高三数学一轮复习： 第8章 第5节 课时分层训练49

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第5节 课时分层训练49，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
【导学号：01772312】
A．4 B.3
C．2 D.5
A [由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
【导学号：01772313】
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
B [原方程化为eq \f(x2,\f(m,2))＋eq \f(y2,\f(m,3))＝1(m>0)，
∴a2＝eq \f(m,2)，b2＝eq \f(m,3)，则c2＝a2－b2＝eq \f(m,6)，
则e2＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \f(\r(3),3).]
3．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
( )
【导学号：01772314】
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
D [设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1，故选D.]
4．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))的最大值为( )
A．2 B.3
C．6 D.8
C [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则eq \(OP,\s\up7(→))＝(x，y)，eq \(FP,\s\up7(→))＝(x＋1，y)，∴eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∴y2＝3－eq \f(3,4)x2，
∴eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))有最大值6.]
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1B.eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
A [∵eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4eq \r(3)，
∴4a＝4eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)，∴b＝eq \r(2)，
∴椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.]
二、填空题
6．(2017·成都质检)已知椭圆：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(00)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝eq \f(π,6)，∴eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3),3)，a＝2b.
∴S△ABF＝eq \f(1,2)·|AF|·|BO|＝eq \f(1,2)(a－c)·b＝eq \f(1,2)(2b－eq \r(3)b)b＝2－eq \r(3)，
解得b2＝2，则a＝2b＝2eq \r(2).
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.]
8．(2016·江苏高考)如图8­5­4，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.
图8­5­4
eq \f(\r(6),3) [将y＝eq \f(b,2)代入椭圆的标准方程，得eq \f(x2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
所以x＝±eq \f(\r(3),2)a，故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2))).
又因为F(c,0)，所以eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a，－\f(b,2))).
因为∠BFC＝90°，所以eq \(BF,\s\up7(→))·eq \(CF,\s\up7(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，即c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝eq \f(3,2)c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，所以e＝eq \f(\r(6),3)(负值舍去)．]
三、解答题
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，其中左焦点为F(－2,0)．
【导学号：01772315】
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,c＝2，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝2.))3分
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.5分
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m，))消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2eq \r(3)0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq \f(\r(5),10).
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为eq \f(7,2)，求E的方程．
[解] (1)由题设条件知，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，又kOM＝eq \f(\r(5),10)，从而eq \f(b,2a)＝eq \f(\r(5),10)，进而得a＝eq \r(5)b，c＝eq \r(a2－b2)＝2b，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(5),5).5分
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为eq \f(x,\r(5)b)＋eq \f(y,b)＝1，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)b，－\f(1,2)b)).7分
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(7,2)))，则线段NS的中点T的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2)，－\f(1,4)b＋\f(7,4))).
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2),\r(5)b)＋\f(－\f(1,4)b＋\f(7,4),b)＝1，,\f(\f(7,2)＋\f(1,2)b,x1－\f(\r(5),2)b)＝\r(5)，))解得b＝3.10分
所以a＝3eq \r(5)，故椭圆E的方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,9)＝1.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若eq \f(1,3)