2020-2021学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷（word解析版）

这是一份2020-2021学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷（word解析版），共25页。

2020-2021学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷
一.选择题（下列各题的四个备选答案中，其中有一个答案是正确的，请将正确答案的序号填在下表相应的空格内。每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各代数式，x2y，﹣，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）使分式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m≠3 C．m≠3且m≠1 D．m＝1
3．（3分）一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
4．（3分）具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
5．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．a2•a3＝a6 D．（2a3）2＝4a6
6．（3分）如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
7．（3分）下列代数式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+y）（x+y） B．（2x﹣y）（y+2x）
C． D．（﹣x+y）（y﹣x）
8．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．100°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）自然界中，花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000042毫克，0.000042用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）计算：﹣32021×（﹣）2020＝　 　．
13．（3分）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是　 　．
14．（3分）已知关于x的分式方程﹣3＝的的解为正数，则k的取值范围为　 　．
15．（3分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为　 　cm．

16．（3分）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　 　．

17．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为13，△ABC的周长是19，若∠ACD＝60°，则AD＝　 　．

18．（3分）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为　 　．

三.解答题（19题每小题10分，20题小每题6分，21题12分，共34分）
19．（10分）（1）（x+2）（2x﹣1）；
（2）（15x3y5﹣10x4y4﹣20x3y2）÷（﹣5x3y2）．
20．（12分）解下列分式方程
（1）＝1．
（2）．
21．（12分）化简并计算：，其中x＝3．
四.解答题（每小题12分，共24分）
22．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，1）．
（1）请作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标，A1　 　B1　 　C1　 　．
（3）P为y轴上一点，在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．

23．（12分）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E在BD的延长线上，连接AE，∠BAE＝∠BEA，连接CE．
求证：
（1）△ABD≌△EBC；
（2）∠BCE+∠BCD＝180°．

五.解答题（本题12分）
24．（12分）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
六.解答题（本题12分）
25．（12分）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．

所以＝＝﹣＝3x+1﹣．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
七.解答题（本题14分）
26．（14分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．


2020-2021学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（下列各题的四个备选答案中，其中有一个答案是正确的，请将正确答案的序号填在下表相应的空格内。每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各代数式，x2y，﹣，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用分式定义解答即可．
【解答】解：代数式，是分式，共2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2．（3分）使分式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m≠3 C．m≠3且m≠1 D．m＝1
【分析】利用分式有意义的条件可得m﹣3≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：m﹣3≠0，
解得：m≠3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．（3分）一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
【分析】利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷18°＝20，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．
4．（3分）具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．
【解答】解：A、由∠A+∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
B、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
C、由∠A＝2∠B＝3∠C，推出∠A＝（）°，△ABC是钝角三角形，本选项符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：3：4，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
5．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．a2•a3＝a6 D．（2a3）2＝4a6
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
【分析】根据完全平方式的特点得出（m﹣1）x＝±2•x•3，再求出即可．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2•x•3，
∴m﹣1＝±6，
∴m＝﹣5或7，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
7．（3分）下列代数式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+y）（x+y） B．（2x﹣y）（y+2x）
C． D．（﹣x+y）（y﹣x）
【分析】平方差公式为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即一个数与另一个数的和乘以这个数与另一个数的差，等于相同数字的平方减去相反数字的平方．据此分析即可．
【解答】解：A、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；
B、两个括号内的相同数字是2x，相反数字是（﹣y）与y，故可用平方差公式计算，该选项符合题意；
C、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；
D、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了对平方差公式的识别，掌握平方差公式的实质是解题的关键．
8．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．100°
【分析】首先证明△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠BAC，再根据余角的定义可得∠BAC+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解答】解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二.填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）自然界中，花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000042毫克，0.000042用科学记数法表示为　4.2×10﹣5　．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000042＝4.2×10﹣5．
故答案为：4.2×10﹣5．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）计算：﹣32021×（﹣）2020＝　﹣3　．
【分析】首先变成同指数幂，再利用积的乘方的运算性质进行计算即可．
【解答】解：﹣32021×（﹣）2020
＝﹣32020×3×（﹣）2020
＝﹣[3×（﹣）]2020×3
＝﹣1×3
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握（ab）n＝anbn（n是正整数）．
13．（3分）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是　a（x﹣2）2　．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（3分）已知关于x的分式方程﹣3＝的的解为正数，则k的取值范围为　k＜且k　．
【分析】先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可．
【解答】解：去分母，得x﹣3（x﹣1）＝2k，
解得x＝．
∵分式方程的解为正数，
∴＞0且≠1．
解得，k＜且k．
故答案为：k＜且k．
【点评】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件．
15．（3分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为　30　cm．

【分析】利用中线定义可得BD＝CD，进而可得AD+DC＝AD+BD，然后再求△ABD的周长即可．
【解答】解：∵△ACD的周长为27cm，
∴AC+DC+AD＝27cm，
∵AC＝9cm，
∴AD+CD＝18cm，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝18cm，
∵AB＝12cm，
∴AB+AD+BD＝30cm，
∴△ABD的周长为30cm，
故答案为：30，
【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线定义．
16．（3分）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　65°　．

【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出∠FDA＝∠FAD是解此题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为13，△ABC的周长是19，若∠ACD＝60°，则AD＝　6　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等边三角形的性质得到AD＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵∠ACD＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD＝AC，
∵△ABC的周长是19，
∴AB+BC+AC＝19，
∵△BCD的周长为13，
∴BD+DC+BC＝BD+DA+BC＝AB+BC＝13，
∴AC＝19﹣13＝6，
∴AD＝AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（3分）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为　　．

【分析】根据等边三角形的性质分别求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的边长即可解决问题．
【解答】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C2＝CD＝OC＝，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2020C2021的长分别为1，，，，…，，
OC2021＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2020C2021＝1++++…+＝，
∴等边△A2021C2020C2021顶点A2021的横坐标＝﹣×＝，
∴等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为（+）×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是An点的横坐标变化规律．
三.解答题（19题每小题10分，20题小每题6分，21题12分，共34分）
19．（10分）（1）（x+2）（2x﹣1）；
（2）（15x3y5﹣10x4y4﹣20x3y2）÷（﹣5x3y2）．
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（x+2）（2x﹣1）
＝2x2﹣x+4x﹣2
＝2x2+3x﹣2；

（2）（15x3y5﹣10x4y4﹣20x3y2）÷（﹣5x3y2）
＝15x3y5÷（﹣5x3y2）﹣10x4y4÷（﹣5x3y2）﹣20x3y2÷（﹣5x3y2）
＝﹣3y3+2xy2+4．
【点评】此题主要考查了整式的除法以及多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（12分）解下列分式方程
（1）＝1．
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣a＝a﹣1，
解得：a＝1，
经检验a＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：2x﹣1﹣6＝1，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（12分）化简并计算：，其中x＝3．
【分析】先把分子分母因式分解，约分后进行同分母的减法运算得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
四.解答题（每小题12分，共24分）
22．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，1）．
（1）请作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标，A1　（1，4）　B1　（2，1）　C1　（4，1）　．
（3）P为y轴上一点，在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据所作图形可得答案；
（3）连接AB1，与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）由图知，A1（1，4），B1（2，1），C1（4，1），
故答案为：（1，4），（2，1），（4，1）；

（3）如图所示，点P即为所求，其坐标为（0，3）．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
23．（12分）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E在BD的延长线上，连接AE，∠BAE＝∠BEA，连接CE．
求证：
（1）△ABD≌△EBC；
（2）∠BCE+∠BCD＝180°．

【分析】（1）先由等角对等边得BA＝BE，再由角平分线定义得∠ABD＝∠EBC，然后由SAS即可得出△ABD≌△EBC；
（2）由全等三角形的性质得∠ADB＝∠BCE，由等腰三角形的性质得∠BDC＝∠BCD，再由平角定义∠ADB+∠BDC＝180°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS）；
（2）由（1）得：△ABD≌△EBC，
∴∠ADB＝∠BCE，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
又∵∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠BCE+∠BCD＝180°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
五.解答题（本题12分）
24．（12分）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【分析】（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，根据用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，根据总利润＝每个的利润×销售数量（购进数量）结合这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝1.8，
经检验，x＝1.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.7＝2.5，
答：A品牌口罩每个进价为1.8元，B品牌口罩每个进价为2.5元．
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，
依题意，得：（2﹣1.8）（6000﹣m）+（3﹣2.5）m≥1800，
解得：m≥2000．
答：最少购进B品牌口罩2000个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
六.解答题（本题12分）
25．（12分）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．

所以＝＝﹣＝3x+1﹣．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
【分析】（1）根据材料中提供的方法，将2x2+3x+6转化为2x2+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将转化为，从而得出答案；
（2）根据（1）的方法可得＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣，然后用含有x的代数式表示m、n，代入m2+n2+mn后，写成m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，进而求出最小值．
【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．
因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝2x+5+；
（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝5x﹣1﹣，
所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，
因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
所以m＝x+2，n＝﹣x+4，
所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，
所以m2+n2+mn的最小值为27．
【点评】本题考查分式的加减法，理解题目中所提供的求解方法是解决问题的关键．
七.解答题（本题14分）
26．（14分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　AP＝2PM　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案为：AP＝2PM；
②解：①中的结论成立，
理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．

【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．