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2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷
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这是一份2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共计10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
2．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．﹣2a2•3a2＝﹣6a2
4．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖概率是 则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差S2＝0.01，乙组数据的方差S2＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
7．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
8．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
9．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝42°，则∠CDB等于（ ）
A．22° B．24° C．28° D．48°
10．（3分）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000000米的椭圆形轨道．将59000000米用科学记数法表示为 米．
12．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝128°，则∠2＝ ．
13．（3分）当m 时，函数y＝的图象在第二、四象限内．
14．（3分）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，连接CB1，则＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：（）﹣1+2tan60°﹣（2021+π）0﹣．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，在5×7的正方形网格中，A、B、C都是格点，AB为半圆的直径，C在半圆上，请你仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
（1）作点A关于直线BC的对称点D；
（2）直接标出弦BC的中点及半圆的圆心O，并作BC弧的中点E；
（3）在射线BC上作点F，使∠AFB＝∠BAC．
20．（8分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标
A
B
C
D
男生（人数）
7
m
2
5
女生（人数）
9
4
2
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为 ；
（3）从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．
21．（8分）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，点E在线段AD．上，BE的延长线交CD于点F，连接CE．
（1）求证：△ACE≌△ABE．
（2）当AC＝AE，∠CAD＝38°时，求∠DCE的度数．
22．（9分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称
A种头盔
B种头盔
批发价（元/个）
60
40
零售价（元/个）
80
50
（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？
（2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的ʘO分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是ʘO的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝12，tanB＝，求AD的长．
24．（10分）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“中轴点”．例如：若点P在矩形ABCD内部，且PA＝PD，则称P为边AD的“中轴点”．已知点P是矩形ABCD边AD的“中轴点”，且AB＝10，BC＝8，如图1．
（1）求证：P是矩形ABCD边BC的“中轴点”；
（2）如图2，连接PA，PB，若△PAB是直角三角形，求PA的值；
（3）如图3，连接PA，PB，PD，求tan∠PDC•tan∠PBA的最小值．
25．（10分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共计10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故选：D．
2．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．﹣2a2•3a2＝﹣6a2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2a2+3a2＝5a2，故选项A错误；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项B错误；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项C正确；
﹣2a2•3a2＝﹣6a4，故选项D错误；
故选：C．
4．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1≤x＜2．
数轴上表示如图：
，
故选：D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖概率是 则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差S2＝0.01，乙组数据的方差S2＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
【分析】利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的答案．
【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏可能中奖，故本选项错误；
B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项错误；
C、数据 8，8，7，10，6，8，9 中8出现的次数最多的为8，故众数为8，排序后中位数为8，故本选项正确；
D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
【解答】解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：B．
8．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的装机总量×（1+增长率）2＝2021年的装机总量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600（1+x）2＝864，
故选：D．
9．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝42°，则∠CDB等于（ ）
A．22° B．24° C．28° D．48°
【分析】连接OC，根据切线的性质可知∠OCE＝90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝42°，
∴∠COE＝90°﹣42°＝48°，
∴∠CDB＝∠COE＝24°．
故选：B．
10．（3分）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据题意求得m的取值，然后把点M（m，n）代入y＝﹣2x2+2x+m，得到n＝﹣2m2+2m+m，进一步得到m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，结合m的取值，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，
∵m≤﹣，
∴当m＝﹣时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣﹣）2﹣＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000000米的椭圆形轨道．将59000000米用科学记数法表示为 5.9×107 米．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：59000000米＝5.9×107米．
故答案为：5.9×107．
12．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝128°，则∠2＝ 52° ．
【分析】由平行线的性质得出∠3＝∠1＝128°，再结合∠2，∠3互补，即可求出∠2的度数．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝128°．
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣128°＝52°．
故答案为：52°．
13．（3分）当m ＜2 时，函数y＝的图象在第二、四象限内．
【分析】由双曲线在第二、四象限，可知k＜0即可解答．
【解答】解：∵函数y＝的图象在第二、四象限内．
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
14．（3分）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 30π cm2．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×10＝30π（cm2）．
故答案为30π．
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为 18 ．
【分析】利用摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
＝，
解得：x＝18，
即布袋中黄球可能有18个，
故答案为：18．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，连接CB1，则＝ ．
【分析】由直角三角形的性质可求CB＝2AB，由旋转的性质可得BC＝B1C1，AC＝AC1，由等腰三角形的判定和性质可得AB＝BC1，即可求解．
【解答】解：如图，延长CA交B1C1于H，
设AB＝x，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴CB＝2AB＝2x，AC＝x，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，
∴BC＝B1C1，AC＝AC1，
∴∠ACB＝∠AC1B＝30°，
∵∠ABC＝∠BAC1+∠AC1B＝60°，
∴∠BAC1＝∠AC1B1＝30°，
∴AB∥B1C1，
∴∠CAB＝∠CHC1＝90°，
∴∠B1AH＝30°，
∴B1H＝AB1＝，AH＝x，
∴CH＝x，
∴B1C＝＝x，
∴＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共9个小题第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：（）﹣1+2tan60°﹣（2021+π）0﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣2
＝1．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+2时，
原式＝＝．
19．（6分）如图，在5×7的正方形网格中，A、B、C都是格点，AB为半圆的直径，C在半圆上，请你仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
（1）作点A关于直线BC的对称点D；
（2）直接标出弦BC的中点及半圆的圆心O，并作BC弧的中点E；
（3）在射线BC上作点F，使∠AFB＝∠BAC．
【分析】（1）根据轴对称的性质解决问题即可．
（2）取AB，BC的中点O，T，作射线OT交⊙O于点E，点O，T，E即为所求作．
（3）取格点R，连接AR交直线BC于点F，点F即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求作．
（2）如图，点O，点T，点E即为所求作．
（3）如图，点F即为所求作．
20．（8分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标
A
B
C
D
男生（人数）
7
m
2
5
女生（人数）
9
4
2
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝ 8 ，n＝ 3 ；
（2）扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为 144° ；
（3）从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．
【分析】（1）先根据C组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据B组对应百分比及女生B组人数求解可得m的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出n的值；
（2）用360°乘以A组人数所占比例即可；
（3）应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
【解答】解：（1）样本容量＝（2+2）÷30%＝40，
依据题意得：（4+m）＝40×30%，
解得：m＝8；
n＝40﹣7﹣8﹣2﹣5﹣9﹣4﹣2＝3；
故答案为：8、3；
（2）（7+9）÷40×360°＝144°；
故答案为：144°．
（3）列表得：
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率P＝．
21．（8分）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，点E在线段AD．上，BE的延长线交CD于点F，连接CE．
（1）求证：△ACE≌△ABE．
（2）当AC＝AE，∠CAD＝38°时，求∠DCE的度数．
【分析】（1）先由角平分线的性质可得∠CAE＝∠BAE，再根据已知条件即可用SAS证明方法进行证明即可得出答案；
（2）现根据等腰三角形的性质可得出∠ACE＝∠AEC＝71°，再根据平行线的性质，∠DCA+∠BAC＝180°，求解即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
在△ACE和△ABE中，
，
∴△ACE≌△ABE（SAS）；
（2）∵AC＝AE，∠CAD＝38°，
∴∠ACE＝∠AEC＝71°，
又∵∠CAD＝∠BAD＝38°，
∴∠CAB＝∠CAD+BAD＝38°+38°＝76°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠BAC＝180°，
∴∠DCE+∠ACE+∠BAD＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣71°﹣76°＝33°．
22．（9分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称
A种头盔
B种头盔
批发价（元/个）
60
40
零售价（元/个）
80
50
（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？
（2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？
【分析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设第二次批发A种头盔a个，则批发B种头盔个．根据题意列出一元一次不等式，则可得解．
【解答】解：（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．
根据题意，得，
解得：，
答：第一次A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个．
（2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔个．
由题意，得（80﹣60）a+（50﹣40）×≥7200×30%，
解得：a≥72，
答：第二次该商店至少批发72个A种头盔．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的ʘO分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是ʘO的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝12，tanB＝，求AD的长．
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠AEF＝∠B，再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD～△ADF，即可得出结论；
（3）连接EF，在直角三角形BOD中，根据勾股定理可得BO的长度用BD和OD表示，进而得sinB＝＝，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行得到sin∠AEF＝sin∠B，进而求出AF的长，再根据（2）的结论可求出AD的长．
【解答】解：（1）如图1，
连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD～△ADF，
∴＝，
∴AD2＝AB•AF；
（3）如图3，
连接EF，
在Rt△BOD中，tanB＝＝，
∵OD2+BD2＝OB2，设OD为5x，则BD为12x，
由勾股定理得BO＝＝13x，
∴sinB＝＝，
设半径为r，
则＝，
得r＝，
∴AE＝15，AB＝AE+BE＝27，
∵AE为直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE×＝15×＝，
∵AD2＝AB•AF，
∴AD＝＝＝．
24．（10分）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“中轴点”．例如：若点P在矩形ABCD内部，且PA＝PD，则称P为边AD的“中轴点”．已知点P是矩形ABCD边AD的“中轴点”，且AB＝10，BC＝8，如图1．
（1）求证：P是矩形ABCD边BC的“中轴点”；
（2）如图2，连接PA，PB，若△PAB是直角三角形，求PA的值；
（3）如图3，连接PA，PB，PD，求tan∠PDC•tan∠PBA的最小值．
【分析】（1）连接PB、PC，通过求证△CDP≌△BAP即可求证P是矩形ABCD边BC的“中轴点“；
（2）连接PD，过点P作PE⊥DA于点E，过点P作PF⊥AB于点F，设AF＝x，利用三角形相似找到关系式，即可算出AP的长；
（3）过点P作PF'⊥AB于点F'，利用（1）（2）中所求，将∠PDC进行转换，再结合二次函数最值即可找到tan∠PDC•tan∠PBA的最小值．
【解答】解：（1）连接PB、PC，如图所示：
∵点P为该边的“中轴点”，
∴PA＝PD，∠PDA＝∠PAD，
又∵∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠CDP＝∠BAP，
在△CDP和△BAP中，
，
∴△CDP≌△BAP（SAS），
∴PC＝PB，
∴P是矩形ABCD边BC的“中轴点“；
（2）解：连接PD，过点P作PE⊥DA于点E，过点P作PF⊥AB于点F，
由（1）得PD＝PA，故△PDA为等腰三角形，
∴DE＝EA＝AD＝＝＝4，
∵在四边形PEAF中，∠PEA＝∠EAF＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF为矩形，
∴EA＝PF＝4，
又∵△PAB是直角三角形，∠PFA＝PFB＝90°，
∴∠PAF＝90°﹣∠PBA，∠FPB＝90°﹣∠PBF，
即∠PAF＝∠FPB，
∴△FAP∽△FPB，
∴，
∴PF2＝AF•BF，
即16＝AF•BF，
设AF＝x，则BF＝10﹣x，可得方程：
x（10﹣x）＝16，
解得：x1＝2，x2＝8，
当AF＝2时，PA＝＝＝2，
当AF＝8时，PA＝＝，
综上，当△PAB是直角三角形时，PA的值为2或4；
（3）过点P作PF'⊥AB于点F'，如图所示：
由（1）（2）可知，∠PDC＝∠PAF'，PF'＝4，
∴tan＝∠PDC＝tan∠PAF'＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PDC•tan∠PBA＝，
设AF'＝x，则BF'＝10﹣x，
∴tan∠PDC•tan∠PBA＝，
观察易知，当x（10﹣x）取得最大值时，tan∠PDC•tan∠PBA取得最小值，
令y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∵﹣1＜0，
∴当x＝5时，y取得最大值25，
∴存在最小值：，
故tan∠PDC•tan∠PBA的最小值为．
25．（10分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y＝x﹣
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，﹣）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OF＝＝﹣＝＝amt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴＝2．
2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共计10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
2．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．﹣2a2•3a2＝﹣6a2
4．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖概率是 则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差S2＝0.01，乙组数据的方差S2＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
7．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
8．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
9．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝42°，则∠CDB等于（ ）
A．22° B．24° C．28° D．48°
10．（3分）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000000米的椭圆形轨道．将59000000米用科学记数法表示为 米．
12．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝128°，则∠2＝ ．
13．（3分）当m 时，函数y＝的图象在第二、四象限内．
14．（3分）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，连接CB1，则＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：（）﹣1+2tan60°﹣（2021+π）0﹣．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，在5×7的正方形网格中，A、B、C都是格点，AB为半圆的直径，C在半圆上，请你仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
（1）作点A关于直线BC的对称点D；
（2）直接标出弦BC的中点及半圆的圆心O，并作BC弧的中点E；
（3）在射线BC上作点F，使∠AFB＝∠BAC．
20．（8分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标
A
B
C
D
男生（人数）
7
m
2
5
女生（人数）
9
4
2
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为 ；
（3）从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．
21．（8分）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，点E在线段AD．上，BE的延长线交CD于点F，连接CE．
（1）求证：△ACE≌△ABE．
（2）当AC＝AE，∠CAD＝38°时，求∠DCE的度数．
22．（9分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称
A种头盔
B种头盔
批发价（元/个）
60
40
零售价（元/个）
80
50
（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？
（2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的ʘO分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是ʘO的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝12，tanB＝，求AD的长．
24．（10分）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“中轴点”．例如：若点P在矩形ABCD内部，且PA＝PD，则称P为边AD的“中轴点”．已知点P是矩形ABCD边AD的“中轴点”，且AB＝10，BC＝8，如图1．
（1）求证：P是矩形ABCD边BC的“中轴点”；
（2）如图2，连接PA，PB，若△PAB是直角三角形，求PA的值；
（3）如图3，连接PA，PB，PD，求tan∠PDC•tan∠PBA的最小值．
25．（10分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
2021年湖南省长沙市岳麓区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共计10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故选：D．
2．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．﹣2a2•3a2＝﹣6a2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2a2+3a2＝5a2，故选项A错误；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项B错误；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项C正确；
﹣2a2•3a2＝﹣6a4，故选项D错误；
故选：C．
4．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1≤x＜2．
数轴上表示如图：
，
故选：D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖概率是 则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差S2＝0.01，乙组数据的方差S2＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
【分析】利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的答案．
【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏可能中奖，故本选项错误；
B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项错误；
C、数据 8，8，7，10，6，8，9 中8出现的次数最多的为8，故众数为8，排序后中位数为8，故本选项正确；
D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
【解答】解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：B．
8．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的装机总量×（1+增长率）2＝2021年的装机总量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600（1+x）2＝864，
故选：D．
9．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝42°，则∠CDB等于（ ）
A．22° B．24° C．28° D．48°
【分析】连接OC，根据切线的性质可知∠OCE＝90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝42°，
∴∠COE＝90°﹣42°＝48°，
∴∠CDB＝∠COE＝24°．
故选：B．
10．（3分）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据题意求得m的取值，然后把点M（m，n）代入y＝﹣2x2+2x+m，得到n＝﹣2m2+2m+m，进一步得到m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，结合m的取值，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，
∵m≤﹣，
∴当m＝﹣时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣﹣）2﹣＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000000米的椭圆形轨道．将59000000米用科学记数法表示为 5.9×107 米．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：59000000米＝5.9×107米．
故答案为：5.9×107．
12．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝128°，则∠2＝ 52° ．
【分析】由平行线的性质得出∠3＝∠1＝128°，再结合∠2，∠3互补，即可求出∠2的度数．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝128°．
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣128°＝52°．
故答案为：52°．
13．（3分）当m ＜2 时，函数y＝的图象在第二、四象限内．
【分析】由双曲线在第二、四象限，可知k＜0即可解答．
【解答】解：∵函数y＝的图象在第二、四象限内．
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
14．（3分）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 30π cm2．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×10＝30π（cm2）．
故答案为30π．
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为，则布袋中黄球的个数为 18 ．
【分析】利用摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
＝，
解得：x＝18，
即布袋中黄球可能有18个，
故答案为：18．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，连接CB1，则＝ ．
【分析】由直角三角形的性质可求CB＝2AB，由旋转的性质可得BC＝B1C1，AC＝AC1，由等腰三角形的判定和性质可得AB＝BC1，即可求解．
【解答】解：如图，延长CA交B1C1于H，
设AB＝x，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴CB＝2AB＝2x，AC＝x，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，
∴BC＝B1C1，AC＝AC1，
∴∠ACB＝∠AC1B＝30°，
∵∠ABC＝∠BAC1+∠AC1B＝60°，
∴∠BAC1＝∠AC1B1＝30°，
∴AB∥B1C1，
∴∠CAB＝∠CHC1＝90°，
∴∠B1AH＝30°，
∴B1H＝AB1＝，AH＝x，
∴CH＝x，
∴B1C＝＝x，
∴＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共9个小题第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：（）﹣1+2tan60°﹣（2021+π）0﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣2
＝1．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+2时，
原式＝＝．
19．（6分）如图，在5×7的正方形网格中，A、B、C都是格点，AB为半圆的直径，C在半圆上，请你仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
（1）作点A关于直线BC的对称点D；
（2）直接标出弦BC的中点及半圆的圆心O，并作BC弧的中点E；
（3）在射线BC上作点F，使∠AFB＝∠BAC．
【分析】（1）根据轴对称的性质解决问题即可．
（2）取AB，BC的中点O，T，作射线OT交⊙O于点E，点O，T，E即为所求作．
（3）取格点R，连接AR交直线BC于点F，点F即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求作．
（2）如图，点O，点T，点E即为所求作．
（3）如图，点F即为所求作．
20．（8分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标），并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标
A
B
C
D
男生（人数）
7
m
2
5
女生（人数）
9
4
2
n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝ 8 ，n＝ 3 ；
（2）扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为 144° ；
（3）从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．
【分析】（1）先根据C组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据B组对应百分比及女生B组人数求解可得m的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出n的值；
（2）用360°乘以A组人数所占比例即可；
（3）应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
【解答】解：（1）样本容量＝（2+2）÷30%＝40，
依据题意得：（4+m）＝40×30%，
解得：m＝8；
n＝40﹣7﹣8﹣2﹣5﹣9﹣4﹣2＝3；
故答案为：8、3；
（2）（7+9）÷40×360°＝144°；
故答案为：144°．
（3）列表得：
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率P＝．
21．（8分）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，且AB∥CD，点E在线段AD．上，BE的延长线交CD于点F，连接CE．
（1）求证：△ACE≌△ABE．
（2）当AC＝AE，∠CAD＝38°时，求∠DCE的度数．
【分析】（1）先由角平分线的性质可得∠CAE＝∠BAE，再根据已知条件即可用SAS证明方法进行证明即可得出答案；
（2）现根据等腰三角形的性质可得出∠ACE＝∠AEC＝71°，再根据平行线的性质，∠DCA+∠BAC＝180°，求解即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
在△ACE和△ABE中，
，
∴△ACE≌△ABE（SAS）；
（2）∵AC＝AE，∠CAD＝38°，
∴∠ACE＝∠AEC＝71°，
又∵∠CAD＝∠BAD＝38°，
∴∠CAB＝∠CAD+BAD＝38°+38°＝76°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠BAC＝180°，
∴∠DCE+∠ACE+∠BAD＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣71°﹣76°＝33°．
22．（9分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称
A种头盔
B种头盔
批发价（元/个）
60
40
零售价（元/个）
80
50
（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？
（2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？
【分析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设第二次批发A种头盔a个，则批发B种头盔个．根据题意列出一元一次不等式，则可得解．
【解答】解：（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．
根据题意，得，
解得：，
答：第一次A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个．
（2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔个．
由题意，得（80﹣60）a+（50﹣40）×≥7200×30%，
解得：a≥72，
答：第二次该商店至少批发72个A种头盔．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的ʘO分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是ʘO的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝12，tanB＝，求AD的长．
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠AEF＝∠B，再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD～△ADF，即可得出结论；
（3）连接EF，在直角三角形BOD中，根据勾股定理可得BO的长度用BD和OD表示，进而得sinB＝＝，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行得到sin∠AEF＝sin∠B，进而求出AF的长，再根据（2）的结论可求出AD的长．
【解答】解：（1）如图1，
连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD～△ADF，
∴＝，
∴AD2＝AB•AF；
（3）如图3，
连接EF，
在Rt△BOD中，tanB＝＝，
∵OD2+BD2＝OB2，设OD为5x，则BD为12x，
由勾股定理得BO＝＝13x，
∴sinB＝＝，
设半径为r，
则＝，
得r＝，
∴AE＝15，AB＝AE+BE＝27，
∵AE为直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE×＝15×＝，
∵AD2＝AB•AF，
∴AD＝＝＝．
24．（10分）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“中轴点”．例如：若点P在矩形ABCD内部，且PA＝PD，则称P为边AD的“中轴点”．已知点P是矩形ABCD边AD的“中轴点”，且AB＝10，BC＝8，如图1．
（1）求证：P是矩形ABCD边BC的“中轴点”；
（2）如图2，连接PA，PB，若△PAB是直角三角形，求PA的值；
（3）如图3，连接PA，PB，PD，求tan∠PDC•tan∠PBA的最小值．
【分析】（1）连接PB、PC，通过求证△CDP≌△BAP即可求证P是矩形ABCD边BC的“中轴点“；
（2）连接PD，过点P作PE⊥DA于点E，过点P作PF⊥AB于点F，设AF＝x，利用三角形相似找到关系式，即可算出AP的长；
（3）过点P作PF'⊥AB于点F'，利用（1）（2）中所求，将∠PDC进行转换，再结合二次函数最值即可找到tan∠PDC•tan∠PBA的最小值．
【解答】解：（1）连接PB、PC，如图所示：
∵点P为该边的“中轴点”，
∴PA＝PD，∠PDA＝∠PAD，
又∵∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠CDP＝∠BAP，
在△CDP和△BAP中，
，
∴△CDP≌△BAP（SAS），
∴PC＝PB，
∴P是矩形ABCD边BC的“中轴点“；
（2）解：连接PD，过点P作PE⊥DA于点E，过点P作PF⊥AB于点F，
由（1）得PD＝PA，故△PDA为等腰三角形，
∴DE＝EA＝AD＝＝＝4，
∵在四边形PEAF中，∠PEA＝∠EAF＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF为矩形，
∴EA＝PF＝4，
又∵△PAB是直角三角形，∠PFA＝PFB＝90°，
∴∠PAF＝90°﹣∠PBA，∠FPB＝90°﹣∠PBF，
即∠PAF＝∠FPB，
∴△FAP∽△FPB，
∴，
∴PF2＝AF•BF，
即16＝AF•BF，
设AF＝x，则BF＝10﹣x，可得方程：
x（10﹣x）＝16，
解得：x1＝2，x2＝8，
当AF＝2时，PA＝＝＝2，
当AF＝8时，PA＝＝，
综上，当△PAB是直角三角形时，PA的值为2或4；
（3）过点P作PF'⊥AB于点F'，如图所示：
由（1）（2）可知，∠PDC＝∠PAF'，PF'＝4，
∴tan＝∠PDC＝tan∠PAF'＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PDC•tan∠PBA＝，
设AF'＝x，则BF'＝10﹣x，
∴tan∠PDC•tan∠PBA＝，
观察易知，当x（10﹣x）取得最大值时，tan∠PDC•tan∠PBA取得最小值，
令y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∵﹣1＜0，
∴当x＝5时，y取得最大值25，
∴存在最小值：，
故tan∠PDC•tan∠PBA的最小值为．
25．（10分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y＝x﹣
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，﹣）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OF＝＝﹣＝＝amt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴＝2．
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