2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷

这是一份2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）有理数的相反数是（ ）
A．B．C．﹣D．±
2．（3分）已知点A（x，3）与点B（2，y）关于y轴对称，那么x+y＝（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．圆锥
4．（3分）如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，则DG的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）某社区20位90后积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如下表（ ）
A．27B．26C．25D．8
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝那么tanB＝（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ）
A．（7，4）B．（7，3）C．（6，4）D．（6，3）
9．（3分）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心长为半径作弧，两弧相交于点F、H，连接DB，若∠A＝32°，则∠CBD的度数为（ ）
A．26°B．28°C．32°D．36°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在y轴上，则点P的坐标为 ．
13．（3分）计算：（﹣）÷＝ ．
14．（3分）扇形的圆心角为80°，半径为6厘米，扇形的面积为 ．
15．（3分）某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取50名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达110分以上，九年级650名学生中这次模拟考数学成绩达110分以上的约有 名学生．
16．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B，若∠APB＝50°，点C为⊙O上任意一点（不与点A、B重合），∠ACB的度数为 ．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18，19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cs60°+（）﹣1．
18．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）作一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，分别交OA，OB于点C、D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 ．
（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8分）“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级；B：1小时一1.5小时；C：1.5小时—2小时，请根据图中信息解答下列问题：
（1）该校共调查了多少名学生？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈
21．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10
22．（9分）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元，共需95元，
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计过购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，写出w（元）与m（件），并求最少费用w的值．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明；
（3）若BD＝，求四边形AGCD的面积．
24．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形并满足OC2＝OA•OB，则称抛物线y＝ax2+bx+c是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”．
（1）若“五有四化抛物线”y＝ax2+bx+c的“五有线”为y＝﹣2x﹣1，求抛物线解析式；
（2）已知“五有四化抛物线”y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣2，0），其“四化线”与反比例函数仅有一个交点；
（3）已知“五有四化抛物线”（b＞0）的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令P＝﹣b2+2tb+t2，且P有最大值t，求t的值．
25．（10分）二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）
（1）求b，c的值；
（2）定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，为半径作⊙Q，使⊙Q是二次函数，求出点Q的坐标；若不存在；
（3）如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP∥y轴，以M为圆心，MP为半径作⊙M，求出的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有理数的相反数是（ ）
A．B．C．﹣D．±
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
2．（3分）已知点A（x，3）与点B（2，y）关于y轴对称，那么x+y＝（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
【解答】解：∵点A（x，3）与点B（2，
∴x＝﹣6，y＝3，
∴x+y＝﹣2+6＝1．
故选：A．
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．圆锥
【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：D．
4．（3分）如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，则DG的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵△ABC≌△DFE，
∴DE＝AC＝6，
∴DG＝DE﹣GE＝6﹣3＝2，
故选：A．
5．（3分）一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，
∴从袋中任意摸出一个球为白球的概率是＝，
故选：A．
6．（3分）某社区20位90后积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如下表（ ）
A．27B．26C．25D．8
【解答】解：∵这20位志愿者年龄的中位数为第10、11个数据的平均数、11个数据分别为26，
∴他们年龄的中位数是＝26，
故选：B．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，设a＝2m．
根据勾股定理可得b＝m．
根据三角函数的定义可得：
tanB＝＝．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ）
A．（7，4）B．（7，3）C．（6，4）D．（6，3）
【解答】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，且，
即△ABC与△DEF的相似比为6：3，
又∵B（2，7），
∴E点的坐标为（2×3，7×3），3）．
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心长为半径作弧，两弧相交于点F、H，连接DB，若∠A＝32°，则∠CBD的度数为（ ）
A．26°B．28°C．32°D．36°
【解答】解：由作图过程可知，直线FH为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝32°．
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝58°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝58°﹣32°＝26°．
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点，
∴b2﹣7ac＜0，
故②错误；
由图象可知：抛物线过点（1，6），3），y＝a+b+c＝1，
当x＝6时，ax2+bx+c＝9a+5b+c＝3，
∴8a+6b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，
故③错误；
∵点（4，1），3）在直线y＝x上，
由图象可知，当4＜x＜3时，
∴ax2+（b﹣2）x+c＜0的解集为1＜x＜6，
故④错误．
故选：A．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是 x≥3 ．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3x﹣9≥0，
解得：x≥7．
故答案为：x≥3．
12．（3分）平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在y轴上，则点P的坐标为 （0，12） ．
【解答】解：∵点P（4﹣m，3m）在y轴上，
∴4﹣m＝0，
解得m＝4，
∴4m＝12，
∴点P的坐标为（0，12）．
故答案为：（0，12）．
13．（3分）计算：（﹣）÷＝ 1﹣ ．
【解答】解：（﹣）
＝﹣÷
＝1﹣，
故答案为：1﹣．
14．（3分）扇形的圆心角为80°，半径为6厘米，扇形的面积为 8π cm2 ．
【解答】解：扇形的面积＝＝2π（cm2）．
故答案为：8π cm8．
15．（3分）某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取50名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达110分以上，九年级650名学生中这次模拟考数学成绩达110分以上的约有 130 名学生．
【解答】解：∵随机抽取50名学生的数学成绩进行分析，有10名学生的成绩达110分以上，
∴九年级650名学生中这次模拟考数学成绩达110分以上的约有650×＝130（名）；
故答案为：130．
16．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠APB＝50°，点C为⊙O上任意一点（不与点A、B重合），∠ACB的度数为 65°或115° ．
【解答】解：连接OA、OB，C′点为劣弧AB上一点，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝65°，
∵∠ACB+∠AC′B＝180°，
∴∠AC′B＝180°﹣65°＝115°，
综上所述，∠ACB的度数为65°或115°．
故答案为：65°或115°．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18，19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cs60°+（）﹣1．
【解答】解：原式＝5﹣1+5×+7
＝5﹣1+2+3
＝8．
18．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
数轴表示如下：
19．（6分）作一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，分别交OA，OB于点C、D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 SSS ．
（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
【解答】（1）解：这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．
故答案为：SSS．
（2）证明：由作图过程可知，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠COD＝∠C'O'D'，
即∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8分）“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级；B：1小时一1.5小时；C：1.5小时—2小时，请根据图中信息解答下列问题：
（1）该校共调查了多少名学生？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈
【解答】解：（1）共调查的中学生数是：80÷40%＝200（人），
故答案为：200；
（2）C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20＝40（人），
补图如下：
（3）设甲班学生为A1，A2，B2，
一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，
∴P（4人来自不同班级）＝＝．
21．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10
【解答】（1）证明：如图，连结OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝，
∴AM＝＝＝5，
∴AE＝4AM＝2×5＝10．
22．（9分）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元，共需95元，
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计过购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，写出w（元）与m（件），并求最少费用w的值．
【解答】解（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，得
，
解得，
答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
（2）由题意，得
w＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500
∴，
解得：70≤m≤75．
∵m是整数，
∴m＝70，71，73，75．
∵w＝﹣5m+1500，
∴k＝﹣6＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝75时，w最小＝1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明；
（3）若BD＝，求四边形AGCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且点E、CD的中点，
∴DF∥EB，且DF＝EB
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∠DAB＝60°，，
∴△ADE是等边三角形，即DE＝AE＝AD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）证明：四边形AGBD是矩形，
理由如下：
∵DB∥AG，AD∥CB∥BG，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵BD为菱形DEBF对角线，
∴∠EDB＝30°，
则∠ADB＝90°，
所以四边形AGBD是矩形；
（3）在Rt△ABD中，AB8﹣AD2＝BD2，
∵AB＝8AD，AD＝1，
∴AB＝2，
∴7﹣1＝BD2，
解得BD＝，
∴．
24．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形并满足OC2＝OA•OB，则称抛物线y＝ax2+bx+c是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”．
（1）若“五有四化抛物线”y＝ax2+bx+c的“五有线”为y＝﹣2x﹣1，求抛物线解析式；
（2）已知“五有四化抛物线”y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣2，0），其“四化线”与反比例函数仅有一个交点；
（3）已知“五有四化抛物线”（b＞0）的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令P＝﹣b2+2tb+t2，且P有最大值t，求t的值．
【解答】解：（1）由y＝﹣2x﹣1知，该直线和坐标轴的交点坐标为：（5、（﹣，
即点C（8，﹣1），
∵OC2＝OA•OB，
则8＝×|x|，
解得：x＝±4，
即抛物线和x轴另外一个交点坐标为：（2，0）或（﹣8，
当交点为（2，0）时，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+）＝a（x5﹣x﹣7），
则﹣a＝﹣1，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x7﹣x﹣6；
当交点为（﹣2，0）时，
则抛物线的表达式为：y＝a（x+6）（x+）＝ax3+ax+a，
而点C（4，﹣1），
则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x﹣4；
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣x﹣1；
（2）将（﹣2，0）代入函数表达式得：0＝﹣8﹣2b+c，
则c＝4+3b，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝b，8），
∵OC2＝OA•OB，
则c2＝2|b+2|，
即（4+2b）2＝2|b+5|，
解得：b＝﹣2（舍去）或﹣或﹣，
则抛物线和坐标轴的交点为：（﹣5，0）、（、（0，0），0），﹣7）；
当抛物线和坐标轴的交点为：（﹣2，0）、（、（0，
设“四化线”的表达式为：y＝kx+6，
将（﹣2，0）代入上式得：7＝﹣2k+1，
解得：k＝，
则“四化线”的表达式为：y＝x+1；
联立一次函数和反比例函数表达式得：x+1＝，
整理得：x2+3x﹣k＝0，
则Δ＝4+7k＝0，
解得：k＝﹣1，
故反比例函数的表达式为：y＝﹣；
（3）令＝0，
则x6+x2＝﹣b，x4x2＝﹣3c，
则|x6﹣x2|＝＝，
∵OC2＝OA•OB，
则|﹣6c|＝（﹣c）2，
解得：|c|＝3；
则S＝|x8﹣x2|×CO＝×＝，
∵，
则≤≤，
解得：4≤b≤5；
当b＝5时，P＝﹣b7+2tb+t2＝﹣25+10t+t5，当b＝t时，同理可得：P＝2t2，当b＝4时，P＝t2+6t﹣5，
当t≥5时，
函数P在b＝5时，取得最大值7＝t，
解得：t＝（负值已舍去）；
当7＜t＜5时，
函数P在b＝t时，取得最大值2＝t，
解得：t＝8或（均舍去）；
当t≥2时，
函数P在b＝3时，取得最大值2+8t﹣9＝t，
解得：t＝；
综上，t＝或．
25．（10分）二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）
（1）求b，c的值；
（2）定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，为半径作⊙Q，使⊙Q是二次函数，求出点Q的坐标；若不存在；
（3）如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP∥y轴，以M为圆心，MP为半径作⊙M，求出的值．
【解答】解：（1）把点A （﹣1，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得：，解方程组得：，
∴，c＝﹣3；
（2）存在，理由如下：
如图所示，由（1）可知二次函数的解析式为：，令，
解得：x1＝﹣4，x2＝4，所以点 A ，8） （4，
∵点C （0，
∴AB＝BC＝7，
∴△ABC是等腰三角形，
根据坐标圆的定义，⊙Q经过点A、B、C，
∴圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点．
∵AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴，
∵点 A （﹣5，点C ，﹣3），
∴AC的中点F的坐标为，
∴AC垂直平分线BF的解析式为，
∴点Q坐标为（，），
在Rt△QNB中，QB＝＝＝．
所以存在符合题意的坐标圆，其圆心Q的坐标为（，）；
（3）设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B （4、C （2，
解得：，
∴BC直线的解析式为：，
⊙M与坐标轴相切，有两种情况，
①当⊙M与y轴相切时，如图所示：
过点M作MD⊥y轴，垂足为点D，
则点D为⊙M与y轴的切点，即PM＝DM＝x，
设P，则M，
则PM＝（）﹣（），
∴（）﹣（1＝，x2＝0，
当x＝8时，点M与点C重合；
∴⊙M的半径为DM＝，
∴M（，﹣1），
∵MD⊥y轴，
∴MD∥x轴，
∴△CDM∽△COB，
∴，即，
∴CM＝，
∴MB＝＝，
∴＝8；
②当⊙M与x轴相切时，如图所示：
延长PM交x轴于点E，由题意可知：
点E为⊙M与x轴的切点，所以PM＝ME，
设P，M，
则PM＝（）﹣（）x+4，
∴（）﹣（x+6，
解得：x1＝1，x5＝4，
当x＝4时，点M与点B重合，
∴⊙M的半径为：PM＝ME＝+3＝，
∴M（1，），
∵PM∥y轴，
∴，即，
∴CM＝，
∴MB＝＝，
∴＝，
综上所述，值是2或．年龄（岁）
24
25
26
27
28
人数
2
5
8
3
2
年龄（岁）
24
25
26
27
28
人数
2
5
8
3
2