第2章 2.1　坐标法-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，利用数轴上两点间的距离公式来求解．
1．平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上两点间的距离公式
如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)，则向量eq \(AB,\s\up7(→))的坐标为x2－x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|x2－x1|．如果M(x)是线段AB的中点，则eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(MB,\s\up7(→))．数轴上的中点坐标公式x＝eq \f(x1＋x2,2)．
思考：数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？
[提示] 给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．
(2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)，若M(x，y)是线段AB的中点，则eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(MB,\s\up7(→))，则直角坐标系内的中点坐标公式x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)．
2．坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应．( )
(2)数轴上起点相同的向量方向相同．( )
(3)点M(x)位于点N(2x)的左侧．( )
(4)数轴上等长的向量是相等的向量．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)× 与有序实数对一一对应．
(2)× 终点不一定相同．
(3)× x与2x的大小无法确定．
(4)× 方向不一定相同．
2．(教材P69习题2－1A①改编)已知数轴上A(－3)，B(8)，则A，B两点间的距离为( )
A．3 B．8 C．11 D．5
C [|AB|＝|8－(－3)|＝11．]
3．已知A(1,2)，B(2,6)，则AB的中点坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) [设AB的中点为M(x，y)，则x＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(2＋6,2)＝4，∴中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))．]
4．已知A(2,4)，B(－1,3)，则A，B两点间的距离为________．
eq \r(10) [|AB|＝eq \r(2＋12＋4－32)＝eq \r(10)．]
【例1】 (1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围；
(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系．
[解] (1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－20，
所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右侧．
(3)当a≥0时，|a|＝a，则A(|a|)和B(a)为同一个点．
当aa，则A(|a|)位于B(a)的右侧．
[探究问题]
1．如果两点的位置不确定，如何求其距离？
[提示] 分类讨论．
2．向量的长度及数量的区别与联系．
[提示] |AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，
AB＝xB－xA．
【例2】 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1,3，x．
当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x．
[思路探究] 数轴上两点间的距离⇒点与实数的对应关系⇒数轴上的基本公式．
[解] 由题意知
|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，
则3(x＋1)＝x－3，①
或3(x＋1)＝－(x－3)．②
解①得x＝－3；解②得x＝0．
所以点P的坐标为－3或0．
1．本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？
[解] 由题意知|PA|＝|PB|＝2，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x＋1|＝2，,|x－3|＝2，))解得x＝1．
此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点．
2．本例中在线段AB上是否存在点P(x)，使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由．
[解] 不存在这样的点P(x)．
因为d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使点P在线段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，则d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，这是不可能的．
数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))求解．
(2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用eq \(AB,\s\up7(→))＝xB－xA求解．
(3)已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．
【例3】 已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[思路探究] (1)先根据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状．
(2)结合三角形形状求解．
[解] (1)∵|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝2eq \r(13)，
|AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝2eq \r(13)，
又|BC|＝eq \r(1－32＋7＋32)＝2eq \r(26)，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|·|AB|＝eq \f(1,2)×2eq \r(13)×2eq \r(13)＝26．
判断三角形形状的方法
(1)采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
(2)利用两点间的距离公式，分别计算△ABC三边的长度，根据三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
eq \([跟进训练])
2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．
[解] 因为|AD|＝eq \r(5－32＋4－02)＝2eq \r(5)，在等腰△ABD中，由勾股定理得，|AB|＝eq \r(|AD|2＋|BD|2)＝eq \r(20＋4)＝2eq \r(6)．所以等腰△ABC的腰长为2eq \r(6)．
【例4】 如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|．
[证明] 建立如图坐标系，设A(0，0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝eq \r(b－02＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，
|BD|＝eq \r(a－b－a2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，
故|AC|＝|BD|．
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
eq \([跟进训练])
3．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝eq \f(1,2)|BC|．
[证明] 以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋b,2)，\f(0＋c,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，\f(c,2)))．
由两点间的距离公式得
|BC|＝eq \r(0－b2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，
|AM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(b,2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(c,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(1,2)eq \r(b2＋c2)，
故|AM|＝eq \f(1,2)|BC|．
1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．
2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
3．本节课要掌握的规律方法
(1)数轴上的点与实数之间的关系．
(2)数轴上两点间的距离及平面直角坐标系内两点间的距离公式．
4．本节课的易错点是坐标法的应用，容易将坐标写错．
1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是( )
A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3)
A [由数轴上点的坐标可知A正确．]
2．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－3))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－3))
B [由中点坐标公式可以求得．]
3．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于________．
5 [|MN|＝eq \r(2＋12＋1－52)＝5．]
4．已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点C，D的坐标．
[解] 设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，
即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，
解得x＝－5，
所以对角线交点为P(－5,0)．
所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，
yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；
xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，
yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4)．
所以另外两顶点的坐标为C(－9，－3)，D(－8，－4)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解平面直角坐标系中的基本公式．(重点)
2．理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用．(重点、难点)
1．通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养．
2．借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养．
数轴上的点与实数间的关系
数轴上两点间的距离
两点间距离公式的应用
坐标法的应用