高三数学一轮复习： 第7章 第7节 课时分层训练44

这是一份高三数学一轮复习： 第7章 第7节 课时分层训练44，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2,3,3) B.P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0) D.P(3，－3,4)
A [逐一验证法，对于选项A，eq \(MP,\s\up7(→))＝(1,4,1)，∴eq \(MP,\s\up7(→))·n＝6－12＋6＝0，∴eq \(MP,\s\up7(→))⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．]
2．(2017·西安调研)如图7­7­11，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
图7­7­11
A.eq \f(\r(5),5) B.－eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.－eq \f(2\r(5),5)
A [不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴eq \(BC1,\s\up7(→))＝(0,2，－1)，eq \(AB1,\s\up7(→))＝(－2,2,1)．
cs〈eq \(BC1,\s\up7(→))，eq \(AB1,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(BC1,\s\up7(→))·\(AB1,\s\up7(→)),|\(BC1,\s\up7(→))|·|\(AB1,\s\up7(→))|)＝eq \f(0＋4－1,\r(5)×3)＝eq \f(\r(5),5).]
3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up7(→))，N为B1B的中点，则|eq \(MN,\s\up7(→))|为( )
【导学号：01772276】
A.eq \f(\r(21),6)a B.eq \f(\r(6),6)a
C.eq \f(\r(15),6)a D.eq \f(\r(15),3)a
A [以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a，\f(a,2))).
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up7(→))，
(x－a，y，z)＝eq \f(1,2)(－x，a－y，a－z)，
∴x＝eq \f(2,3)a，y＝eq \f(a,3)，z＝eq \f(a,3).
得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，
∴|eq \(MN,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq \f(\r(21)a,6).]
4．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
【导学号：01772277】
A.eq \f(\r(6),4) B.eq \f(\r(10),4)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
A [如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(eq \r(3)，0,0)，A(0，－1,0)，B1(eq \r(3)，0,2)，则eq \(AB1,\s\up7(→))＝(eq \r(3)，1,2)，则eq \(BO,\s\up7(→))＝(－eq \r(3)，0,0)为侧面ACC1A1的法向量．即sin θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up7(→))·\(BO,\s\up7(→))|,|\(AB1,\s\up7(→))||\(BO,\s\up7(→))|)＝eq \f(\r(6),4).故选A.]
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
B [以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，D(0,1,0)，∴eq \(A1D,\s\up7(→))＝(0,1，－1)，eq \(A1E,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，－\f(1,2))).
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
∴有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(A1D,\s\up7(→))·n1＝0，,\(A1E,\s\up7(→))·n1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,1－\f(1,2)z＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2.))
∴n1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．
∴cs〈n1，n2〉＝eq \f(2,3×1)＝eq \f(2,3)，
即所成的锐二面角的余弦值为eq \f(2,3).]
二、填空题
6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq \(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq \(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的法向量；④eq \(AP,\s\up7(→))∥eq \(BD,\s\up7(→)).其中正确的序号是________．
①②③ [∵eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AP,\s\up7(→))＝0，eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(AP,\s\up7(→))＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AD,\s\up7(→))不平行．
∴eq \(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,3,4)，eq \(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)，∴eq \(BD,\s\up7(→))与eq \(AP,\s\up7(→))不平行，故④错误．]
7．(2017·郑州模拟)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.
【导学号：01772278】
eq \f(1,3) [以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，
则n·eq \(A1B,\s\up7(→))＝0，n·eq \(A1C1,\s\up7(→))＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y－z＝0，,－x＋2y＝0，))令z＝2，则y＝1，x＝2，
于是n＝(2,1,2)，eq \(D1C1,\s\up7(→))＝(0,2,0)．
设所求线面角为α，则sin α＝|cs〈n，eq \(D1C1,\s\up7(→))〉|＝eq \f(1,3).]
8．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为________．
2eq \r(17) [如图为折叠后的图形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD，
则AC＝6，BD＝8，CD＝4，
两异面直线AC，BD所成的角为60°.
故由eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DB,\s\up7(→))，
得|eq \(AB,\s\up7(→))|2＝|eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DB,\s\up7(→))|2＝68，
∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝2eq \r(17).]
三、解答题
9．(2017·南昌模拟)如图7­7­12，四棱锥S­ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB.
图7­7­12
(1)证明：DE⊥平面SBC；
(2)求二面角A­DE­C的大小．
[解] 由题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，eq \(DB,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq \(DS,\s\up7(→))＝(0,0,2).2分
(1)证明：∵SE＝2EB，
∴eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(DB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(DS,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(1,1,0)＋eq \f(1,3)(0,0,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3))).
又eq \(BC,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，eq \(BS,\s\up7(→))＝(－1，－1,2)，
∴eq \(DE,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，eq \(DE,\s\up7(→))·eq \(BS,\s\up7(→))＝0，4分
∴eq \(DE,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))⊥eq \(BS,\s\up7(→)).
又BC∩BS＝B，∴DE⊥平面SBC.5分
(2)由(1)知，DE⊥平面SBC，
∵EC⊂平面SBC，∴DE⊥EC.7分
取DE的中点F，
则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))，eq \(FA,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3)))，
故eq \(FA,\s\up7(→))·eq \(DE,\s\up7(→))＝0，由此得FA⊥DE.10分
∴向量eq \(FA,\s\up7(→))与eq \(EC,\s\up7(→))的夹角等于二面角A­DE­C的平面角，
又cs〈eq \(FA,\s\up7(→))，eq \(EC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(FA,\s\up7(→))·\(EC,\s\up7(→)),|\(FA,\s\up7(→))||\(EC,\s\up7(→))|)＝－eq \f(1,2)，
∴二面角A­DE­C的大小为120°.12分
10．在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，P(0,0，a)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，
则eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，eq \(DC,\s\up7(→))＝(0，a,0).3分
∵eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(EF,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→))，从而得EF⊥CD.5分
(2)假设存在满足条件的点G，
设G(x,0，z)，则eq \(FG,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2))).
若使GF⊥平面PCB，则FG⊥CB，FG⊥CP.
eq \(FG,\s\up7(→))·eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a,0,0)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))＝0，得x＝eq \f(a,2).8分
由eq \(FG,\s\up7(→))·eq \(CP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(0，－a，a)
＝eq \f(a2,2)＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z－\f(a,2)))＝0，得z＝0.
∴G点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，0))，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(13),4)
C.eq \f(\r(39),13) D.eq \f(\r(39),3)
C [取AD中点O，连接OA1，易证A1O⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，
得B(2，－1,0)，D1(0,2，eq \r(3))，eq \(BD1,\s\up7(→))＝(－2,3，eq \r(3))，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为θ，∴sin θ＝eq \f(|\(BD1,\s\up7(→))·n|,|\(BD1,\s\up7(→))|·|n|)＝eq \f(\r(3),4)，∴tan θ＝eq \f(\r(39),13).]
2．(2017·衡水中学质检)如图7­7­13所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
图7­7­13
MN∥平面BB1C1C [以C1为坐标原点建立如图所示的坐标系．
∵A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2a,3)，\f(a,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a))，∴eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，
∴eq \(C1D1,\s\up7(→))＝(0，a,0)，
∴eq \(MN,\s\up7(→))·eq \(C1D1,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(MN,\s\up7(→))⊥eq \(C1D1,\s\up7(→)).
又∵eq \(C1D1,\s\up7(→))是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.]
3．(2016·天津高考)如图7­7­14，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
(1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O­EF­C的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝eq \f(2,3)HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
图7­7­14
[解] 依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(OF,\s\up7(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0).2分
(1)证明：依题意，eq \(AD,\s\up7(→))＝(2,0,0)，eq \(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)．
设n1＝(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AD,\s\up7(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up7(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x1＝0，,x1－y1＋2z1＝0，))4分
不妨取z1＝1，可得n1＝(0,2,1)．
又eq \(EG,\s\up7(→))＝(0,1，－2)，可得eq \(EG,\s\up7(→))·n1＝0.
又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF.5分
(2)易证eq \(OA,\s\up7(→))＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，
eq \(EF,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq \(CF,\s\up7(→))＝(－1,1,2).7分
设n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(EF,\s\up7(→))＝0，,n2·\(CF,\s\up7(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝0，,－x2＋y2＋2z2＝0，))
不妨取x2＝1，
可得n2＝(1，－1,1).9分
因此有cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\(OA,\s\up7(→))·n2,|\(OA,\s\up7(→))|·|n2|)＝－eq \f(\r(6),3)，
于是sin〈eq \(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\r(3),3).
所以，二面角O­EF­C的正弦值为eq \f(\r(3),3).
(3)由AH＝eq \f(2,3)HF，得AH＝eq \f(2,5)AF.因为eq \(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)，所以eq \(AH,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(2,5)，\f(4,5)))，进而有Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(3,5)，\f(4,5)))，从而eq \(BH,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(8,5)，\f(4,5))).
因此cs〈eq \(BH,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\(BH,\s\up7(→))·n2,|\(BH,\s\up7(→))|·|n2|)＝－eq \f(\r(7),21).
所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为eq \f(\r(7),21).12分