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2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区八年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区八年级（上）期末数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．2，2，5D．2，3，5
3．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．62°
C．42°D．76°、62°或42°都可以
4．（3分）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS[来源:学*科*网Z*X*X*K]
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3=6a6B．3x2•2x3=6x5C．3x2•2x2=6x2D．3y2•2y5=6y10
6．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
7．（3分）已知点P与点Q关于x轴对称，若点P的坐标为（2，﹣1），则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
8．（3分）若ab=a﹣b≠0，则分式与下面选项相等的是（ ）
A．B．a﹣bC．1D．﹣1
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）2﹣3= ．
10．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是 ．
11．（3分）五边形的内角和为 ．
12．（3分）因式分解：2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）= ．
13．（3分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是 海里．
14．（3分）某公司生产了台数相同A型、B型两种单价不同的计算机，B型机的单价比A型机的便宜0.24万元，已知A型机总价值120万元，B型计算机总价值为80万元，求A型、B型两种计算机的单价，设A型计算机的单价是x万元，可列方程 ．[来源:]
15．（3分）如果a+b=5，ab=﹣3，那么a2+b2的值是 ．
16．（3分）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是 ．[来源:Z。xx。k.Cm]
三、解答题（本题共4小题，第17、18、19题各9分，第20题12分，共39分）
17．（9分）计算：
（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）
（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）
18．（9分）计算：
（1）；
（2）4ay2z÷（﹣2y3z﹣1）
19．（9分）解方程：．
20．（12分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；
（2）AB∥DE．
四、解答题（本题共3小题，第21、22各9分，第23题10分，共28分）
21．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
22．（9分）阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程有整数解，求整数m的值．
23．（10分）近年来，随着我国的科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，一般的高铁包括G字头的高速动车组以及D字头的动车组．由大连到北京的G377的平均速度是D31的平均速度的1.2倍，行驶相同的路程1500千米，G377少用1个小时．
（1）求D31的平均速度．
（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段D31票价为266元/张，G377票价为400元/张，如果你有机会给有关部门提一个合理化建议，使G377的性价比达到D31的性价比，你如何建议，为什么？
五、解答题（本题共3小题，第24题11分，第25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
25．（12分）某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值．
26．（12分）如图1，在直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B，点C在x轴上，点C在点B的右侧，OA=2OB=2BC=2．
（1）点C的坐标是 ；
（2）点P是x轴上一点，点P到AC的距离等于AC的长度，求点P的坐标；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（3）如图2，点D是AC上一点，∠CBD=∠ABO，连接OD，在AB上是否存在一点Q，使QB=AB﹣OD，若存在，求点Q与点D的横坐标之和，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．2，2，5D．2，3，5
【解答】解：A、1+1=2，不能构成三角形，故A错误；
B、1+2＞2，能构成三角形，故B正确；
C、2+2＜5，不能构成三角形，故C错误；
D、2+3=5，不能构成三角形，故D错误．
故选：B．
3．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．62°
C．42°D．76°、62°或42°都可以
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠1=62°，
故选：B．
4．（3分）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3=6a6B．3x2•2x3=6x5C．3x2•2x2=6x2D．3y2•2y5=6y10
【解答】解：A、3a2•2a3=6a5，故此选项错误；
B、3x2•2x3=6x5，正确；
C、3x2•2x2=6x4，故此选项错误；
D、3y2•2y5=6y7，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
7．（3分）已知点P与点Q关于x轴对称，若点P的坐标为（2，﹣1），则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【解答】解：∵点P与点Q关于x轴对称，点P的坐标为（2，﹣1），
∴点Q的坐标是（2，1）．
故选：B．
8．（3分）若ab=a﹣b≠0，则分式与下面选项相等的是（ ）
A．B．a﹣bC．1D．﹣1
【解答】解：∵ab=a﹣b≠0
∴﹣==﹣=﹣1，
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）2﹣3= ．
【解答】解：2﹣3=．
故应填：．
10．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是 9.2×10﹣4 ．
【解答】解：0.00092=9.2×10﹣4，
故答案为：9.2×10﹣4．
11．（3分）五边形的内角和为 540° ．
【解答】解：（5﹣2）•180°=540°．
故答案为：540°．
12．（3分）因式分解：2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）= 2（b﹣c）（x﹣2y） ．
【解答】解：2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）
=2（b﹣c）（x﹣2y）．
故答案为：2（b﹣c）（x﹣2y）．
13．（3分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是 30 海里．
【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，
所以△ABC是直角三角形，
∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，
∴AC=60海里，
∴BC==30（海里）
故答案为：30
14．（3分）某公司生产了台数相同A型、B型两种单价不同的计算机，B型机的单价比A型机的便宜0.24万元，已知A型机总价值120万元，B型计算机总价值为80万元，求A型、B型两种计算机的单价，设A型计算机的单价是x万元，可列方程 ．
【解答】解：设A型计算机的单价是x万元，根据题意可得：，
故答案为：，
15．（3分）如果a+b=5，ab=﹣3，那么a2+b2的值是 31 ．
【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2
∴25=a2+b2﹣6
∴a2+b2=31
故答案为：31
16．（3分）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是 2 ．
【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点Q，与OB交于点R，此时△PQR的周长最小．
从图上可看出△PQR的周长就是P1P2的长，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=60°．
∵OP1=OP2，
∴△OP1P2是等边三角形．
∴P1P2=OP1=OP=2．
∴△PQR周长的最小值是2．
即PQ+QR+RP的最小值是2
故答案为：2．
三、解答题（本题共4小题，第17、18、19题各9分，第20题12分，共39分）
17．（9分）计算：
（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）
（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）
【解答】解：（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）
=2x2+2xy﹣3xy﹣3y
=2x2﹣xy﹣3y；
（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）
=a2﹣2a+1+a2﹣1
=2a2﹣2a．
18．（9分）计算：
（1）；
（2）4ay2z÷（﹣2y3z﹣1）
【解答】解：（1）
=﹣
=；
（2）4ay2z÷（﹣2y3z﹣1）
=﹣2ay﹣1z2
=．
19．（9分）解方程：．
【解答】解：两边乘（x﹣1）（x+3）得到：3（x+3）=x﹣1
3x+9=x﹣1
x=﹣5
经检验：x=﹣5是分式方程的解．
20．（12分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；
（2）AB∥DE．
【解答】证明：
（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD=BF，
∴CF+BF=CF+CD，即BC=DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，
∴∠B=∠D，
∴AB∥DE．
四、解答题（本题共3小题，第21、22各9分，第23题10分，共28分）
21．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
【解答】解：（1）点D如图所示；
（2）∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD=DC，
∴△CDB的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
∵AB+AC+BC=21，BC=5，
∴AB=AC=8，
∴△CDB的周长为13．
22．（9分）阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程有整数解，求整数m的值．
【解答】解：（1）小强的说法对，理由如下：
解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2，
因为解是正数，可得a﹣2＞0，即a＞2，
同时a﹣2≠1，即a≠3，
则a的范围是a＞2且a≠3；
（2）去分母得：mx﹣1﹣1=2x﹣4，
整理得：（m﹣2）x=﹣2，
当m≠2时，解得：x=﹣，
由方程有整数解，得到m﹣2=±1，m﹣2=±2，
解得：m=3，4，0．
23．（10分）近年来，随着我国的科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，一般的高铁包括G字头的高速动车组以及D字头的动车组．由大连到北京的G377的平均速度是D31的平均速度的1.2倍，行驶相同的路程1500千米，G377少用1个小时．
（1）求D31的平均速度．
（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段D31票价为266元/张，G377票价为400元/张，如果你有机会给有关部门提一个合理化建议，使G377的性价比达到D31的性价比，你如何建议，为什么？
【解答】解：（1）设D31的平均速度为x千米/时，则G377的平均速度为1.2x千米/时．
由题意：﹣=1，
解得x=250．
经检验：x=250，是分式方程的解．
答：D31的平均速度250千米/时．
（2）G377的性价比==0.75
D31的性价比==0.94，
∵0.94＞0.75
∴为了G377的性价比达到D31的性价比，建议降低G377票价．
五、解答题（本题共3小题，第24题11分，第25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
25．（12分）某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值．
【解答】解：（1）x÷[1÷（+）]
=x÷[1÷]
=x÷
=．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的倍；
（2）由题意得x=①，y=②，z=③．
由①得a=+，
∴a+1=++1，
∴==；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
同理，由②得=；
由③得=；
∴=++==1．
26．（12分）如图1，在直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B，点C在x轴上，点C在点B的右侧，OA=2OB=2BC=2．
（1）点C的坐标是 （2，0） ；
（2）点P是x轴上一点，点P到AC的距离等于AC的长度，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是AC上一点，∠CBD=∠ABO，连接OD，在AB上是否存在一点Q，使QB=AB﹣OD，若存在，求点Q与点D的横坐标之和，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵2OB=2BC=2，
∴OB=BC=1，
∴OC=OB+BC=2，
∴C（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图1，
∵OA=2，
∴A（0，2），
∵C（2，0），
∴AC=2
过点P作PD⊥AC于D，
∵点P到AC的距离等于AC的长度，
∴DP=AC=2，
∵∠PDC=∠AOC，∠PCD=∠ACO，
∴△PCD∽△ACO，
∴，
∴，
∴PC=4，
∴OP=PC+OC=4+2=6，
∴P（6，0）或OP=PC﹣OC=4﹣2=2，
∴P（﹣2，0），
即：P（﹣2，0）或（6，0）；
（3）存在．理由：如图2，
延长DB交y轴点E，
∴∠DBC=∠OBE，
∵∠DBC=∠ABO，
∴∠OBC=∠OBA，
∵OB⊥AE，
∴OE=OA=2，
∴E（0，﹣2），
∵OB=1，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y=2x﹣2①，
∵A（0，2），C（2，0），
∴直线AC的解析式为y=﹣x+2②，
联立①②解得，x=，y=，
∴D（，），
∴OD=，
∵A（0，2），B（1，0），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
设点Q（m，﹣2m+2），
∵B（1，0），
∴BQ==|m﹣1|
∵A（0，2），B（1，0），
∴AB=，
∵QB=AB﹣OD，
∴|m﹣1|=﹣=，
∴m=或m=，
∴Q（，）或（，﹣），
∴点Q与点D的横坐标之和为+=2或+=．
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．2，2，5D．2，3，5
3．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．62°
C．42°D．76°、62°或42°都可以
4．（3分）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS[来源:学*科*网Z*X*X*K]
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3=6a6B．3x2•2x3=6x5C．3x2•2x2=6x2D．3y2•2y5=6y10
6．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
7．（3分）已知点P与点Q关于x轴对称，若点P的坐标为（2，﹣1），则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
8．（3分）若ab=a﹣b≠0，则分式与下面选项相等的是（ ）
A．B．a﹣bC．1D．﹣1
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）2﹣3= ．
10．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是 ．
11．（3分）五边形的内角和为 ．
12．（3分）因式分解：2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）= ．
13．（3分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是 海里．
14．（3分）某公司生产了台数相同A型、B型两种单价不同的计算机，B型机的单价比A型机的便宜0.24万元，已知A型机总价值120万元，B型计算机总价值为80万元，求A型、B型两种计算机的单价，设A型计算机的单价是x万元，可列方程 ．[来源:]
15．（3分）如果a+b=5，ab=﹣3，那么a2+b2的值是 ．
16．（3分）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是 ．[来源:Z。xx。k.Cm]
三、解答题（本题共4小题，第17、18、19题各9分，第20题12分，共39分）
17．（9分）计算：
（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）
（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）
18．（9分）计算：
（1）；
（2）4ay2z÷（﹣2y3z﹣1）
19．（9分）解方程：．
20．（12分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；
（2）AB∥DE．
四、解答题（本题共3小题，第21、22各9分，第23题10分，共28分）
21．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
22．（9分）阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程有整数解，求整数m的值．
23．（10分）近年来，随着我国的科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，一般的高铁包括G字头的高速动车组以及D字头的动车组．由大连到北京的G377的平均速度是D31的平均速度的1.2倍，行驶相同的路程1500千米，G377少用1个小时．
（1）求D31的平均速度．
（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段D31票价为266元/张，G377票价为400元/张，如果你有机会给有关部门提一个合理化建议，使G377的性价比达到D31的性价比，你如何建议，为什么？
五、解答题（本题共3小题，第24题11分，第25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
25．（12分）某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值．
26．（12分）如图1，在直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B，点C在x轴上，点C在点B的右侧，OA=2OB=2BC=2．
（1）点C的坐标是 ；
（2）点P是x轴上一点，点P到AC的距离等于AC的长度，求点P的坐标；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（3）如图2，点D是AC上一点，∠CBD=∠ABO，连接OD，在AB上是否存在一点Q，使QB=AB﹣OD，若存在，求点Q与点D的横坐标之和，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．2，2，5D．2，3，5
【解答】解：A、1+1=2，不能构成三角形，故A错误；
B、1+2＞2，能构成三角形，故B正确；
C、2+2＜5，不能构成三角形，故C错误；
D、2+3=5，不能构成三角形，故D错误．
故选：B．
3．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．62°
C．42°D．76°、62°或42°都可以
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠1=62°，
故选：B．
4．（3分）如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3=6a6B．3x2•2x3=6x5C．3x2•2x2=6x2D．3y2•2y5=6y10
【解答】解：A、3a2•2a3=6a5，故此选项错误；
B、3x2•2x3=6x5，正确；
C、3x2•2x2=6x4，故此选项错误；
D、3y2•2y5=6y7，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
7．（3分）已知点P与点Q关于x轴对称，若点P的坐标为（2，﹣1），则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【解答】解：∵点P与点Q关于x轴对称，点P的坐标为（2，﹣1），
∴点Q的坐标是（2，1）．
故选：B．
8．（3分）若ab=a﹣b≠0，则分式与下面选项相等的是（ ）
A．B．a﹣bC．1D．﹣1
【解答】解：∵ab=a﹣b≠0
∴﹣==﹣=﹣1，
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）2﹣3= ．
【解答】解：2﹣3=．
故应填：．
10．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是 9.2×10﹣4 ．
【解答】解：0.00092=9.2×10﹣4，
故答案为：9.2×10﹣4．
11．（3分）五边形的内角和为 540° ．
【解答】解：（5﹣2）•180°=540°．
故答案为：540°．
12．（3分）因式分解：2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）= 2（b﹣c）（x﹣2y） ．
【解答】解：2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）
=2（b﹣c）（x﹣2y）．
故答案为：2（b﹣c）（x﹣2y）．
13．（3分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是 30 海里．
【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，
所以△ABC是直角三角形，
∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，
∴AC=60海里，
∴BC==30（海里）
故答案为：30
14．（3分）某公司生产了台数相同A型、B型两种单价不同的计算机，B型机的单价比A型机的便宜0.24万元，已知A型机总价值120万元，B型计算机总价值为80万元，求A型、B型两种计算机的单价，设A型计算机的单价是x万元，可列方程 ．
【解答】解：设A型计算机的单价是x万元，根据题意可得：，
故答案为：，
15．（3分）如果a+b=5，ab=﹣3，那么a2+b2的值是 31 ．
【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2
∴25=a2+b2﹣6
∴a2+b2=31
故答案为：31
16．（3分）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是 2 ．
【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点Q，与OB交于点R，此时△PQR的周长最小．
从图上可看出△PQR的周长就是P1P2的长，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=60°．
∵OP1=OP2，
∴△OP1P2是等边三角形．
∴P1P2=OP1=OP=2．
∴△PQR周长的最小值是2．
即PQ+QR+RP的最小值是2
故答案为：2．
三、解答题（本题共4小题，第17、18、19题各9分，第20题12分，共39分）
17．（9分）计算：
（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）
（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）
【解答】解：（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）
=2x2+2xy﹣3xy﹣3y
=2x2﹣xy﹣3y；
（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）
=a2﹣2a+1+a2﹣1
=2a2﹣2a．
18．（9分）计算：
（1）；
（2）4ay2z÷（﹣2y3z﹣1）
【解答】解：（1）
=﹣
=；
（2）4ay2z÷（﹣2y3z﹣1）
=﹣2ay﹣1z2
=．
19．（9分）解方程：．
【解答】解：两边乘（x﹣1）（x+3）得到：3（x+3）=x﹣1
3x+9=x﹣1
x=﹣5
经检验：x=﹣5是分式方程的解．
20．（12分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；
（2）AB∥DE．
【解答】证明：
（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD=BF，
∴CF+BF=CF+CD，即BC=DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，
∴∠B=∠D，
∴AB∥DE．
四、解答题（本题共3小题，第21、22各9分，第23题10分，共28分）
21．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
【解答】解：（1）点D如图所示；
（2）∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD=DC，
∴△CDB的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
∵AB+AC+BC=21，BC=5，
∴AB=AC=8，
∴△CDB的周长为13．
22．（9分）阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程有整数解，求整数m的值．
【解答】解：（1）小强的说法对，理由如下：
解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2，
因为解是正数，可得a﹣2＞0，即a＞2，
同时a﹣2≠1，即a≠3，
则a的范围是a＞2且a≠3；
（2）去分母得：mx﹣1﹣1=2x﹣4，
整理得：（m﹣2）x=﹣2，
当m≠2时，解得：x=﹣，
由方程有整数解，得到m﹣2=±1，m﹣2=±2，
解得：m=3，4，0．
23．（10分）近年来，随着我国的科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，一般的高铁包括G字头的高速动车组以及D字头的动车组．由大连到北京的G377的平均速度是D31的平均速度的1.2倍，行驶相同的路程1500千米，G377少用1个小时．
（1）求D31的平均速度．
（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段D31票价为266元/张，G377票价为400元/张，如果你有机会给有关部门提一个合理化建议，使G377的性价比达到D31的性价比，你如何建议，为什么？
【解答】解：（1）设D31的平均速度为x千米/时，则G377的平均速度为1.2x千米/时．
由题意：﹣=1，
解得x=250．
经检验：x=250，是分式方程的解．
答：D31的平均速度250千米/时．
（2）G377的性价比==0.75
D31的性价比==0.94，
∵0.94＞0.75
∴为了G377的性价比达到D31的性价比，建议降低G377票价．
五、解答题（本题共3小题，第24题11分，第25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
25．（12分）某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值．
【解答】解：（1）x÷[1÷（+）]
=x÷[1÷]
=x÷
=．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的倍；
（2）由题意得x=①，y=②，z=③．
由①得a=+，
∴a+1=++1，
∴==；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
同理，由②得=；
由③得=；
∴=++==1．
26．（12分）如图1，在直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B，点C在x轴上，点C在点B的右侧，OA=2OB=2BC=2．
（1）点C的坐标是 （2，0） ；
（2）点P是x轴上一点，点P到AC的距离等于AC的长度，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是AC上一点，∠CBD=∠ABO，连接OD，在AB上是否存在一点Q，使QB=AB﹣OD，若存在，求点Q与点D的横坐标之和，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵2OB=2BC=2，
∴OB=BC=1，
∴OC=OB+BC=2，
∴C（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图1，
∵OA=2，
∴A（0，2），
∵C（2，0），
∴AC=2
过点P作PD⊥AC于D，
∵点P到AC的距离等于AC的长度，
∴DP=AC=2，
∵∠PDC=∠AOC，∠PCD=∠ACO，
∴△PCD∽△ACO，
∴，
∴，
∴PC=4，
∴OP=PC+OC=4+2=6，
∴P（6，0）或OP=PC﹣OC=4﹣2=2，
∴P（﹣2，0），
即：P（﹣2，0）或（6，0）；
（3）存在．理由：如图2，
延长DB交y轴点E，
∴∠DBC=∠OBE，
∵∠DBC=∠ABO，
∴∠OBC=∠OBA，
∵OB⊥AE，
∴OE=OA=2，
∴E（0，﹣2），
∵OB=1，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y=2x﹣2①，
∵A（0，2），C（2，0），
∴直线AC的解析式为y=﹣x+2②，
联立①②解得，x=，y=，
∴D（，），
∴OD=，
∵A（0，2），B（1，0），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
设点Q（m，﹣2m+2），
∵B（1，0），
∴BQ==|m﹣1|
∵A（0，2），B（1，0），
∴AB=，
∵QB=AB﹣OD，
∴|m﹣1|=﹣=，
∴m=或m=，
∴Q（，）或（，﹣），
∴点Q与点D的横坐标之和为+=2或+=．
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