人教版新课标A选修1-11.4全称量词与存在量词教学设计

这是一份人教版新课标A选修1-11.4全称量词与存在量词教学设计，共23页。


归纳总结，核心必记
(1)全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
∀
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，
可用符号简记为∀x∈M，p(x)
(2)存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
∃
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，
可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)

(3)含有一个量词的命题的否定

[问题思考]
(1)命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？
提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．
(2)命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？
提示：是全称命题，且是假命题．
(3)下列命题是特称命题的有哪些？
①有一个平行四边形是菱形；
②任何一个平行四边形是菱形；
③某些平行四边形是菱形；
④有的平行四边形是菱形．
提示：①③④．
(4)全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？
提示：全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．


[思考]　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？
名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．
讲一讲
1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[尝试解答]　
(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

练一练
1．下列语句是特称命题的是(　　)
A．整数n是2和7的倍数
B．存在整数n，使n能被11整除
C．x>7
D．∀x∈M，p(x)成立
答案为：B；
解析：B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题：
(1)负数没有对数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)∃x0∈Z，log2x0>0.
解：(1)和(3)为全称命题．(2)和(4)为特称命题．

[思考1]　如何判定一个全称命题的真假？
名师指津：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
[思考2]　如何判定一个特称命题的真假？
名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
讲一讲
2．(1)下列命题中的假命题是(　　)
A．∃x0∈R，lg x0＝0　　　　B．∃x0∈R，tan x0＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0
(2)判断下列命题的真假：
①任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；
②∃x0，y0为正实数，使x＋y＝0；
③在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.
[尝试解答]　
(1)当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
(2)①因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉>0，所以cos〈a，b〉>0，又0≤〈a，b〉≤π，
所以0≤〈a，b〉；
(2)∃α0，β0，使cos(α0－β0)＝cos α0－cos β0；
(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.
解：(1)真命题．因为x2－x＋1－＝＋≥>0.所以x2－x＋1>恒成立．
(2)真命题．例如，α0＝，β0＝，符合题意．
(3)假命题．例如，x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.

讲一讲
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0;
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

[尝试解答]　
(1) ：∃x0∈R，x－x0＋0，真命题．
(4) ：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
练一练
4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．







讲一讲
4．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　
法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2，则f(x)≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而∀x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3，1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或即－2≤a≤1或－3≤af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或a0；
③∃x0∈N，使x≤x0；
④∃x0∈N*，使x0为29的约数．
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案为：C；
解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×40恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
题组2　全称命题、特称命题的否定
4．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x0
答案为：D；
解析：特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.
6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
答案为：C；
解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
7．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________________．
答案为：∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
解析：“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”．
题组3　全称命题、特称命题的应用
8．已知命题“∃x0∈R，2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案为：(－1，3)
解析：由题意可得“对∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，
令Δ＝(a－1)2－40，q：x∈N.若“p∧q”“ ”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
答案为：{0，1}
解析：因为“p∧q”为假，“”为假，所以q为真，p为假．
故即因此x的值可以是0，1.
15．已知命题p：∃m∈R，m＋10恒成立，
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案为：(－∞，－2]
解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p：∃m∈R，m＋10恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以mb，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；
③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1B”是“sin A>sin B”的充要条件．
其中正确的命题是________．(填序号)
答案为：②③④
解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件是正确的．
三、解答题
17．π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
解：(1) ：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．

18．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；
(2)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.
解：(1) ：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．
这是由于原命题是真命题．
(2) ：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(3) ：∀x∈R，3x－1≠0，假命题．
这是由于x＝0时，3x－1＝0.

19．给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a