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    2021年高中数学选修1-1教学案:1.2《充分条件与必要条件》教师版(含答案)教案
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    高中数学人教版新课标A选修1-11.2充分条件与必要条件教学设计

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修1-11.2充分条件与必要条件教学设计,共10页。

    

    归纳总结,核心必记
    (1)充分条件与必要条件
    命题真假
    “若p,则q”是真命题
    “若p,则q”是假命题
    推出关系
    p⇒q

    条件关系
    p是q的充分条件
    q是p的必要条件
    p不是q的充分条件
    q不是p的必要条件
    (2)充要条件
    一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
    [问题思考]
    (1)x>3是x>5的充分条件吗?
    提示:不是.因为x>3x>5,但x>5⇒x>3,因此x>3是x>5的必要条件.
    (2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的吗?
    提示:不唯一,如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
    (3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A与B的关系怎样?
    提示:A=B.


    [思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p,则q”、“若q,则p”的真假性有什么关系?
    名师指津:当命题“若p,则q”为真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件;当命题“若q,则p”为真命题时,q是p的充分条件,p是q的必要条件;当上述两个命题都是真命题时,p是q的充要条件.



    讲一讲
    1.判断下列各题中p是q的什么条件.
    (1)在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC;
    (2)p:x>1,q:x2>1;
    (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;
    (4)p:a [尝试解答] 
    (1)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC;
    反之,若BC>AC,则A>B.因此,p是q的充要条件.
    (2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1,或x>1,不一定有x>1.
    因此,p是q的充分不必要条件.
    (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;
    由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件.
    (4)由于a1; 当b>0时,<1,故若a 当a>0,b>0,<1时,可以推出ab.
    因此p是q的既不充分也不必要条件.

    充分、必要条件的判断方法
    判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用.
    练一练
    1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
    (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形;
    (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.
    解:(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,
    四边形是平行四边形四边形的对角线相等,
    ∴p是q的既不充分也不必要条件.
    (2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)·(y-2)=0,
    而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0,
    ∴p是q的充分不必要条件.

    [思考] 如何证明“p是q的充要条件”?
    名师指津:证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p,则q”和“若q,则p”都是真命题.
    讲一讲
    2.证明:a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0垂直的充要条件.
    [尝试解答] 
    (1)(充分性)当b=0时,如果a+2b=0,那么a=0,
    此时直线ax+2y+3=0平行于x轴,直线x+by+2=0平行于y轴,它们互相垂直.
    当b≠0时,直线ax+2y+3=0的斜率k1=-,直线x+by+2=0的斜率k2=-,
    若a+2b=0,则k1·k2=·=-1,两直线垂直.
    (2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在,则k1·k2=·=-1,
    所以a+2b=0.
    若两直线中直线的斜率不存在,且互相垂直,则b=0,且a=0,所以a+2b=0.
    综上,“a+2b=0”是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”的充要条件.

    一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.
    练一练
    2.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
    证明:(充分性):因为a+b+c=0,
    所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-a-b=0,
    即(x-1)(ax+a+b)=0.
    所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
    (必要性):因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
    所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
    所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
    故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.




    已知p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
    [思考1] 若p是q的充分条件,则A与B有什么关系?
    名师指津:A⊆B.
    [思考2] 若p是q的充分不必要条件,则A与B有什么关系?
    名师指津:AB.
    [思考3] 若p是q的充要条件,则A与B有什么关系?
    名师指津:A=B.
    [思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件,则A与B有什么关系?
    名师指津:BA,且AB.
    讲一讲
    3.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
    [尝试解答] 
    p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
    因为p是q的必要不充分条件,
    所以q是p的充分不必要条件,
    即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
    故有或解得m≤3.
    又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0
    根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,可以先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
    练一练
    3.若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
    解:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
    因为p是q的充分不必要条件,
    设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以AB.
    所以或
    解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9,
    即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
    4.本讲中p、q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?
    解:因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
    若p是q的充要条件,则方程组无解.
    故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
    —————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
    1.本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断,难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围.
    2.本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误,见讲1和讲3.
    3.本节课要重点掌握的规律方法
    (1)判断充分条件与必要条件的方法,见讲1.
    (2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
    若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,
    则p是q的充分不必要条件

    若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,
    则p是q的必要不充分条件

    若A=B,则p,q互为充要条件

    若A⊆B,且B⊆A,则p既不是q的充分条件,
    也不是q的必要条件

    其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
    4.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,见讲3.





    课时达标训练(一)
    [即时达标对点练]
    题组1 充分、必要条件的判断
    1.“数列{an}为等比数列”是“an=3n(n∈N*)”的(  )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案为:B;
    解析:当an=3n时,{an}一定为等比数列,但当{an}为等比数列时,不一定有an=3n,
    故应为必要不充分条件.
    2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(  )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案为:A;
    解析:由a+b=0可知a,b是相反向量,它们一定平行;但当a∥b时,不一定有a+b=0,故应为充分不必要条件.
    3.“实数a=0”是“直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”的  (  )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案为:C;
    解析:当a=0时,两直线方程分别为x=1和2x=1,显然两直线平行;
    反之,若两直线平行,必有1×(-2a)=(-2a)×2,解得a=0,故应为充要条件.
    4.“sin A=”是“A=”的__________条件.
    答案为:必要不充分
    解析:由sin A=不一定能推得A=,例如A=等;
    但由A=一定可推得sin A=,所以“sin A=”是“A=”的必要不充分条件.

    题组2 充要条件的证明
    5.函数y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是  (  )
    A.1< a<2    B.< a<2 C.a<1 D.a<0
    答案为:C;
    解析:由指数函数性质得,当y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数时,2-a>1,解得a<1.
    故选C.
    6.求证:一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
    证明:①充分性:如果b=0,那么f(x)=kx,
    因为f(-x)=k(-x)=-kx,即f(-x)=-f(x),
    所以f(x)为奇函数.
    ②必要性:因为f(x)=kx+b (k≠0)是奇函数,
    所以f(-x)=-f(x)对任意x均成立,
    即k(-x)+b=-kx+b,
    所以b=0.
    综上,一次函数f(x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
    题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
    7.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(  )
    A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1
    答案为:C;
    解析:∵一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根.

    由于{a|a<-1}⊆{a|a<0},故选C.
    8.在平面直角坐标系xOy中,直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=________.
    答案为:-
    解析:x+(m+1)y=2-m与mx+2y=-8互相垂直⇔1·m+(m+1)·2=0⇔m=-.
    9.已知M={x|(x-a)2<1},N={x| x 2-5 x-24<0},若N是M的必要条件,求a取值范围.
    解:由(x-a)2<1,得a-1 ∵N是M的必要条件,∴M ⊆N.
    故a的取值范围为[-2,7].
    [能力提升综合练]
    1.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(  )
    A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
    B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
    C.丙是甲的充要条件
    D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
    答案为:A;
    解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.
    又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙,
    如图.

    综上,有丙⇒甲,但甲丙,
    即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
    2.设0 A.充分不必要条件   
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案为:B;
    解析:因为0< x<,所以0 由xsin2x<1得xsin x<,而>1,因此充分性不成立.
    3.平面α∥平面β的一个充分条件是(  )
    A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
    B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
    C.存在两条平行直线a、b,a⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α
    D.存在两条异面直线a、b,a⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α
    答案为:D;
    解析:当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时,都有可能推出平面α与β相交,而得不出α∥β,它们均不能成为α∥β的充分条件.只有D符合.
    4.设{an}是等比数列,则“a1 A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案为:C;
    解析:{ an }为等比数列,an=a1·qn-1,由a1 即a1>0,q>1或a1<0,0< q<1,则数列{ an }为递增数列.反之也成立.
    5.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2< x<-1,则a取值范围是_____.
    答案为:(2,+∞)
    解析:根据充分条件,必要条件与集合间的包含关系,
    应有(-2,-1)⊆{ x |( a+x)(1+x)<0},故有a>2.
    6.下列命题:
    ①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;
    ②b2-4ac<0是一元二次不等式a x 2+b x+c<0解集为R的充要条件;
    ③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;
    ④“xy=1”是“lgx+lg y=0 ”的必要不充分条件.
    其中真命题的序号为________.
    答案为:④
    解析:①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6.
    所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;
    ②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题;
    ③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,∴a=2.
    因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;
    ④lg x+lg y=lg(xy)=0,∴xy=1且x>0,y>0.
    所以“lg x+lg y=0”成立,xy=1必然成立,反之不然.
    因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件.
    综上可知,真命题是④.
    7.已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
    解:令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,则方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的实数根
    ⇔⇔k<-2.
    因此k<-2是使方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的实数根的充要条件.
    8.已知条件p:|x-1|>a和条件q:2x2-3x+1>0,求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
    解:依题意a>0.由条件p:|x-1|>a,
    得x-1<-a或x-1>a,
    ∴x<1-a或x>1+a.
    由条件q:2x2-3x+1>0,得x<或x>1.
    要使p是q的充分不必要条件,即“若p,则q”为真命题,逆命题为假命题,
    应有或
    解得a≥.令a=1,则p:x<0或x>2,
    此时必有x<或x>1.
    即p⇒q,反之不成立.
    ∴最小正整数a=1.

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