人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆图片课件ppt

椭圆的性质

要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较

   椭圆 与 的区别和联系：

要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

要点二、椭圆的简单几何性质

椭圆的离心率

离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）

当越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；

当越接近0时，c越接近0，椭圆越接近圆；

当且仅当a=b时，图形为圆，方程为

如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F，设椭圆的离心率为e，则①e=；②e=；③e=；

④e=； ⑤e=

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④

∵｜AO｜=a，｜OF｜=c，∴有⑤；

∵｜AO｜=a，｜BO｜= ， ∴有③

要点诠释：

1.椭圆焦半径：

椭圆焦点在x轴上的焦半径：（左焦半径），（右焦半径），是离心率

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）

2.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：

3.有相同离心率：（，焦点在x轴上）或（，焦点在x轴上）

4.椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），，；

（3）,，；

要点三、直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

直线与椭圆的相交弦

直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：

         弦长

           弦长

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

；  

（2）结论1：已知弦AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，则AB的斜率为－

运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)；A、B都在椭圆上，∴

两式相减得：＋＝0，∴＋＝0，

即 ＝－＝－  ，故kAB＝－  

结论2：弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值：

结论3：若C、D是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，P为椭圆上不同于C、D的点，则

（3）椭圆切线的求法

1）切点（）已知时，  切线

                         切线

2）切线斜率k已知时，     切线

                         切线

（4）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，

．求：的面积（用、、表示）．

解：设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．

由余弦定理知：  ·   ①

由椭圆定义知：    ②，则得       

故   

【典型例题】

类型一：椭圆的简单几何性质

例1.  已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，

若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。

【解析】  椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，

所以|OF|=c，，，

所以c=2，b2=32－22=5，

故椭圆的方程为或。

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．

过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______

【答案】。

类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围

例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；

（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。

【解析】 （1）由题意得，即，解得。

（2）由题意得，解得，故离心率。

举一反三：

【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（   　）

【答案】D

【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为        

【答案】

例3. 设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。

【解析】 在△MF1F2中，由正弦定理得：

，即，

∴，

∴。

举一反三：

【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于          

【答案】

【变式2】已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，则C的离心率为（    ）

A.           B.          C.           D.

【答案】 B【解析】如图所示，在ΔAFB中，|AB|=10，|BF|=8，

由余弦定理得：

，设为椭圆的右焦点，连接根据对称性可得四边形是矩形，，，解得a=7,c=5.

例4．已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。

【答案】

举一反三：

【变式1】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。

【答案】由已知，，所以，

即，不等式两边同除可得，

解不等式得或.

由椭圆的离心率，所以所求椭圆离心率.

【变式2】已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（       ）

A．      B．      C．      D．

【答案】选B，∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，

过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（－c，0），F2（c，0），，，

∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，

∴，整理，得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e－1＞0，

解得，或，（舍），∵0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是。

【变式3】已知F1（-c,0）, F2（c,0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，因此椭圆离心率的取值范围是（      ）

A.        B.         C.       D.

 答案：C 解析：设P（m,n）,,

①，把P（m,n）代入椭圆得②，

把①代入②得，，

又，故.

类型三：直线与椭圆的位置关系

例6. 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

 解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得：

．由韦达定理得．

∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．

解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得：

，①－②得．                ⑤

将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．

【巩固练习】

一、选择题

1．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为12，离心率为，则椭圆的方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

1．答案：D

2．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（    ）

A．（0，5）    B．（0，1）    C．[1，5]    D．[1，5）

2．答案：D解析：  直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。

3．已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（      ）

A．    B．    C．    D．

3．答案：A解析：由题意可设F（―c，0），A（―a，0），B（a，0），

令x=―c，代入椭圆方程可得，可得，

设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=―c，可得M（―c，k（a―c）），令x=0，可得E（0，ka），

设OE的中点为H，可得，由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，

即为，化简可得，即为a=3c，可得。

4．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)

A．      B．      C．      D．

4．答案： D解析：设Q，由题意得P、Q两点间的最大距离等于圆心(0,6)到椭圆上Q的最大距离再加上圆的半径，而圆心(0,6)到椭圆上Q点的距离

.

所以P、Q两点间的最大距离等于

二、填空题

5．椭圆的离心率为，则m=________.

5．（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，∴，∴，得m=3

（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，∴，得；综上，m=3或

6．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.

6．答案：[2，3] 解析：圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]

7．已知椭圆C的焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，

则椭圆C的标准方程为             

7．解析：由题设椭圆C的标准方程为，由已知得

∴，，∴椭圆的方程为

8.在椭圆上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若，

则的最小值为________．

8.解析：M在椭圆，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），

则，

由K（2，0），可得：

当时，取得最小值

三、解答题

9．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值.

9. 解析：方程变形为．

因为焦点在轴上，所以，解得．

又，所以，适合．故．

10.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.

 10．解析：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.

又e==，∴a=2.故b=1.

∴椭圆的方程为+x2=1.

11．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

11. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式．

因为，，所以．

又因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，

从而直线方程为：．

由直线方程与椭圆方程联立得：．

设，为方程两根，

所以，，，

从而．

12．已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．

12. 解析：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，

由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：

     ·．①

由椭圆定义知：            ②

则得：   ．

故 ．

13．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为．

(I)求E的离心率e；

(Ⅱ)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

13. 解：(Ⅰ)由题设条件知，点M的坐标为，

又，从而．

进而得

(Ⅱ)由题设条件和(Ⅰ)的计算结果可得，直线AB的方程为，

点N的坐标为

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，

则线段NS的中点T的坐标为

又点T在直线AB上，且．

从而有

解得b＝3．

所以．故椭圆E的方程为．