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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型当堂达标检测题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于( )
A. 0.5 B. 2 C. 0 D. 1
D [相关系数|r|越接近于1，相关程度越高．故选D.]
2．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A．y＝a·xbB．y＝a＋bln x
C．y＝a·ebxD．y＝a·eeq \s\up12(eq \f(b,x))
B [由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合．]
3．若回归直线的斜率eq \(b,\s\up8(^))∈(0，＋∞)，则相关系数r的取值范围为( )
A．(0,1]B．[－1,0)
C．0D．无法确定
A [由相关系数与回归直线的斜率之间的关系可知相关系数的取值范围是04．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1B．0
C.eq \f(1,2)D．1
D [因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.]
5．已知变量y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，其一组数据如下表所示：
若x＝5，则预测y的值可能为( )
A．e5B．eeq \s\up12(eq \f(11,2))
C．e7D．eeq \s\up12(eq \f(15,2))
D [将式子两边取对数，得到ln eq \(y,\s\up6(^))＝bx－0.5，令z＝ln eq \(y,\s\up6(^))，得到z＝bx－0.5，列出x，z的取值对应的表格，
则eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1＋3＋4＋6,4)＝3.5，
∵(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(z,\s\up6(－)))满足z＝bx－0.5，∴3.5＝b×2.5－0.5，
解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，eq \(y,\s\up6(^))＝e1.6×5－0.5＝eeq \s\up12(eq \f(15,2))，故选D.]
二、填空题
6．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83，0.72，－0.90，则线性相关程度最强的一组是________．(填甲、乙、丙中的一个)
丙 [两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数|r|越接近于1，这个模型的两个变量线性相关程度就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中－0.90的绝对值最接近1，所以丙的线性相关程度最强．]
7．已知数据点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)在一条直线上，则相关系数r＝________.
±1 [由题易知，相关系数r＝±1.]
8．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像附近，令u＝ln y，则可通过转换得到的线性回归方程为________．
u＝1＋ln 3＋2x [由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1.
令u＝ln y，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2x.]
三、解答题
9．某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：
但其中数据污损不清，经查证eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))yi＝9.32，
eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))tiyi＝40.17，eq \r(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) yi－y2)＝0.55.
(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；
(2)求y关于t的回归方程(系数精确到0.01)；
(3)公司经营期间的广告宣传费xi＝eq \r(ti)(单位：万元)(i＝1,2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)
参考公式及数据：eq \r(7)≈2.646，相关系数
r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))，当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up8(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－)).
[解] (1)由题中的数据和附注中的参考数据得
eq \(t,\s\up6(－))＝4，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2＝28，eq \r(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2)＝0.55，
eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))tiyi－eq \(t,\s\up6(－))eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))yi
＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r＝eq \f(2.89,2\r(7)×0.55)≈0.99＞0.75，
所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系．
(2)由eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(9.32,7)≈1.331及(1)得
eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(2.89,28)≈0.103，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92，
所以y关于t的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.10t＋0.92，
(3)当t＝8时，代入回归方程得
eq \(y,\s\up6(^))＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)，
故第8个月的毛利润为
z＝10×1.72－eq \r(8)＝17.2－2×1.414＝14.372，
因为14.372＜15，
预测第8个月的毛利润不能突破15万元．
10．如图是某企业2014年至2020年的污水净化量(单位：吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程，预测2021年该企业的污水净化量．
参考数据：eq \(y,\s\up6(－))＝54，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝21，
eq \r(14)≈3.74，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝eq \f(9,4)，
参考公式：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))，
线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up8(^))t，eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－)).
[解] (1)由折线图中的数据得，
eq \(t,\s\up6(－))＝4，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－t)2＝28，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝18，
所以r＝eq \f(21,\r(28×18))≈0.94.
因为y与t的相关系数近似为0.94，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)因为eq \(y,\s\up6(－))＝54，eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(21,28)＝eq \f(3,4)，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－))＝54－eq \f(3,4)×4＝51，
所以y关于t的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up8(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))＝eq \f(3,4)t＋51，将2021年对应的t＝8代入上式，得
eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(3,4)×8＋51＝57，
所以预测2021年该企业污水净化量约为57吨．
11．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将y转化为t的线性回归方程，需做变换t＝( )
A．x2B．(x＋a)2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)D．以上都不对
C [y＝ax2＋bx＋c(a≠0)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4ac－b2,4a)，
根据线性回归方程是一次函数可知，令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)，
则y＝at＋eq \f(4ac－b2,4a)为t的线性回归方程，所以C正确．]
12．(多选题)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1：y＝0.68x＋eq \(a,\s\up6(^))，计算其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l2：y＝eq \(b,\s\up8(^))x＋0.68，相关系数为r2，以下结论中，正确的是( )
A．r1＞0，r2＞0B．r1＞r2
C.eq \(a,\s\up6(^))＝0.12D．0＜eq \(b,\s\up8(^))＜0.68
ACD [由图可知两变量呈现正相关，故
r1>0，r2>0，且r1所以eq \(b,\s\up8(^))＝0.44，也可直接根据图像判断013．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________.
e4 [∵y＝cekx，∴两边取对数，
可得ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，
令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx，
∵z＝0.3x＋4，∴ln c＝4，∴c＝e4.故答案为e4.]
14．已知第一组样本点为(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8)，(－2，－3.3)，(－1，－0.9)，其变量间的相关系数为r1；第二组样本点为(1,8.9)，(2,7.2)，(3,4.8)，(4，3.3)，(5,0.9)其变量间的相关系数为r2.则r1，r2的大小关系为________．
r1＞r2 [由第1组数据可知，两变量间成正相关，故r1＞0，由第2组数据可知，两变量间成负相关，故r2＜0，故r1＞0＞r2.]
15．某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令ui＝xeq \\al(2,i)，vi＝ln yi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？
附：①相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))，
回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up8(^))x中公式分别为：eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(x,\s\up6(－))；
②参考数据：308＝4×77，eq \r(90)≈9.486 8，e4.499 8≈90.
[解] (1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，由题意，
r1＝eq \f(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) ui－\(u,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) ui－\(u,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))＝eq \f(215,\r(31 250×2))＝eq \f(43,50)＝0.86，
r2＝eq \f(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))vi－\(v,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) vi－\(v,\s\up6(－))2))＝eq \f(14,\r(77×3.08))＝eq \f(10,11)≈0.91，
则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．
(2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程，
由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
由于λ＝eq \f(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))vi－\(v,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(2,11)≈0.182，
t＝eq \(v,\s\up6(－))－λeq \(x,\s\up6(－))＝4.20－eq \f(2,11)×20≈0.56，
所以v关于x的线性回归方程为eq \(v,\s\up6(^))＝0.18x＋0.56，
所以ln eq \(y,\s\up6(^))＝0.18x＋0.56，则eq \(y,\s\up6(^))＝e0.18x＋0.56.
(ⅱ)下一年销售额y需达到90亿元，
即y＝90，代入eq \(y,\s\up6(^))＝e0.18x＋0.56，得90＝e0.18x＋0.56，
又e4.499 8≈90，所以4.499 8≈0.18x＋0.56，
所以x≈eq \f(4.499 8－0.56,0.18)≈21.89，
所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元．x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
x
1
2
3
4
z
1
3
4
6
月份代码t
1
2
3
4
5
6
7
销售量y(万件)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2
eq \(u,\s\up6(－))
eq \(v,\s\up6(－))
20
66
77
2
460
4.20
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (ui－eq \(u,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (ui－eq \(u,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (vi－eq \(v,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(vi－eq \(v,\s\up6(－)))
31 250
215
3.08
14
一、选择题
1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于( )
A. 0.5 B. 2 C. 0 D. 1
D [相关系数|r|越接近于1，相关程度越高．故选D.]
2．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A．y＝a·xbB．y＝a＋bln x
C．y＝a·ebxD．y＝a·eeq \s\up12(eq \f(b,x))
B [由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合．]
3．若回归直线的斜率eq \(b,\s\up8(^))∈(0，＋∞)，则相关系数r的取值范围为( )
A．(0,1]B．[－1,0)
C．0D．无法确定
A [由相关系数与回归直线的斜率之间的关系可知相关系数的取值范围是0
A．－1B．0
C.eq \f(1,2)D．1
D [因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.]
5．已知变量y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，其一组数据如下表所示：
若x＝5，则预测y的值可能为( )
A．e5B．eeq \s\up12(eq \f(11,2))
C．e7D．eeq \s\up12(eq \f(15,2))
D [将式子两边取对数，得到ln eq \(y,\s\up6(^))＝bx－0.5，令z＝ln eq \(y,\s\up6(^))，得到z＝bx－0.5，列出x，z的取值对应的表格，
则eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1＋3＋4＋6,4)＝3.5，
∵(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(z,\s\up6(－)))满足z＝bx－0.5，∴3.5＝b×2.5－0.5，
解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，eq \(y,\s\up6(^))＝e1.6×5－0.5＝eeq \s\up12(eq \f(15,2))，故选D.]
二、填空题
6．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83，0.72，－0.90，则线性相关程度最强的一组是________．(填甲、乙、丙中的一个)
丙 [两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数|r|越接近于1，这个模型的两个变量线性相关程度就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中－0.90的绝对值最接近1，所以丙的线性相关程度最强．]
7．已知数据点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)在一条直线上，则相关系数r＝________.
±1 [由题易知，相关系数r＝±1.]
8．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像附近，令u＝ln y，则可通过转换得到的线性回归方程为________．
u＝1＋ln 3＋2x [由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1.
令u＝ln y，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2x.]
三、解答题
9．某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：
但其中数据污损不清，经查证eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))yi＝9.32，
eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))tiyi＝40.17，eq \r(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) yi－y2)＝0.55.
(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；
(2)求y关于t的回归方程(系数精确到0.01)；
(3)公司经营期间的广告宣传费xi＝eq \r(ti)(单位：万元)(i＝1,2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)
参考公式及数据：eq \r(7)≈2.646，相关系数
r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))，当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up8(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－)).
[解] (1)由题中的数据和附注中的参考数据得
eq \(t,\s\up6(－))＝4，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))2＝28，eq \r(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2)＝0.55，
eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))tiyi－eq \(t,\s\up6(－))eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1))yi
＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r＝eq \f(2.89,2\r(7)×0.55)≈0.99＞0.75，
所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系．
(2)由eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(9.32,7)≈1.331及(1)得
eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(2.89,28)≈0.103，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92，
所以y关于t的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.10t＋0.92，
(3)当t＝8时，代入回归方程得
eq \(y,\s\up6(^))＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)，
故第8个月的毛利润为
z＝10×1.72－eq \r(8)＝17.2－2×1.414＝14.372，
因为14.372＜15，
预测第8个月的毛利润不能突破15万元．
10．如图是某企业2014年至2020年的污水净化量(单位：吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程，预测2021年该企业的污水净化量．
参考数据：eq \(y,\s\up6(－))＝54，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－eq \(t,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝21，
eq \r(14)≈3.74，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝eq \f(9,4)，
参考公式：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))，
线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up8(^))t，eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－)).
[解] (1)由折线图中的数据得，
eq \(t,\s\up6(－))＝4，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (ti－t)2＝28，eq \(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝18，
所以r＝eq \f(21,\r(28×18))≈0.94.
因为y与t的相关系数近似为0.94，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)因为eq \(y,\s\up6(－))＝54，eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(7),\s\d6(i＝1)) ti－\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(21,28)＝eq \f(3,4)，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(t,\s\up6(－))＝54－eq \f(3,4)×4＝51，
所以y关于t的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up8(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))＝eq \f(3,4)t＋51，将2021年对应的t＝8代入上式，得
eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(3,4)×8＋51＝57，
所以预测2021年该企业污水净化量约为57吨．
11．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将y转化为t的线性回归方程，需做变换t＝( )
A．x2B．(x＋a)2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)D．以上都不对
C [y＝ax2＋bx＋c(a≠0)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4ac－b2,4a)，
根据线性回归方程是一次函数可知，令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)，
则y＝at＋eq \f(4ac－b2,4a)为t的线性回归方程，所以C正确．]
12．(多选题)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1：y＝0.68x＋eq \(a,\s\up6(^))，计算其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l2：y＝eq \(b,\s\up8(^))x＋0.68，相关系数为r2，以下结论中，正确的是( )
A．r1＞0，r2＞0B．r1＞r2
C.eq \(a,\s\up6(^))＝0.12D．0＜eq \(b,\s\up8(^))＜0.68
ACD [由图可知两变量呈现正相关，故
r1>0，r2>0，且r1
e4 [∵y＝cekx，∴两边取对数，
可得ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，
令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx，
∵z＝0.3x＋4，∴ln c＝4，∴c＝e4.故答案为e4.]
14．已知第一组样本点为(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8)，(－2，－3.3)，(－1，－0.9)，其变量间的相关系数为r1；第二组样本点为(1,8.9)，(2,7.2)，(3,4.8)，(4，3.3)，(5,0.9)其变量间的相关系数为r2.则r1，r2的大小关系为________．
r1＞r2 [由第1组数据可知，两变量间成正相关，故r1＞0，由第2组数据可知，两变量间成负相关，故r2＜0，故r1＞0＞r2.]
15．某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令ui＝xeq \\al(2,i)，vi＝ln yi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？
附：①相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))，
回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up8(^))x中公式分别为：eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up8(^))eq \(x,\s\up6(－))；
②参考数据：308＝4×77，eq \r(90)≈9.486 8，e4.499 8≈90.
[解] (1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，由题意，
r1＝eq \f(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) ui－\(u,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) ui－\(u,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) yi－\(y,\s\up6(－))2))＝eq \f(215,\r(31 250×2))＝eq \f(43,50)＝0.86，
r2＝eq \f(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))vi－\(v,\s\up6(－)),\r(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) vi－\(v,\s\up6(－))2))＝eq \f(14,\r(77×3.08))＝eq \f(10,11)≈0.91，
则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．
(2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程，
由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
由于λ＝eq \f(\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))vi－\(v,\s\up6(－)),\(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(2,11)≈0.182，
t＝eq \(v,\s\up6(－))－λeq \(x,\s\up6(－))＝4.20－eq \f(2,11)×20≈0.56，
所以v关于x的线性回归方程为eq \(v,\s\up6(^))＝0.18x＋0.56，
所以ln eq \(y,\s\up6(^))＝0.18x＋0.56，则eq \(y,\s\up6(^))＝e0.18x＋0.56.
(ⅱ)下一年销售额y需达到90亿元，
即y＝90，代入eq \(y,\s\up6(^))＝e0.18x＋0.56，得90＝e0.18x＋0.56，
又e4.499 8≈90，所以4.499 8≈0.18x＋0.56，
所以x≈eq \f(4.499 8－0.56,0.18)≈21.89，
所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元．x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
x
1
2
3
4
z
1
3
4
6
月份代码t
1
2
3
4
5
6
7
销售量y(万件)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2
eq \(u,\s\up6(－))
eq \(v,\s\up6(－))
20
66
77
2
460
4.20
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (ui－eq \(u,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (ui－eq \(u,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (vi－eq \(v,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up8(12),\s\d6(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(vi－eq \(v,\s\up6(－)))
31 250
215
3.08
14
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