第2章 2.3.2　圆的一般方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

这是一份第2章 2.3.2　圆的一般方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义，共18页。
在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题．
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)．
3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？
[提示] 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．
思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
[提示] 只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了．
思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？
[提示] 不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程．( )
(2)圆的一般方程和标准方程可以互化．( )
(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－a))，半径为eq \f(1,2)eq \r(－3a2－4a＋4)的圆．( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．
(2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．
(3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－20．
2．(教材P104练习A①改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
D [圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．]
3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝ ．
4 [以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16．即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4．]
4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为 ．
x2＋y2－3x－4y＝0 [该圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))，半径为eq \f(5,2)，故其标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2＝eq \f(25,4)．
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0．]
【例1】 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
[解] (1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，
由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－eq \f(1,7)＜t＜1．
(2)∵r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,7)))eq \s\up12(2)＋\f(16,7))，
∵eq \f(3,7)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)，1))，
∴当t＝eq \f(3,7)时，圆的面积最大，rmax＝eq \f(4,7)eq \r(7)．
所对应的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(24,7)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(13,49)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,7)．
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜eq \f(3,4)．
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
1由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.
2将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
eq \([跟进训练])
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
[解] (1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(\r(2),2)|a|．
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．
[思路探究] 用待定系数法设出圆的一般方程，然后将A、B、C三点坐标代入，求出D、E、F即可．
[解] 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
将A、B、C三点坐标代入上式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5E＋F＋25＝0，,D－2E＋F＋5＝0，,3D＋4E－F－25＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝－2，,F＝－15.))
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，
即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，
∴△ABC的外接圆圆心为(－3,1)．
应用待定系数法求圆的方程
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．
eq \([跟进训练])
2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．
[解] 设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0．
[探究问题]
1．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
[提示] 设M(x，y)，则eq \r(x－82＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16．
2．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程．
[提示] 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
【例3】 已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4 B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2)
[思路探究] 直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验．
C [设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1．即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．]
过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为 ．
(x－4)2＋y2＝1 [设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，
化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1．]
求与圆有关的轨迹的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程．
1．本节课要重点掌握的规律方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法．
(2)应用待定系数法求圆的方程的方法．
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．
2．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．
1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))
A [方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．]
2．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为( )
A．2 B．－1
C．－2 D．0
D [圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．
∴2－2＋m＝0得m＝0．]
3．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程为 ．
x2＋y2＝4 [设M(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x，,y0＝2y.))
又(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4．]
4．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝ ．
2 [根据题意，方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＝1，,－\f(b,2)＝2，,\f(1,4)a2＋b2－4c＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－4，,c＝4.))
∴a＋b＋c＝2．]
5．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．
[解] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D－E＋F＝－2，,D＋4E＋F＝－17，,4D－2E＋F＝－20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－7，,E＝－3，,F＝2.))
故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)
3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)
1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养．
2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养．
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F＞0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
为圆心，
以eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
为半径的圆
圆的一般方程的概念
求圆的一般方程
求动点的轨迹方程