2020-2021学年第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理综合训练题

17.2勾股定理的逆定理

同步练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形            B．锐角三角形

C．钝角三角形            D．以上答案都不对

选A

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（　　）

A．∠A为直角               B．∠C为直角

C．∠B为直角               D．不是直角三角形

解：∵（a+b）（a﹣b）=c2，

∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，

∴∠A为直角．

故选A．　

3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（　　）

A．50°         B．60°         C．70°          D．80°

解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，

∴OM2+ON2=MN2，

∴∠MON=90°，

∵∠EOM=20°，

∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，

故选C．

4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A．1个           B．2个          C．3个       D．4个

解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；

②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；

③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；

④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形．

所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．

故选：C．　

5．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（　　）

A．小于1m       B．大于1m     C．等于1m    D．小于或等于1m

解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7

由勾股定理得：AB=，

由题意可知AB=A′B′=，

又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=，

∴BB′=7﹣＜1．

故选A．　

6．下列各组数中不是勾股数的是（　　）

A．3，4，5      B．4，5，6     C．5，12，13      D．6，8，10

解：A、∵32+42=52，

∴以3、4、5为边能组成直角三角形，

即3、4、5是勾股数，故本选项错误；

B、∵42+52≠62，

∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，

即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；

C、∵52+122=132，

∴以5、12、13为边能组成直角三角形，

即5、12、13是勾股数，故本选项错误；

D、∵62+82=102，

∴以6、8、10为边能组成直角三角形，

即6、8、10是勾股数，故本选项错误；

故选B．

7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）

A．5m        B．12m        C．13m          D．18m

解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，

所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．

根据勾股定理，折断的旗杆为=13m，

所以旗杆折断之前高度为13m+5m=18m．

故选D．　

8．如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）

A．12m           B．14m         C．13m        D．15m

解：如图，过点A作AB⊥BC于点B，连接AC，

∵一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m，

∴AB=12m，BC=8﹣3=5m，

∴AC==13m．

故选C．

9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多米？（　　）

A．4         B．8         C．9           D．7

解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度==4，

∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是3+4=7米．

故选D．　

10．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（　　）

A．5         B．           C．5或           D．5或6

解：分两种情况：

当c为斜边时，c==5；

当长4的边为斜边时，c==（根据勾股定理列出算式）．

故选C．　

二．填空题（共4小题）

11．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于　96　．

解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，

∴AC===10，

在△ABC中，

∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，

∴△ABC为直角三角形；

∴图形面积为：

S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．

故答案为：96．

12．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为　150cm　．

解：如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，

故答案为：150cm．

13．我们把符合等式a2+b2=c2 的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．

3，4，5；

5，12，13；

7，24，25；

9，40，41；

11，　60　，　61　；…

解：先用计算机验证是勾股数；

通过观察得到：这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，

11是第5组勾股数的第一个小数，

所以其它2个数为：2×52+2×5=60，

2×52+2×5+1=61，

故答案为：60、61．　

14．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　能　放入（填“能”或“不能”）．

解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，

根据题意，得x2=502+402+302=5000，

702=4900，

因为4900＜5000，所以能放进去．

故答案是：能．

三．解答题（共6小题）

15．已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．

（1）求a、b、c的值；

（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．

解：（1）∵a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．

∴|a﹣|=0，=0，（c﹣4）2=0．

解得：a=，b=5，c=4；

（2）∵a=，b=5，c=4，

∴a+b=+5＞4，

∴以a、b、c为边能构成三角形，

∵a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，

∴此三角形是直角三角形，

∴S△==．

16．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，

①求证：∠A=90°．

②若DE=3，BD=4，求AE的长．

（1）证明：

连接CE，如图，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴CE=BE…（2分）

∵BE2﹣EA2=AC2，

∴CE2﹣EA2=AC2，

∴EA2+AC2=CE2，

∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；

（2）解：

∵DE=3，BD=4，

∴BE==5=CE，

∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，

∵BC=2BD=8，

∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，

∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．

17．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．

（1）请你再写出两组勾股数：（　6　、　8　、　10　），（　9　、　12　、　15　）；

（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．

解：（1）写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15）．

（2）证明：x2+y2

=（2n）2+（n2﹣1）2

=4n2+n4﹣2n2+1

=n4+2n2+1

=（n2+1）2

=z2，

即x，y，z为勾股数．

故答案为：6，8，10；9，12，15．　

18．如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．

（1）求出AB边的长；

（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．

解：（1）∵DE=12，S△ABE=DE•AB=60，

∴AB=10；

（2）∵AC=8，BC=6，62+82=102，

∴AC2+BC2=AB2，

由勾股定理逆定理得∠C=90°．　

19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

解：在Rt△ABC中：

∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，

∴AB==12（米），

∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，

∴CD=13﹣0.5×10=8（米），

∴AD===（米），

∴BD=AB﹣AD=12﹣（米），

答：船向岸边移动了（12﹣）米．

20．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角．沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．

（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．

（2）如图以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD=BC，

在Rt△ABD中，BD===30m，

∴BC=60m，

∵重型运输卡车的速度为18千米/时=300米/分钟，

∴重型运输卡车经过BC的时间=60÷300=0.2分钟=12秒，

答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．