数学选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数课时训练

这是一份数学选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数课时训练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4 B．8
C．28D．64
C [由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq \\al(2,8)＝28条公路．]
3．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20B．9
C．Ceq \\al(3,9)D．Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4)
B [分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定Ceq \\al(1,4)个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定Ceq \\al(1,5)个平面．故可确定Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(1,5)＝9个不同的平面．]
4．组合数Ceq \\al(r,n)(n>r≥1，n，r∈N)恒等于( )
A.eq \f(r＋1,n＋1)Ceq \\al(r－1,n－1)B．(n＋1)(r＋1)Ceq \\al(r－1,n－1)
C．nrCeq \\al(r－1,n－1) D.eq \f(n,r)Ceq \\al(r－1,n－1)
D [eq \f(n,r)Ceq \\al(r－1,n－1)＝eq \f(n,r)·eq \f(n－1！,r－1！n－r！)＝eq \f(n！,r！n－r！)＝Ceq \\al(r,n).]
5．将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
B [由题意，不同的放法共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)＝3×eq \f(4×3,2)＝18种．]
二、填空题
6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．
10 [从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有Ceq \\al(3,5)＝10个子集．]
7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有Ceq \\al(4,10)＝210种分法．]
8．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为Ceq \\al(2,3)＝eq \f(3×2,2)＝3.]
三、解答题
9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有Ceq \\al(3,6)＝eq \f(6×5×4,3×2×1)＝20个．
10．(1)求式子eq \f(1,C\\al(x,5))－eq \f(1,C\\al(x,6))＝eq \f(7,10C\\al(x,7))中的x；
(2)解不等式Ceq \\al(m－1,8)>3Ceq \\al(m,8).
[解] (1)原式可化为：eq \f(x！5－x！,5！)－eq \f(x！6－x！,6！)＝eq \f(7·x！7－x！,10·7！)，∴x2－23x＋42＝0，
∵0≤x≤5，
∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．
(2)由eq \f(8！,m－1！9－m！)>eq \f(3×8！,m！8－m！)，
得eq \f(1,9－m)>eq \f(3,m)，∴m>27－3m，
∴m>eq \f(27,4)＝7－eq \f(1,4).
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，
即1≤m≤8，∴m＝7或8.
11．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )
A．36个 B．72个
C．63个D．126个
D [此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为Ceq \\al(4,9)＝126个．]
12．(多选题)Ceq \\al(x＋1,10)＋Ceq \\al(17－x,10)的值是( )
A．7 B. 9
C．20 D．46
CD [∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≤10,17－x≤10,x＋1≥0,17－x≥0))，∴7≤x≤9，
又x∈N，∴x＝7,8,9.
当x＝7时，Ceq \\al(8,10)＋Ceq \\al(10,10)＝46；当x＝8时，Ceq \\al(9,10)＋Ceq \\al(9,10)＝20；
当x＝9时，Ceq \\al(10,10)＋Ceq \\al(8,10)＝46.]
13．(一题两空)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成______条线段；如果是有向线段，共有______条．
10 20 [从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有Ceq \\al(2,5)＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是Aeq \\al(2,5)＝20.所以有向线段共有20条．]
14．对所有满足1≤m6 [∵1≤m15．如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有多少种？
[解] 分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有Ceq \\al(3,6)＝20种；第三步D→B最近走法有2种，
故由A→B最近走法有2×20×2＝80种．