD＝CD，BD∥OC，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PD＝CQ，即3t＝4﹣2t，解之即可；
②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣2x+4中，
令x＝0时，y＝4，
∴点B坐标（0，4），
令y＝0时，得：﹣2x+4＝0，
解得：x＝2，
∴点A（2，0），
∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将E（5，3）代入，得：3＝a（5﹣2）（5﹣6），
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）＝﹣x2+8x﹣12；
（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，
∴顶点D（4，4），
∵点B坐标（0，4），
∴BD∥OC，BD＝4，
∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C，
∴点C（6，0），点A（2，0），
∴AC＝4，
∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），
∴AD＝CD＝2，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵BD∥AC，
∴∠DPH＝∠PQA，
且∠DPH＝∠DAC，
∴∠PQA＝∠DAC，
∴PQ∥DC，且BD∥AC，
∴四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝QC，
∴4﹣2t＝3t，
∴t＝；
②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1﹣．
如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，
∵BD∥OC，
∴∠DBA＝∠OAB，
∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），
∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，
∴PN＝2BP＝4t，
∴MH＝PN＝4t，
∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，
∴MD＝2t，
∴DH＝＝2t，
∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，
∵BD∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴5t2﹣10t+4＝0，
∴t1＝1+（舍去），t2＝1﹣；
若点N在AD上，即1＜t≤，
∵PN＝MH，
∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣．
2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．（3分）下列四个数中，最大的负数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（3分）的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
3．（3分）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141
4．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
5．（3分）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O顺时针旋转90°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
6．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．（3分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该塔的高度CD为（ ）
A．81m B．85m C．88m D．93m
10．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
11．（3分）如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（5，0），点P为坐标平面内一点，CP＝2，连接AP、BP，当点P运动到某一位置时，BP+AP有最小值，则最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
13．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．
14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
18．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20．（8分）新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项），根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．
上学方式统计表
上学方式
人数
乘私家车
42
坐公交
54
骑车
a
步行
b
（1）本次学校共调查了 名学生，a＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；
（3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．
22．（9分）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共2500人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为80元和60元．
（1）“五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，求有多少人选择不辣口味虾？
（2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为18万元，求a的值．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．
24．（10分）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．
（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．
①求证：DF＝EF；
②若b＝6．c＝4，试说明AB＝AG，并求出CG的长度；
（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．
25．（10分）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．（3分）下列四个数中，最大的负数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】有理数大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1＜2，
∴其中最大的负数是﹣1．
故选：B．
2．（3分）的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．
【解答】解：＝4，±＝±2，
故选：C．
3．（3分）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141
【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入．
【解答】解：3.14159精确到千分位的结果是3.142．
故选：C．
4．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O顺时针旋转90°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】利用图象法求解即可．
【解答】解：如图，观察图象可知G′（1，2）．
故选：B．
6．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
7．（3分）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】把代数式4m2+8m﹣3变形为4（m2+2m）﹣3，再把m2+2m＝1代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m2+2m＝1，
∴4m2+8m﹣3
＝4（m2+2m）﹣3
＝4×1﹣3
＝1．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
9．（3分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该塔的高度CD为（ ）
A．81m B．85m C．88m D．93m
【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝104m，
∴CD＝BD•sin60°＝104×＝52≈88（m），
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
11．（3分）如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC＝，
∴AM＝6×＝3（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：
则∠COD＝＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6mm，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），
∴b＝2OM＝6（mm），
故选：B．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（5，0），点P为坐标平面内一点，CP＝2，连接AP、BP，当点P运动到某一位置时，BP+AP有最小值，则最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
【分析】由CP＝2可知P在以C为圆心、2为半径的圆上，然后取CD的中点E，构造相似三角形，使其相似比为，从而构造出，再根据两点之间，线段最短来解决问题即可．
【解答】解：∵点P为坐标平面内一点，CP＝2，
∴点P在以C为圆心、2为半径的圆上，
如图，设⊙C交x轴上一点为C，
取CD的中点E，
∵，
∴，
且∠ECP＝∠PCA，
∴△CPE∽△CAP，
∴，
∴，
∴BP+＝BP+PE，
∴当B、P、E三点共线时，BP+PE＝BE最小，
∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3），
∴OB＝3，OE＝4，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：
BE＝．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
13．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 30 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝30．
故答案为：30．
14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围 x≥1且x≠3 ．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x﹣1≥0；根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，则函数的自变量x取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：
解得x≥1且x≠3，
即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为 +1 ．
【分析】由正方形的性质得∠CBD＝45°，解直角三角形得EF，由角平分线的性质得CE，进而得正方形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∵EF⊥BD于点F．BE＝，
∴EF＝BE•sin45°＝1，
∵DE平分∠CDB，
∴CE＝EF＝1，
∴BC＝+1．
故答案为：+1．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 或 ．
【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．
【解答】解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），
点C（，），∴AB≠AC，
①当AB＝BC时，（）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝±（舍去负值）；
②当AC＝BC时，同理可得：（﹣）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝（舍去负值）；
故答案为：或．
三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
【分析】本题涉及开平方、零次幂、绝对值、特殊角的三角函数，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后再根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3﹣1+﹣1+2×，
＝3﹣1+﹣1+，
＝5﹣2．
18．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝＝．
19．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5，
20．（8分）新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项），根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．
上学方式统计表
上学方式
人数
乘私家车
42
坐公交
54
骑车
a
步行
b
（1）本次学校共调查了 150 名学生，a＝ 24 ，m＝ 28 ；
（2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；
（3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．
【分析】（1）依据乘公交车的人数以及百分比，即可得到本次调查共抽取的人数，根据本次调查共抽取的人数乘以骑车的百分比即可得到结论；
（2）依据“步行”的百分比乘以360°，即可得到结论；
（3）根据题意画树状图即可得到结论．
【解答】解：（1）本次学校共调查了54÷36%＝150名学生，a＝150×16%＝24（名），m＝×100＝28；
故答案为：150，24，28；
（2）扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为360°×（1﹣36%﹣28%﹣16%）＝72°；
（3）画树状图如图所示，
∵共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有3种情况，
∴甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
22．（9分）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共2500人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为80元和60元．
（1）“五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，求有多少人选择不辣口味虾？
（2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为18万元，求a的值．
【分析】（1）设有x人选择不辣口味虾，则有（2500﹣x）人选择微辣口味虾，根据选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，列出方程可求解；
（2）根据最终销售总额为18万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设有x人选择不辣口味虾，则有（2500﹣x）人选择微辣口味虾，
依题意，得：2500﹣x＝1.5x，
解得：x＝1000．
答：1000人选择不辣口味虾．
（2）依题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+a%）×1000＝180000，
整理，得：12a2﹣120a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：∠OCD＝90°，可得结论；
（2）先根据三角函数计算AC＝6，BC＝8，证明△CAD∽△BCD，得，设AD＝3x，CD＝4x，利用勾股定理列方程可得x的值，证明△CED∽△BFD，列比例式可得CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，
sinB＝，
∴AC＝6，BC＝8，
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
设AD＝3x，CD＝4x，
Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
52+（4x）2＝（5+3x）2，
x＝0（舍）或，
∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，
∴CE＝CF，
设CF＝a，
∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，
∠CFE＝∠B+∠BDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
∵∠ACD＝∠B，
∴△CED∽△BFD，
∴，
∴，a＝，
∴CF＝．
24．（10分）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．
（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．
①求证：DF＝EF；
②若b＝6．c＝4，试说明AB＝AG，并求出CG的长度；
（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．
【分析】（1）①利用三角形的中位线定理以及三角形中分线段的定义解决问题即可．
②根据等角的余角相等证明∠FOG＝∠FGO，再证明ABG＝∠FOG可得结论．
（2）如图2中，过点E作EN⊥BC于N，过点G作GM⊥BC于M．由S△BDH＝S△EGH，推出S△BCG＝S△ECD，可得•BC•GM＝•CD•EN，由BC＝2CD，推出EN＝2GM，用b，c表示出CG，AG，根据AC＝b，构建关系式即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵BD＝DC，AF＝CF，
∴DF＝AB＝c，
∵DE是△ABC的中分线段，
∴CD+CF+EF＝BC+AC+AB，
∵CD＝BC，CF＝AC，
∴EF＝AB＝c，
∴DF＝EF．
②证明：如图设BG交DF于O．
∵DF＝EF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵BG⊥DE，
∴∠EHG＝∠DHO＝90°，
∴∠FED+∠EGH＝90°，∠FDE+∠HOD＝90°，
∵∠HOD＝∠FOG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵BD＝DC，AF＝CF，
∴DF∥AB，
∴∠ABG＝∠FOG，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴AB＝AG，
∵AB＝AG＝4，AC＝6，
∴CG＝AC﹣AG＝6﹣4＝2．
（2）解：如图2中，过点E作EN⊥BC于N，过点G作GM⊥BC于M．
∵S△BDH＝S△EGH，
∴S△BCG＝S△ECD，
∴•BC•GM＝•CD•EN，
∵BC＝2CD，
∴EN＝2GM，
∵EN∥GM，
∴EG＝CG，MN＝CM，
∵EF＝c，CF＝AF＝b，
∴EC＝，
∴CG＝EC＝，
∵AB＝AG＝c，AG+GC＝b，
∴c+＝b，
∴4c+b+c＝4b，
∴5c＝3b，
∴＝．
25．（10分）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求AD＝CD，BD∥OC，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PD＝CQ，即3t＝4﹣2t，解之即可；
②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣2x+4中，
令x＝0时，y＝4，
∴点B坐标（0，4），
令y＝0时，得：﹣2x+4＝0，
解得：x＝2，
∴点A（2，0），
∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将E（5，3）代入，得：3＝a（5﹣2）（5﹣6），
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）＝﹣x2+8x﹣12；
（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，
∴顶点D（4，4），
∵点B坐标（0，4），
∴BD∥OC，BD＝4，
∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C，
∴点C（6，0），点A（2，0），
∴AC＝4，
∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），
∴AD＝CD＝2，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵BD∥AC，
∴∠DPH＝∠PQA，
且∠DPH＝∠DAC，
∴∠PQA＝∠DAC，
∴PQ∥DC，且BD∥AC，
∴四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝QC，
∴4﹣2t＝3t，
∴t＝；
②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1﹣．
如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，
∵BD∥OC，
∴∠DBA＝∠OAB，
∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），
∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，
∴PN＝2BP＝4t，
∴MH＝PN＝4t，
∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，
∴MD＝2t，
∴DH＝＝2t，
∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，
∵BD∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴5t2﹣10t+4＝0，
∴t1＝1+（舍去），t2＝1﹣；
若点N在AD上，即1＜t≤，
∵PN＝MH，
∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣．
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