第2章 2.4　曲线与方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

这是一份第2章 2.4　曲线与方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义，共17页。
我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用．
1．曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．
思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．
[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝eq \r(1－x2)表示的曲线是半圆，而非整圆．
思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] 若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0．
2．两条曲线的交点坐标
曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fx，y＝0，,Gx，y＝0))的实数解．
3．解析几何研究的主要问题
(1)由曲线求它的方程．
(2)利用方程研究曲线的性质．
4．求曲线的方程的步骤
5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法
(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性
设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律：
①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；
②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；
③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．
另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
(2)根据曲线的方程画曲线
①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．
②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．
③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程．( )
(2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．
( )
(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．( )
(4)求轨迹方程就是求轨迹．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)× 曲线的方程必须满足两个条件．
(2)× 以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段AB上．
(3)√ 对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．
(4)× 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．
2．点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值为( )
A．1或－5 B．－1或－5
C．－2或3 D．2或－3
B [由点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，得a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0得a＝－1或a＝－5．]
3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称
C [将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C．]
4．平面上有三点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，C(x，y)若eq \(AB,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，则动点C的轨迹方程为 ．
y2＝8x(x≠0) [eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(y,2)))，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(y,2)))，由eq \(AB,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))得2x－eq \f(y2,4)＝0，即y2＝8x(x≠0)．]
【例1】 已知方程x2＋(y－1)2＝10．
(1)判断点P(1，－2)，Q(eq \r(2)，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在此方程表示的曲线上，求m的值．
[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，
(eq \r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q(eq \r(2)，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝eq \f(m,2)，y＝－m适合上述方程，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))eq \s\up12(2)＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－eq \f(18,5)，
∴m的值为2或－eq \f(18,5)．
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
eq \([跟进训练])
1．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是 ．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) [由曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，
所以(－a)2＝a×(－a)＋2×a＋k，
即k＝2a2－2a＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)，
所以k≥－eq \f(1,2)．]
【例2】 已知曲线C的方程是x4＋y2＝1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C所围成的区域的面积大于π．
其中，所有正确结论的序号是 ．
[思路探究] 分析关于原点对称的两个点(x，y)，(－x，－y)，是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y＝x对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．
①③ [将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；
将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；
在曲线C上任取一点M(x0，y0)，xeq \\al(4,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，∵|x0|≤1，
∴xeq \\al(4,0)≤xeq \\al(2,0)，
∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)≥xeq \\al(4,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，
故③正确．
故正确的结论的序号是①③．]
讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：
(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；
(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；
(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)；
(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；
(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．
eq \([跟进训练])
2．画出方程y＝eq \r(x2－2|x|＋1)的曲线．
[解] ∵y＝eq \r(x2－2|x|＋1)＝eq \r(|x|－12)＝||x|－1|，易知x∈R，y≥0．
用－x代替x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y，所以曲线关于y轴对称．
当x≥0时，y＝|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1x＞1，,1－x0≤x≤1，))
分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y＝eq \r(x2－2|x|＋1)的图像，如图所示．
【例3】 一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．
[思路探究] 利用动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍列等式，化简即可求出动点的轨迹方程．
[解] 设动点P(x，y)，
由题意，|x－8|＝2eq \r(x－22＋y2)，
两边平方可得：x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2．
整理得：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
所以动点的轨迹方程为：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．
eq \([跟进训练])
3．如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．
[解] 以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系(图略)，则A(－a，0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点，
由题意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，
eq \r(x＋a2＋y2)·eq \r(x－a2＋y2)＝eq \r(x2＋y＋b2)·eq \r(x2＋y－b2)，
化简得x2－y2＝eq \f(a2－b2,2)．
故动点P的轨迹方程为x2－y2＝eq \f(a2－b2,2)．
[探究问题]
1．当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，怎样求P点的轨迹？
提示：设所求动点P的坐标为(x，y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0，y0)，找出P、Q之间的坐标关系，并表示为x0＝f(x)，y0＝f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0，y0的关系式，把x0＝f(x)，y0＝f(y)代入关系式中，即得所求轨迹方程．
2．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？
[提示] 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．
【例4】 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
[思路探究] 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．
[解] 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1．
1．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“eq \(MP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))”，求P点的轨迹方程．
[解] 设P(x，y)，M(x0，y0)，
则eq \(MP,\s\up7(→))＝(x－x0，y－y0)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(3－x，－y)，
由eq \(MP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－x0＝3－x×2，,y－y0＝－2y，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3x－6，,y0＝3y，))又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴(3x－6)2＋9y2＝1，
∴点P的轨迹方程为(3x－6)2＋9y2＝1．
2．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．
[解] 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M为PB的中点．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2)，))又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(2)＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，
∴P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4．
代入法求解曲线方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝fx，y，,y0＝gx，y；))
(3)代入相关动点的轨迹方程；
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．
1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：
曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．
坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．
3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．
4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )
A B C D
D [对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C．]
2．若M(1,2)在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为( )
A．eq \f(1,4) B．4
C．eq \f(1,3) D．3
A [因为M(1,2)在曲线x2＋ay2＝2上，代入曲线方程可得a＝eq \f(1,4)．]
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是 ．
4个点 [由方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4＝0，,y2－4＝0，))表示4个点．]
4．曲线y＝eq \r(1－x2)和y＝－x＋eq \r(2)公共点的个数为 ．
1 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(1－x2)，,y＝－x＋\r(2)，))得－x＋eq \r(2)＝eq \r(1－x2)，两边平方并整理得(eq \r(2)x－1)2＝0，所以x＝eq \f(\r(2),2)，y＝eq \f(\r(2),2)，故公共点只有一个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))．]
5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，eq \(RA,\s\up7(→))＝eq \(AP,\s\up7(→))，求点P的轨迹方程．
[解] 由eq \(RA,\s\up7(→))＝eq \(AP,\s\up7(→))知，R、A、P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，由eq \(RA,\s\up7(→))＝eq \(AP,\s\up7(→))，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x1＝x－1，,－y1＝y，))即x1＝2－x，y1＝－y，代入直线y＝2x－4中，得y＝2x．
即点P的轨迹方程为y＝2x．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．
2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)
3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．
4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．
5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)
6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．
1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养．
2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养．
3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养．
4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养．
曲线与方程关系的应用
由方程研究曲线的性质
直接法求曲线方程
代入法求曲线方程