2021年湖南省长沙市长郡教育集团中考第一次模拟考试数学试卷

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这是一份2021年湖南省长沙市长郡教育集团中考第一次模拟考试数学试卷，共13页。
长郡教育集团初中课程中心2020—2021学年度初三第一次模拟考试数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．若互为相反数，则的值为（）A． B． C．1 D．22．要使有意义，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D． 3．北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（）A． B． C． D． 4．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图①表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（）A． B． C． D． 5．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A． B． C． D．6．下列命题正确的是（）A．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据更稳定B．从中随机抽取一个数，抽到偶数的概率比抽到奇数的概率大C．数据的中位数是3，众数是4D．若某种游戏活动的中奖率是，则参加这种活动10次必有3次中奖7．如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（）A． B． C． D．8．艺术课上，老师将一矩形纸片对折后再对折，如图所示，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（）A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形9．中国技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现信号全覆盖．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒．若设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（）A． B． C． D． 10．边长为1的正方形的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形绕顶点O顺时针旋转，如图所示，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数是3．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式___________．12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为长为，则纸扇外边缘弧长为___________．13．如图，与相交于点E，若，则等于___________．14．钓鱼岛是中国固有领土，2021年4月26日，国家自然资源部发布了钓鱼岛地形地貌调查报告，钓鱼岛中央山脊呈东西走向，北坡稍缓，南坡陡峭，已知主峰高华峰北坡坡度，海平面上的水平距离约为615米，则主峰高华峰的高度约为___________米．（精确到1米） 15．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________．16．如图，点O是三角形内的一点，，已知，则___________，___________．三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分6分）计算： 18．（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中．19．（本小题满分6分）如图所示，平面直角坐标系的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C坐标为．（1）画出向右平移4个单位的图形；（2）画出关于x轴的对称图形；（3）写出点A绕B点顺时针旋转对应的点的坐标．20．（本小题满分8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是_______________名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．21．（本小题满分8分）如图，中，的平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分面积．22．（本小题满分9分）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货11吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货19吨，某物流公司现有50吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？23．（本小题满分9分）数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线．小姝的作法是：①在直线l上任取两点；②以D为圆心，长为半径作圆弧；③以B为圆心，为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接，则直线即为直线l的平行线．（1）根据小姝的作法，请你证明直线直线l；（2）在第（1）问条件下，如图2，在线段上取一点E，连接并延长交的延长线于P，连接交于点M，连接并延长交于F，交于G．①求证：；②求与的面积之比．24．（本小题满分10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”．（1）下列方程是“3系方程”的是_________（填序号即可）；①；②；③．（2）若关于x的一元二次方程是“2系方程”．①求证：；②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值．25．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L与x轴交于两点，且经过点，抛物线的顶点D的坐标为．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作于点G，求的最大值，及此时点E的坐标；（3）如图2，连接，过点O作直线，点分别为直线l和抛物线L上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．长郡教育集团初中课程中心2020-2021学年度初三第一次模拟考试数学参考答案—、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案BDDDDCCCBD二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（答案不唯一） 12． 13． 14．362 15． 16．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】原式 4分． 6分18．【解析】原式， 4分，，∴原式． 6分19．【解析】（1）如图，为所求作． 2分（2）如图，为所求作． 4分（3）点A绕B点顺时针旋转对应的点的坐标为． 6分20．【解析】（1）本次被抽取的人数是（名）． 2分（2）图略． 4分（3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小利被选中的结果有6个，∴小利被选中的概率为：． 8分21．【解析】（1）证明：过O作于D，如图所示，，平分，为的半径，为的半径，是的切线． 4分（2），阴影部分面积的面积的面积一扇形的面积． 8分22．【解析】（1）设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，根据题意得：解得：则1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货3吨，5吨． 4分（2）∵某物流公司现有50吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，，则有解得：，为整数，．为整数，，，∴满足条件的租车方案一共有4种，． 9分23．【解析】（1）连接C，由作图过程可知：，四边形为平行四边形，，即直线直线． 3分（2）①，又． 6分②，又，，又由①知，即，． 9分24．【解析】（1）①③ 3分（2）①设方程的两根为，原方程为“2系方程”，则，方程组消去得：，． 6分②∵原方程为“2系方程”，由①得：，又，∴函数即为：，且，函数对称轴为：，当，即时，，解得：，又，故此时无解； 8分当，即时，，解得：，又，故此时．综上所述，满足条件的a的值为． 10分25．【解析】（1）设抛物线L的解析式为，将代入得：，解得，抛物线L的解析式为，即． 3分（2）如图，过点E作轴于点H，交于点F，设点，直线的解析式为：，则，，又，，当时取最大，，此时点E的坐标为． 6分（3）合条件的点P的坐标为或．直线的解析式为，设，①当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M，，，，，，，，，，，，，，，将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，解得（舍去）或．． 8分②当点P在直线左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为．此时点P的坐标为． 10分