高三数学一轮复习： 第2章 第13节 课时分层训练16

这是一份高三数学一轮复习： 第2章 第13节 课时分层训练16，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．定积分eq \i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B.e＋1
C．e D.e－1
C [eq \i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq \\al(1,0)＝1＋e1－1＝e.故选C.]
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
【导学号：01772095】
A．2eq \r(2) B.4eq \r(2)
C．2 D.4
D [令4x＝x3，
解得x＝0或x＝±2，
∴S＝eq \i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(x4,4)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,0))＝8－4＝4，故选D.]
3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.eq \f(1,2)g B.g
C.eq \f(3,2)g D.2g
C [由题意知电视塔高为
eq \i\in(1,2,)gtdt＝eq \f(1,2)gt2|eq \\al(2,1)＝2g－eq \f(1,2)g＝eq \f(3,2)g.]
4．已知f(x)为偶函数且eq \i\in(0,6,)f(x)dx＝8，则eq \i\in(,6,)－6f(x)dx等于( )
【导学号：01772096】
A．0 B.4
C.8 D.16
D [原式＝eq \i\in(,0,)－6f(x)dx＋eq \i\in(0,6,)f(x)dx，
因为原函数为偶函数，即在y轴两侧的图象对称．所以对应的面积相等，
即eq \i\in(,6,)－6f(x)dx＝2eq \i\in(0,6,)f(x)dx＝8×2＝16.]
5．若eq \i\in(1,a,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )
A．2 B.3
C.4 D.6
A [由题意知eq \i\in(1,a,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))dx＝(x2＋ln x)|eq \\al(a,1)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2.]
二、填空题
6．(2017·陕西质检(二))eq \i\in(0,π,)(x＋cs x)dx＝________.
eq \f(π2,2) [eq \i\in(0,π,)(x＋cs x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋sin x))|eq \\al(π,0)＝eq \f(π2,2).]
7．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10(单位：m)，已知F(x)＝x2＋1(单位：N)且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J.
【导学号：01772097】
342 [变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为
W＝∫eq \\al(10,1)F(x)dx＝∫eq \\al(10,1)(x2＋1)dx
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋x))|eq \\al(10,1)＝342(J)．]
8．(2017·洛阳统考)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x＜0，,ex，0≤x≤1))的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
e－eq \f(1,2) [由题意知所求面积为eq \i\in(,0,)－1(x＋1)dx＋eq \i\in(0,1,)exdx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋x))|eq \\al(0,－1)＋ex|eq \\al(1,0)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＋(e－1)＝e－eq \f(1,2).]
三、解答题
9．求曲线y＝eq \r(x)，y＝2－x，y＝－eq \f(1,3)x所围成图形的面积．
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,y＝2－x，))得交点A(1,1).2分
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2－x，,y＝－\f(1,3)x，))得交点B(3，－1).5分
故所求面积S＝eq \i\in(0,1,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,3)x))dx＋eq \i\in(1,3,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x＋\f(1,3)x))dx
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x\f(3,2)＋\f(1,6)x2))|eq \\al(1,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,3)x2))|eq \\al(3,1)
＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)＋eq \f(4,3)＝eq \f(13,6).12分
10．(2015·陕西高考改编)如图2­13­1，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，试求原始的最大流量与当前最大流量的比值．
图2­13­1
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系. 3分
由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y＝eq \f(2,25)x2－2， 6分
抛物线与x轴围成的面积S1＝eq \i\in(,5,)－5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,25)x2))dx＝eq \f(40,3)，梯形面积S2＝eq \f(6＋10×2,2)＝16.最大流量比为S2∶S1＝1.2. 12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若f(x)＝x2＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，则eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝( )
【导学号：01772098】
A．－1 B.－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D.1
B [由题意知f(x)＝x2＋2eq \i\in(0,1,)f(x)dx，
设m＝eq \i\in(0,1,)f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，
eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \i\in(0,1,)(x2＋2m)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋2mx))|eq \\al(1,0)
＝eq \f(1,3)＋2m＝m，∴m＝－eq \f(1,3).]
2．曲线eq \r(x)＋eq \r(y)＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________．
eq \f(1,6) [将曲线eq \r(x)＋eq \r(y)＝1转化为y＝(1－eq \r(x))2，且x≥0，y≥0.令y＝0，可知曲线与x轴交点为(1,0)，则曲线与两坐标轴所围成的面积S＝eq \i\in(0,1,)(1－eq \r(x))2dx＝eq \i\in(0,1,)(1－2eq \r(x)＋x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)x\f(3,2)＋\f(1,2)x2))|eq \\al(1,0)＝1－eq \f(4,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).]
3．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
[解] ∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图.5分
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝2x))可得交点A(2,4)，7分
∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝eq \i\in(0,2,)(2x－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,3)x3))|eq \\al(2,0)＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).12分