2020-2021学年辽宁省本溪市八年级（上）期末数学试卷（解析版）

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2020-2021学年辽宁省本溪市八年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）下列各实数是无理数的是（　　）
A． B． C．3. D．﹣π
　
2．（2分）二元一次方程2y﹣x=1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
　
3．（2分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三个内角之比为1：1：2 B．三条边之比为1：2：
C．三条边之比为5：12：13 D．三个内角之比为3：4：5
　
4．（2分）下列命题错误的是（　　）
A．所有实数都可以用数轴上的点表示
B．同位角相等，两直线平行
C．无理数包括正无理数、负无理数和0
D．等角的补角相等
　
5．（2分）请估计的值在（　　）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
　
6．如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（　　）度．

A．70 B．65 C．60 D．55
　
7．（2分）现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，七年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，则父亲和儿子现在的年龄分别是（　　）
A．42岁，14岁 B．48岁，16岁 C．36岁，12岁 D．39岁，13岁
　
8．（2分）如果m是任意实数，那么点M（m﹣5，m+2）一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
　
9．（2分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P为斜边AB上一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AC于点E．若S△APE=7，S△PBF=2，则PC的长为（　　）

A．5 B．3 C． D．3
　
10．（2分）在同一直角坐标系中，一次函数y=（k﹣2）x+k的图象与正比例函数y=kx图象的位置可能是（　　）
A． B． C． D．
　
　
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
11．函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　．
　
12．（2分）一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x=　　　　　　．
　
13．（﹣2）2的平方根是　　　　　　．
　
14．直线y=2x+1与y=﹣x+4的交点是（1，3），则方程组的解是　　　　　　．
　
15．（2分）一个两位数，个位数字比十位数字大4，个位数字与十位数字的和为8，则这个两位数是　　　　　　．
　
16．（2分）如图，一长方体底面宽AN=5cm，长BN=10cm，高BC=16cm．D为BC的中点，一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是　　　　　　．

　
17．（2分）若直线y=kx+b平行于直线y=﹣2x+3，且过点（5，9），则其解析式为　　　　　　．
　
18．（2分）如图，在一单位长度为1的方格纸上．△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0）．则依图中所示规律，A2016的坐标是　　　　　　．

　
　
三、解答题（共7小题，满分64分）
19．计算：（﹣2）×﹣6
（2）解方程组：．
　
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）作△ABC向下平移4个单位长度的图形△A2B2C2；
（3）如果△ABC与△ABD全等，则请直接写出点D坐标．

　
21．（8分）丽水发生特大泥石流灾害后，某校学生会在全校1900名学生发起了“心系丽水”若捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生捐款情况，并用调查排水数据绘制了如图统计图，根据相关信息解答系列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　　　人，图①中的值是　　　　　　．
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
　
22．（10分）某工厂工人的工作时间为每月25天，每天8小时，每名工人每月有基本工资400元．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品，可得到报酬0.75元；每生产一件B种产品，可得到报酬1.40元，如表记录了工人小王的工作情况：
生产A种产品件数
生产B种产品件数
合计用工时间（分钟）
1
1
35
3
2
85
（1）求小王每生产一件A种产品和一件B种产品，分别需要多少时间？
（2）求小王每月工资额范围．
　
23．（8分）如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，∠AGD=90°，且∠1=∠D，∠2=∠A．求证：FB∥EC．

　
24．（10分）小明和小亮在9：00同时乘坐由甲地到乙地的客车，途经丙地时小亮下车，处理个人事情后乘公交返回甲地；小明乘客车到达乙地；30分钟后乘出租车也返回甲地，两人同时回到甲地，设两人之间的距离为y千米，所用时间为x分钟，图中折线表示y与x之间函数关系图象，根据题中所给信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两地相距　　　　　　千米，客车的速度是　　　　　　千米/时；
（2）小亮在丙地停留　　　　　　分钟，公交车速度是　　　　　　千米/时；
（3）求两人何时相距28千米？
　
25．（12分）如图所示，AB∥CD，直线EF与AB相交于点E，与CD相交于点F，FH是∠EFD的角平分线，且与AB相交于点H，GF⊥FH交AB于点G（GF＞HP）．
（1）如图①，求证：点E是GH的中点；
（2）如图②，过点E作EP⊥AB交GF于点P，请判断GP2=PF2+HF2是否成立？并说明理由；
（3）如图③，在（1）的条件下，过点E作EP⊥EF交GF于点P，请猜想线段GP、PF、HP有怎样的数量关系，请直接写出你猜想的结果．

　
　

2020-2021学年辽宁省本溪市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）下列各实数是无理数的是（　　）
A． B． C．3. D．﹣π
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、=是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、3.是有理数，故C错误；
D、﹣π是无理数，故D正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
　
2．（2分）二元一次方程2y﹣x=1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：A、把x=0，y=﹣代入方程得：左边=﹣1，右边=1，不相等，不合题意；
B、把x=1，y=1代入方程得：左边=2﹣1=1，右边=1，相等，符合题意；
C、把x=1，y=0代入方程得：左边=﹣1，右边=1，不相等，不合题意；
D、把x=﹣1，y=﹣1代入方程得：左边=﹣3，右边=1，不相等，不合题意，
故选B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
　
3．（2分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三个内角之比为1：1：2 B．三条边之比为1：2：
C．三条边之比为5：12：13 D．三个内角之比为3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理得出A是直角三角形，D不是直角三角形，由勾股定理的逆定理得出B、C是直角三角形，从而得到答案．
【解答】解：A、三个内角之比为1：1：2，
因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，
所以是直角三角形，故正确；
B、三条边之比为1：2：，
因为12+22=（）2，其符合勾股定理的逆定理，
所以是直角三角形，故正确；
C、三条边之比为5：12：13，
因为52+122=132，其符合勾股定理的逆定理，
所以是直角三角形，故正确；
D、三个内角之比为3：4：5，
因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，
所以不是直角三角形，故不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决问题的关键．
　
4．（2分）下列命题错误的是（　　）
A．所有实数都可以用数轴上的点表示
B．同位角相等，两直线平行
C．无理数包括正无理数、负无理数和0
D．等角的补角相等
【考点】命题与定理．
【分析】利用数轴上的点与实数一一对应可对A进行判断；根据平行线的判定方法对B进行判断；根据无理数的定义对C进行判断；根据补角的定义对D进行判断．
【解答】解：A、所有实数都可以用数轴上的点表示，所以A选项为真命题；
B、同位角相等，两直线平行，所以B选项为真命题；
C、无理数包括正无理数、负无理数，所以C选项为假命题；
D、等角的补角相等，所以D选项为真命题．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
　
5．（2分）请估计的值在（　　）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得3＜＜4，再根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜，即3＜＜4，
都减1，得
2＜﹣1＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜＜4是解题关键．
　
6．如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（　　）度．

A．70 B．65 C．60 D．55
【考点】平行线的性质．
【分析】先由垂直的定义，求出∠PEF=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求∠BEF=140°，然后根据两直线平行同旁内角互补，求出∠EFD的度数，然后根据角平分线的定义可求∠EFP的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出∠EPF的度数．
【解答】解：如图所示，

∵EP⊥EF，
∴∠PEF=90°，
∵∠BEP=50°，
∴∠BEF=∠BEP+∠PEF=140°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠EFD=40°，
∵FP平分∠EFD，
∴=20°，
∵∠PEF+∠EFP+∠EPF=180°，
∴∠EPF=70°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
　
7．（2分）现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，七年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，则父亲和儿子现在的年龄分别是（　　）
A．42岁，14岁 B．48岁，16岁 C．36岁，12岁 D．39岁，13岁
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】可设儿子现在的年龄是x岁，则父亲现在的年龄是3x岁，根据等量关系：7年前父亲的年龄=7年前儿子的年龄×5，依此列出方程求解即可．
【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，
依题意得：3x﹣7=5（x﹣7）．
解得x=14．
则3x=42．
即父亲和儿子现在的年龄分别是42岁，14岁．
故选：A．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由年龄的倍数问题找出合适的等量关系列出方程，再求解．
　
8．（2分）如果m是任意实数，那么点M（m﹣5，m+2）一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】根据第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．
【解答】解：m＞5时，m﹣5＞0，m+2＞0，点位于第一象限，故A不符合题意；
m=5时点位于y轴；
﹣2＜m＜5时，m﹣5＜0，m+2＞0，点位于第二象限，故B不符合题意；
m=﹣2时，点位于x轴；
m＜﹣2时，m﹣5＜0，m+2＜0，点位于第三象限，故C不符合题意；
M（m﹣5，m+2）一定不在第四象限，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
　
9．（2分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P为斜边AB上一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AC于点E．若S△APE=7，S△PBF=2，则PC的长为（　　）

A．5 B．3 C． D．3
【考点】等腰直角三角形．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，证出四边形PECF是矩形，得出PF=CE，证出△APE和△BPF是等腰直角三角形，得出AE=PE，BF=PF，再由三角形的面积得出PE2=14，CE2=PF2=4，由勾股定理求出PC的长即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵PF⊥BC于点F，PE⊥AC于点E，
∴∠PFB=∠PEA=90°，四边形PECF是矩形，
∴△APE和△BPF是等腰直角三角形，PF=CE，∠PEC=90°，
∴AE=PE，BF=PF，
∵S△APE=AE•PE=PE2=7，S△PBF=PF•BF=PF2=2，
∴PE2=14，CE2=PF2=4，
∴PC===3；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，运用勾股定理求出PC是解决问题的关键．
　
10．（2分）在同一直角坐标系中，一次函数y=（k﹣2）x+k的图象与正比例函数y=kx图象的位置可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象．
【分析】根据正比例函数与一次函数的图象性质作答．
【解答】解：当k＞2时，正比例函数y=kx图象经过1，3象限，一次函数y=（k﹣2）x+k的图象1，2，3象限；
当0＜k＜2时，正比例函数y=kx图象经过1，3象限，一次函数y=（k﹣2）x+k的图象1，2，4象限；
当k＜0时，正比例函数y=kx图象经过2，4象限，一次函数y=（k﹣2）x+k的图象2，3，4象限；
故选B．
【点评】此题考查一次函数的图象问题，正比例函数的性质：正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线．当k＞0时，直线经过第一、三象限；当k＜0时，直线经过第二、四象限．
　
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
11．函数中，自变量x的取值范围是　x≤2　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
　
12．（2分）一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x=　6或﹣3　．
【考点】极差．
【分析】分别当x为最大值和最小值时，根据极差的概念求解．
【解答】解：当x为最大值时，x﹣（﹣1）=7，
解得：x=6，
当x为最小值时，4﹣x=7，
解得：x=﹣3．
故答案为：6或﹣3．
【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
　
13．（﹣2）2的平方根是　±2　．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】先求出（﹣2）2的值，然后开方运算即可得出答案．
【解答】解：（﹣2）2=4，它的平方根为：±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
　
14．直线y=2x+1与y=﹣x+4的交点是（1，3），则方程组的解是　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解易得答案．
【解答】解：∵直线y=2x+1与y=﹣x+4的交点是（1，3），
∴方程组的解为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
　
15．（2分）一个两位数，个位数字比十位数字大4，个位数字与十位数字的和为8，则这个两位数是　26　．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】数字问题．
【分析】设这个两位数个位数为x，十位数字为y，根据个位数字比十位数字大4，个位数字与十位数字的和为8，列方程组求解．
【解答】解：设这个两位数个位数为x，十位数字为y，
由题意得，，
解得：，
则这个两位数为26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
　
16．（2分）如图，一长方体底面宽AN=5cm，长BN=10cm，高BC=16cm．D为BC的中点，一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是　cm　．

【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】将图形展开，可得到AD较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．
【解答】解：（1）如图1，BD=BC=6cm，AB=5+10=15cm，在Rt△ADB中，AD==3cm；

（2）如图2，AN=5cm，ND=5+6=11cm，
Rt△ADN中，AD===cm．
综上，动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是cm．[来源:Zxxk.Com]
故答案为： cm．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
　
17．（2分）若直线y=kx+b平行于直线y=﹣2x+3，且过点（5，9），则其解析式为　y=﹣2x+19　．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题．
【分析】根据两直线平行的问题得到k=﹣2，然后把（5，9）代入y=﹣2x+b，求出b的值即可．
【解答】解：根据题意得k=﹣2，
把（5，9）代入y=﹣2x+b得﹣10+b=9，
解得b=19，
所以直线解析式为y=﹣2x+19．
故答案为y=﹣2x+19．
【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
　
18．（2分）如图，在一单位长度为1的方格纸上．△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0）．则依图中所示规律，A2016的坐标是　（2，1008）　．

【考点】规律型：点的坐标．
【分析】由于2016是4的整数倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2016在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答即可．
【解答】解：∵2016是4的整数倍数，
∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∵2016÷4=504…0，
∴A2016在x轴上方，横坐标为2，
∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，
∴A2016的纵坐标为2016×=1008．
故答案为：（2，1008）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
　
三、解答题（共7小题，满分64分）
19．计算：（﹣2）×﹣6
（2）解方程组：．
【考点】二次根式的混合运算；解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后合并即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：（1）原式=3﹣6﹣3
=﹣6；
（2），
①+②×5得：13y=13，
解得y=1，
把y=1代入②中得2x﹣1=1，
解得x=1，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解二元一次方程组．
　
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）作△ABC向下平移4个单位长度的图形△A2B2C2；
（3）如果△ABC与△ABD全等，则请直接写出点D坐标．

【考点】作图-轴对称变换；全等三角形的性质；作图-平移变换．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可；
（2）首先确定A、B、C三点向下平移4个单位长度的对应点的位置，再连接即可；[来源:学科网ZXXK]
（3）首先确定D点位置，然后再写出坐标即可．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
；

（3）（﹣4，﹣1）；（﹣2，﹣1）；（﹣4，3）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，以及关于坐标轴对称，全等三角形的判定，关键是正确确定对称点和对应点的位置．
　
21．（8分）丽水发生特大泥石流灾害后，某校学生会在全校1900名学生发起了“心系丽水”若捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生捐款情况，并用调查排水数据绘制了如图统计图，根据相关信息解答系列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　50　人，图①中的值是　12　．
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用条形统计图得各组的频数，然后把它们相加即可得到抽样调查的学生的总数，再用16除以50即可得到m的值；
（2）根据众数和中位数的定义求解；
（3根据样本估计总体，用样本中捐款10元所占的百分比表示全校捐款10元的百分比，然后计算1900×32%即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 4+16+12+10+8=50（人），
m%=×100%=32%；
故答案为50；32；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是10元；中位数是15元；
（3）1900×32%=608（人），
答：估计该校捐款10元的学生人数有608人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体、中位数和众数．
　
22．（10分）某工厂工人的工作时间为每月25天，每天8小时，每名工人每月有基本工资400元．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品，可得到报酬0.75元；每生产一件B种产品，可得到报酬1.40元，如表记录了工人小王的工作情况：
生产A种产品件数
生产B种产品件数
合计用工时间（分钟）
1
1
35
3
2
85
（1）求小王每生产一件A种产品和一件B种产品，分别需要多少时间？
（2）求小王每月工资额范围．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设生产一件A种产品需要x分钟，生产一件B种产品需要y分钟，根据等量关系为“1件A，1件B用时35分钟”和“3件A，2件B用时85分钟”，根据这两个等量关系可列方程组，再进行求解即可．
（2）求小王每月工资额的范围，需要求助于函数，由（1）知生产A、B的单个时间，又每月工作总时间一定为25×8×60，所以可列一个二元一次方程，又工资计算方法已知，则可利用一个未知量，去表示另一个未知量，得到函数，进行解答．
【解答】解：（1）设生产一件A种产品需要x分钟，生产一件B种产品需要y分钟，
依题意得：，
解得：，
答：生产一件A种产品需要15分钟，生产一件B种产品需要20分钟．

（2）设小王每月生产A、B两种产品的件数分别为m、n，月工资额为w，根据题意得：
，
即，
因为m，n为非负整数，
所以0≤m≤800，
故当m=0时，w有最大值为1240，
当m=800时，w有最小值为1000，
则小王每月工资额最少1000元，每月工资额最多1240元．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“1件A，1件B用时35分钟”和“3件A，2件B用时85分钟”，列出方程组，再求解．
　
23．（8分）如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，∠AGD=90°，且∠1=∠D，∠2=∠A．求证：FB∥EC．

【考点】平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】先由∠AGD=90°，根据三角形内角和定理得出∠A+∠D=90°，再由∠1=∠D，∠ABF=∠1+∠D，得出∠ABF=2∠D，同理得出∠DCE=2∠A，那么∠DCE+∠ABF=2（∠A+∠D）=180°，根据邻补角定义得出∠ABF+∠DBF=180°，由同角的补角相等得到∠DCE=∠DBF，根据同位角相等，两直线平行得出FB∥EC．
【解答】证明：∵∠AGD=90°，
∴∠A+∠D=90°，
∵∠1=∠D，∠ABF=∠1+∠D，
∴∠ABF=2∠D，
同理：∠DCE=2∠A，
∴∠DCE+∠ABF=2（∠A+∠D）=180°，
又∵∠ABF+∠DBF=180°，
∴∠DCE=∠DBF，
∴FB∥EC．

【点评】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角定义，补角的性质，根据条件得出∠DCE=∠DBF是解题的关键．
　
24．（10分）小明和小亮在9：00同时乘坐由甲地到乙地的客车，途经丙地时小亮下车，处理个人事情后乘公交返回甲地；小明乘客车到达乙地；30分钟后乘出租车也返回甲地，两人同时回到甲地，设两人之间的距离为y千米，所用时间为x分钟，图中折线表示y与x之间函数关系图象，根据题中所给信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两地相距　80　千米，客车的速度是　80　千米/时；
（2）小亮在丙地停留　48　分钟，公交车速度是　40　千米/时；
（3）求两人何时相距28千米？
【考点】一次函数的应用；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】数形结合；分类讨论；函数思想；待定系数法；一次函数及其应用．
【分析】（1）结合图象知，小明乘客车从丙地到乙地用时30分钟，行驶40千米可得客车速度，小明从甲到乙行驶1小时，可得甲乙间距离；
（2）小亮在x=30到达丙地，x=78离开丙地，可得停留时间，根据小亮从丙地返回到甲地用时可得公交车速度；
（3）两人相距28千米，即y=28，求出AB、DE函数解析式，令y=28可求得．
【解答】解：（1）根据题意可知，当x=30时小明、小亮同时到达丙地，小亮停留在丙地；
当x=60时y=40，即小明到达乙地，此时两人间的距离为40千米，
∴小明乘客车从丙地到乙地用时30分钟，行驶40千米，
∴客车的速度为：40÷0.5=80（千米/小时），
∵小明乘客车从甲地到乙地用时60分钟，速度为80千米/小时，
∴甲、乙两地相距80千米．
（2）当x=78时小亮从丙地出发返回甲地，当x=138时小亮乘公交车从丙地出发返回到甲地，
∴小亮在丙地停留78﹣30=48（分钟），公交车的速度为：40÷1=40（千米/小时）．
（3）①设AB关系式为：y1=k1x+b1
由图象可得A（30，0）、B（60，40），代入得：
则，
解得，
所以AB关系式为： （30≤x≤60），
令y1=28，有，
∴x=51．
②设DE关系式为：y2=k2x+b2，[来源:学科网]
∵（千米），
∴D（90，48），
由图象可得E（138，0），
所以，
解得：，
所以DE关系式为：y2=﹣x+138 （90≤x≤138），
令y2=28，有﹣x+138=28，
∴x=110．
所以两人在9：51和10：50相距28千米．
故答案为：（1）80，80；（2）48，40．
【点评】本题主要考查一次函数图象及待定系数法求一次函数解析式的能力，读懂函数图象各分段实际意义是关键，属中档题．
　
25．（12分）如图所示，AB∥CD，直线EF与AB相交于点E，与CD相交于点F，FH是∠EFD的角平分线，且与AB相交于点H，GF⊥FH交AB于点G（GF＞HP）．
（1）如图①，求证：点E是GH的中点；
（2）如图②，过点E作EP⊥AB交GF于点P，请判断GP2=PF2+HF2是否成立？并说明理由；
（3）如图③，在（1）的条件下，过点E作EP⊥EF交GF于点P，请猜想线段GP、PF、HP有怎样的数量关系，请直接写出你猜想的结果．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求得∠EHF=∠EFH，证得EF=EH，根据∠EFG+∠EFH=90°，∠EGF+∠EHF=90°，得出∠EFG=∠EGF，根据等角对等边求得EG=EF，即可证得EH=EG，即E为HG的中点；
（2）连接PH，根据垂直平分线的性质得出PG=PH，在Rt△PFH中，根据勾股定理得：PH2=PF2+HF2，即可得到GP2=PF2+HF2；
（3）延长PE，使PE=EM，连接MH，MF，易证得△GPE≌△HME，从而得出GP=MH，∠1=∠2，进而证得EF垂直平分PM，根据垂直平分线的性质得出PF=MF，在RT△MHF中，MF2=MH2+FH2，即可得到PF2=GP2+FH2．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EHF=∠HFD，
∵FH平分∠EFD，
∴∠EFH=∠HFD，
∴∠EHF=∠EFH，
∴EF=EH，
∵∠GFH=90°，
∴∠EFG+∠EFH=90°，∠EGF+∠EHF=90°，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴EH=EG，
∴E为HG的中点；
（2）连接PH，如图②：
∵EP⊥AB，
又∵E是GH中点，
∴PE垂直平分GH，
∴PG=PH，
在Rt△PFH中，∠PFH=90°，[来源:Z|xx|k.Com]
由勾股定理得：PH2=PF2+HF2，
∴GP2=PF2+HF2；
（3）如图③，延长PE，使PE=EM，连接MH，MF，
在△GPE和△HME中，
，[来源:学*科*网]
∴△GPE≌△HME（SAS），
∴GP=MH，∠1=∠2，
∵GF⊥FH，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵EF⊥PM，PE=EM，
∴PF=MF，
在RT△MHF中，MF2=MH2+FH2，
∴PF2=GP2+FH2．


【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，找出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键．