高三数学一轮复习： 第2章 第4节 课时分层训练7

这是一份高三数学一轮复习： 第2章 第4节 课时分层训练7，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝( )
【导学号：01772040】
A.eq \f(1,2) B.1
C.eq \f(3,2) D.2
C [由幂函数的定义知k＝1.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝eq \f(1,2)，从而k＋α＝eq \f(3,2).]
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )
A．－3 B.13
C.7 D.5
B [函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝eq \f(m,4)，由函数f(x)的增减区间可知eq \f(m,4)＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.]
3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B.m＝1或m＝2
C．m＝2 D.m＝1
B [由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.]
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
【导学号：01772041】
A B C D
D [由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则eq \f(c,a)＜0，排除B，C.又f(0)＝c＜0，所以也排除A.]
5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B.1
C.2 D.－2
B [∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点取得．
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≥4－3a，,－a＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≤4－3a，,4－3a＝1，))解得a＝1.]
二、填空题
6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)．若f(x)在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a＝________，b＝________.
1 0 [因为函数f(x)的对称轴为x＝1，又a＞0，
所以f(x)在[2,3]上单调递增，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2＝1，,f3＝4，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·22－2a·2＋1＋b＝1，,a·32－2a·3＋1＋b＝4，))解方程得a＝1，b＝0.]
7．已知P＝2，Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3，R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，则P，Q，R的大小关系是________.
【导学号：01772042】
P＞R＞Q [P＝2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3，根据函数y＝x3是R上的增函数且eq \f(\r(2),2)＞eq \f(1,2)＞eq \f(2,5)，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3，即P＞R＞Q.]
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是________．
[2,3] [f(x)＝(x－a)2＋5－a2，根据f(x)在区间(－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f(1)≥f(a＋1)，
从而|f(x1)－f(x2)|max＝f(1)－f(a)＝a2－2a＋1，
由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3，
又a≥2，所以2≤a≤3.]
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
[解] 幂函数f(x)经过点(2，eq \r(2))，
∴eq \r(2)＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.4分
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，
并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)＞f(a－1)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a＞a－1，))10分
解得1≤a＜eq \f(3,2).
∴a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).12分
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
[解] (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，2分
∴f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).5分
(2)对称轴为x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)满足题意；8分
②当－eq \f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知a＝－eq \f(1,3)或－1. 12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值( )
【导学号：01772043】
A．恒大于0 B.恒小于0
C．等于0 D.无法判断
A [∵f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．
当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，
∴f(x)＝x2 015.
∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数．
又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，
又ab＜0，不妨设b＜0，
则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，
又f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]
2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，－2)) [由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，
当x∈[2,3]时，
y＝x2－5x＋4∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，－2))，
故当m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，－2))时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．]
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．
[解] (1)由题意知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－1，,f－1＝a－b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))2分
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分
(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分
令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，
即k的取值范围是(－∞，1).12分