数学27.2.2 相似三角形的性质一课一练

相似三角形的性质

1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为(　D　)

A．4∶3  B．3∶4

C．16∶9  D．9∶16

2. 如图27－2－41，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是 (　D　)

图27－2－41

A.  B.  C.  D.

3．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为(　A　)

A．48 cm  B．54 cm  C．56 cm  D．64 cm

4．如图27－2－42，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是(　D　)

A．BC＝2DE  B．△ADE∽△ABC

C.＝  D．S△ABC＝3S△ADE

【解析】 ∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴BC＝2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∴＝，故C正确；∵DE是△ABC的中位线，∴DE∶BC＝1∶2，∴S△ABC＝4S△ADE，故D错误．

图27－2－42

图27－2－43

5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为(　B　)

A．2  B．3  C．4  D．6

【解析】 作DF⊥BC于F，

∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，

∴DE＝2，BD＝2，∠B＝60°，

∴BF＝1，DF＝＝＝，

∴四边形BCED的面积为DF·(DE＋BC)＝××(2＋4)＝3.故选B.

6．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为(　A　)

A．8，3  B．8，6

C．4，3  D．4，6

【解析】 ∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴＝＝2，又∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，∴△ABC与△DEF的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC的周长为16，面积为12，∴△DEF的周长为16×＝8，△DEF的面积为12×＝3.

7. 如图27－2－44，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝，则S△ADE∶S四边形BCED的值为(　C　)

图27－2－44

A．1∶  B. 1∶2

C. 1∶3  D. 1∶4

8．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，若△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为__8__.

【解析】 ∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周长∶△A′B′C′的周长＝3∶4，∵△ABC的周长为6，∴△A′B′C′的周长＝6×＝8.

9．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__9∶1__．

【解析】 ∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶1.

图27－2－45

10．如图27－2－45，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于D，E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为__1∶9__．

11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：

①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；

②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线)．经测量：AB＝1.2米，BC＝1.6米．

根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)

图27－2－46

第11题答图

解：如图，取圆锥底面圆圆心O，连接OS，OA，

则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，

∴∠ACB＝∠ASO，∴△SOA∽△CBA，

∴＝，即OS＝.

∵OA＝≈5.5，BC＝1.6，AB＝1.2，

∴OS≈≈7.3，

∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．

12. 已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.

(1)求△DEF的周长；

(2)求△DEF的面积．

解：(1)∵＝，

∴△DEF的周长＝12×＝8(cm)；

(2)∵＝，

∴△DEF的面积＝30×()2＝13(cm2)．

13．如图27－2－47，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积比等于(　D　)

图27－2－47

A.  B.  C.  D.

14．如图27－2－48，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.

(1)求证：EF∥BC；

(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．

图27－2－48

【解析】 (1)证明EF为△ABD的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．

解：(1)证明：∵DC＝AC，

∴△ACD为等腰三角形．

∵CF平分∠ACD，∴F为AD的中点．

∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，

∴EF∥BC.

(2)由(1)得EF∥BC，∴△AEF∽△ABD.

∵＝，∴S△AEF∶S△ABD＝1∶4，

 ∴S四边形BDFE∶S△ABD＝ 3∶4.

∵S△ABD＝6，∴S四边形BDFE＝.

15．[2013·泰安]如图27－2－49，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．

图27－2－49

(1)求证：AC2＝AB·AD；

(2)求证：CE∥AD；

(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．

解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC ＝∠CAB.

又∵∠ADC ＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB.

∴＝.

∴AC2＝AB·AD.

(2)证明：∵E为AB的中点，

∴CE＝AB＝AE，

∠EAC ＝∠ECA.

∵AC平分∠DAB，

∴∠CAD ＝∠CAB.

∴∠DAC ＝∠ECA.

∴CE∥AD.

(3)∵CE∥AD，

∴∠DAF ＝∠ECF，∠ADF ＝∠CEF，

∴△AFD∽△CFE，

∴＝.

∵CE＝AB，

∴CE＝×6＝3.

又∵AD＝4，由＝得＝，

∴＝.

∴＝.

16. 已知：如图27－2－50，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.

图27－2－50

证明： 连接PC，

∵AB＝AC，AD是中线，

∴AD是△ABC的对称轴．

∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.

∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行，内错角相等)，

∴∠PCE＝∠PFC.

又∵∠CPE＝∠EPC，

∴△EPC∽△CPF.

∴＝(相似三角形的对应边成比例)．

∴PC2＝PE·PF.

∵PC＝BP，

∴BP2＝PE·PF.

17. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

(1)若O是△ABC的重心(如图1)，连结AO并延长交BC于D，证明：＝；

(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2)，O是AD上一点，且满足＝，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

(3)若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB，AC相交于G，H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3)，S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．

图27－2－51

解：(1)证明：连接BO并延长交AC于点E，连接DE，则DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，

∴△EDO≌△BAO，∴＝＝，∴＝.

(2)是，证明：

连接BO并延长交AC于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F，则△AOE∽△ADF，

∴＝＝，

∴AE＝2EF，

又∵△CDF∽△CBE，

∴＝＝，

∴EF＝FC，

∴AE＝CE，即点E为AC中点，

∴点O为△ABC的重心．

(3).