第4章 4.2 4.2.2　离散型随机变量的分布列-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

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人员的流动性给传播性疾病的确诊带来了一定的难度，而病毒核酸检验试剂盒的量产，大大缩短了疑似病人的确诊时间．
在某疑似病人的确诊中，令X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，检验成阳性，,0，检验成阴性.))
问题：如果检验成阳性的概率为P，你能写出随机变量X的分布列吗？
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．
离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．
(2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中，图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图(2)中，xk上的线段长为pk.
图(1)
图(2)
(3)离散型随机变量的分布列必须满足：
①pk≥0，k＝1,2，…，n；
②eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
思考1：如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？
[提示] 离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
(1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式：
则称随机变量X服从参数为p的两点分布．
(2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．
思考2：分布列
是两点分布吗？
[提示] 不是．因为X的取值不是0和1.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的．( )
(4)两点分布就是变量只取两个值的分布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )

D [本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(ξi)＝1.
A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－eq \f(1,4)＜0；
C中eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(i＝1))P(ξi)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(6,5)＞1.]
3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
0.8 [由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，
∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.]
4．(一题两空)若离散型随机变量X的分布列为
则a＝________，P(X≥1)＝________.
eq \f(1,10) eq \f(4,5) [由2a＋3a＋5a＝1得a＝eq \f(1,10).
∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(3,10)＋eq \f(5,10)＝eq \f(4,5).]
【例1】 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,a)(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)