第4章 4.2 4.2.2　离散型随机变量的分布列-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

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人员的流动性给传播性疾病的确诊带来了一定的难度，而病毒核酸检验试剂盒的量产，大大缩短了疑似病人的确诊时间．
在某疑似病人的确诊中，令X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，检验成阳性，,0，检验成阴性.))
问题：如果检验成阳性的概率为P，你能写出随机变量X的分布列吗？
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．
离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．
(2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中，图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图(2)中，xk上的线段长为pk.
图(1)
图(2)
(3)离散型随机变量的分布列必须满足：
①pk≥0，k＝1,2，…，n；
②eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
思考1：如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？
[提示] 离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
(1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式：
则称随机变量X服从参数为p的两点分布．
(2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．
思考2：分布列
是两点分布吗？
[提示] 不是．因为X的取值不是0和1.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的．( )
(4)两点分布就是变量只取两个值的分布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )

D [本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(ξi)＝1.
A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－eq \f(1,4)＜0；
C中eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(i＝1))P(ξi)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(6,5)＞1.]
3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
0.8 [由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，
∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.]
4．(一题两空)若离散型随机变量X的分布列为
则a＝________，P(X≥1)＝________.
eq \f(1,10) eq \f(4,5) [由2a＋3a＋5a＝1得a＝eq \f(1,10).
∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(3,10)＋eq \f(5,10)＝eq \f(4,5).]
【例1】 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,a)(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)[思路点拨] 先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，eq \f(1,2)[解] (1)∵eq \i\su(i＝1,4,p)i＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＝eq \f(3,10).
(2)由a＝10，
可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＋eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).
利用分布列及其性质解题时要注意两个问题
1．X的各个取值表示的事件是互斥的．
2．不仅要注意eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
eq \([跟进训练])
1．(一题两空)若随机变量X的概率分布如表所示，则表中的a的值为________，P(X≥3)＝________.
eq \f(1,6) eq \f(1,3) [由题意可知
eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＋a＝1，
∴a＝eq \f(1,6).
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).]
角度一 求离散型随机变量y＝f(ξ)的分布列
【例2】 已知随机变量ξ的分布列为
分别求出随机变量η1＝eq \f(1,2)ξ，η2＝ξ2的分布列．
[解] 由η1＝eq \f(1,2)ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，1，eq \f(3,2)，所以η1的分布列为
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率，即eq \f(1,12)与eq \f(1,6)的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率，即eq \f(1,4)与eq \f(1,12)的和，所以η2的分布列为
已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝fξ的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
eq \([跟进训练])
2．已知随机变量ξ的分布列为
分别求出随机变量η1＝－ξ＋eq \f(1,2)，η2＝ξ2－2ξ的分布列．
[解] 由η1＝－ξ＋eq \f(1,2)，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝eq \f(5,2)，eq \f(3,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－eq \f(3,2)，－eq \f(5,2)，相应的概率值为eq \f(1,12)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3)，eq \f(1,12)，eq \f(1,6)，eq \f(1,12).
故η1的分布列为
由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.
所以P(η2＝8)＝eq \f(1,12)，P(η2＝3)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,3)，
P(η2＝0)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)，P(η2＝－1)＝eq \f(1,12).
故η2的分布列为
角度二 借助排列、组合求离散型随机变量的分布列
【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
[思路点拨] X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
[解] 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为Ceq \\al(3,6)，事件“X＝3”包含的基本事件总数为Ceq \\al(3,3)，事件“X＝4”包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(2,3)，事件“X＝5”包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(2,4)，事件“X＝6”包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(2,5).
从而有P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(2,3),C\\al(3,6))＝eq \f(3,20)，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(2,4),C\\al(3,6))＝eq \f(3,10)，
P(X＝6)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(2,5),C\\al(3,6))＝eq \f(1,2)，
所以随机变量X的分布列为
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2,3,4…，n)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
eq \([跟进训练])
3．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
[解] 从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；
当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.
则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(2,12))＝eq \f(5,22)，P(X＝－1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,2),C\\al(2,12))＝eq \f(2,11)，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,12))＝eq \f(1,66)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,4),C\\al(2,12))＝eq \f(4,11)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,2),C\\al(2,12))＝eq \f(4,33)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,12))＝eq \f(1,11).
从而得到X的分布列：
[探究问题]
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
【例4】 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，两球全红，,1，两球非全红.))求X的分布列．
[思路点拨] X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
[解] 由题设可知X服从两点分布．
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,15))＝eq \f(2,21)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq \f(19,21).
∴X的分布列为
两步法判断一个分布是否为两点分布
1．看取值：随机变量只取两个值0和1.
2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．
eq \([跟进训练])
4．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，试验失败，,1，试验成功，))则P(Y＝0)＝( )
A．0 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
C [由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝eq \f(2,3)，故P(Y＝0)＝eq \f(1,3).]
1．在利用分布列的性质解题时要注意以下两点：
(1)X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；
(2)不仅eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))Pi＝1，而且0≤Pi≤1，i＝1,2,3，…，n.
2．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－eq \f(n,2)的值为( )
A.－0.2 B．0.2
C．0.1D．－0.1
B [由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－eq \f(n,2)＝0.2.]
2．设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6D．0.7
A [由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.]
3．(一题两空)一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
则a＝________，b＝________.
eq \f(19,20) eq \f(1,20) [X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝eq \f(19,20)；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝eq \f(1,20).]
4．(一题两空)设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.
eq \f(2,3) eq \f(2,3) [P(ξ>8)＝eq \f(1,12)×8＝eq \f(2,3)，
P(6<ξ≤14)＝eq \f(1,12)×8＝eq \f(2,3).]
5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
[解] 由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝eq \f(1,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(1,36)；
P(ξ＝2)＝eq \f(3,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12)；
P(ξ＝3)＝eq \f(5,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(5,36)；
P(ξ＝4)＝eq \f(7,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(7,36)；
P(ξ＝5)＝eq \f(9,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(9,36)＝eq \f(1,4)；P(ξ＝6)＝eq \f(11,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(11,36).
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．(重点)
2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．(重点)
3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．(难点)
1．通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养．
2．借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养.
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
1
0
P
p
1－p
X
2
5
P
0.3
0.7
X
0
1
2
P
2a
3a
5a
分布列及其性质的应用
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
a
求离散型随机变量的分布列
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
η1
－1
－eq \f(1,2)
0
eq \f(1,2)
1
eq \f(3,2)
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
η2
0
1
4
9
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,4)
eq \f(1,12)
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
η1
eq \f(5,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
－eq \f(3,2)
－eq \f(5,2)
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
η2
8
3
0
－1
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
eq \f(1,12)
X
3
4
5
6
P
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
X
－2
－1
0
1
2
4
P
eq \f(5,22)
eq \f(2,11)
eq \f(1,66)
eq \f(4,11)
eq \f(4,33)
eq \f(1,11)
两点分布
X
2
5
P
0.3
0.7
X
0
1
P
eq \f(2,21)
eq \f(19,21)
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
P
a
b
ξ
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,36)
eq \f(1,12)
eq \f(5,36)
eq \f(7,36)
eq \f(1,4)
eq \f(11,36)