专题2.5 最值位置不迷惑，单调区间始与末-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

函数的最值

函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；

（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；

（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

【典例指引】[来源:Zxxk.Com]

例1．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【思路引导】

（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可，（2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的取值地方从而计算得出最值

点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可得到最值

例2．设函数 .

(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得的取值范围；（2）恒成立等价于恒成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实数的取值范围.学*科网

试题解析：（1）方程即为，令，则， 当时， 随变化情况如表：

， 当时， ，

的取值范围是.

例3．已知函数的一个极值为．

（1）求实数的值；

（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值．

【思路引导】

（1）由题意得，函数有两个极值为和令，从而得到实数的值；（2）研究函数在区间上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数的方程，解之即可. 学*科网

试题解析：（1）由，得

，

令，得或；令，得；

令，得或.所以函数有两个极值为和令.

若，得，解得；

若，得，解得；

综上，实数的值为或5. 学*科网

（2）由（1）得， ， 在区间上的变化情况如下表所示：

【新题展示】

1．【2019江西新余市一中一模】已知函数，．

当时，若的最小值为3，求实数a的值；

当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．

【思路引导】

当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可．

当时，即，通过x的范围，转化去掉绝对值符号，推出a的范围．

【解析】

2．【2019宁夏石嘴山三中期末】已知函数.

（1）若的图像过点，且在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；

（2）当时，若函数恒成立，求整数的最小值.

【思路引导】

（1）根据且求得函数解析式，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）函数恒成立等价于在区间内恒成立，根据零点存在定理确定极值点的范围，可得的范围，从而可得结果.

【解析】

（1）函数过点可知，①，，

（2）由可知，

因为，所以原命题等价于在区间内恒成立.

设，

可设，在单调递增，且，，

所以存在唯一的，使得

且当时，，单调递增，

当，，单调递减，

所以当时，有极大值，也为最大值，且

又，所以，∴，可知，所以的最小值为1.

【同步训练】

1．已知函数（且），为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；

（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．

【思路引导】

(1)由导函数的解析式可得．

(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．

（Ⅱ）， ，[来源:学&科&网]

令，得，则

①当时， ，

所以当时， 有最小值，

因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，

因为当时， ，所以此方程无解．

②当时， ，学*科网

点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

2．已知函数f(x)＝(x－k)ex，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．

【思路引导】

（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的单调区间．

（2）当k﹣1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=﹣k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k﹣1]上递减，（k﹣1，1]上递增，；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．

试题解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.[来源:学。科。网]

令f′(x)＝0，得x＝k－1. 学*科网

当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k.

当0<k－1<1，即1<k<2时，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为

f(k－1)＝－ek－1.

当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，

所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 学*科网

3．已知函数的 图象在点处的切线方程为.

(1)求的值；

(2)求函数在值域.

【思路引导】

（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数在值域.

4．设函数，.

（1） 关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（2） 当时，恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）方程在一个区间上有解，可以转化为有解，研究该函数的单调性和图像使得常函数和该函数有交点即可。（2）该题可以转化为当时， 恒成立，令研究这个函数的单调性和最值即可。

∴当时，随变化情况如下表：

∵， ， ，

∴当时，，

∴的取值范围为

（2）依题意，当时， 恒成立

令，学*科网

5．已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程.

（Ⅱ）求的单调区间.

（Ⅲ）求在上的最大值和最小值.

【思路引导】

 (Ⅰ)首先利用导函数求得切线的斜率为，结合函数在可得切线过点，则切线方程为： ．

(Ⅱ)结合函数的定义域求解不等式和可得单调增区间为，单调减区间为．[来源:学科网ZXXK]

(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论可得在上单调递增，在上单调递减．则， ．

（）时，

在上单调递增，

在上单调递减．

∴，

， ．

∴，

∴．学*科网

6．已知函数 ．

   （I） 讨论函数的单调区间；

   （II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．

【思路引导】

 (Ⅰ)对函数求导可得，令得．

分类讨论可得当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；

(Ⅱ)当时，函数的解析式，则，讨论函数的单调性可得， ，且，则的取值范围是.

（II）当时， ，

令，得．

将， ， 变化情况列表如下：

由此表可得， ．

又，

故区间内必须含有，即的取值范围是．学*科网

7．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在，且，使得，求证： .

【思路引导】

（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对进行分类讨论，当时显然不行， 时，不能有，设，则由即可，利用单调性即可证出.

点评：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.

8．已知函数.

（1）求在区间上的极小值和极大值点。

（2）求在上的最大值.

【思路引导】

（1）当时，求导函数，确定函数的单调性，可得在区间上的极小值和极大值点；（2）分两种情况， 讨论，分别利用导数确定函数的单调性，即可得到在上的极大值，与区间端点值的函数值比较即可的结果.

试题解析：（1）当时， ，令，得或，当变化时， 的变化情况如下表：

当时，函数取得极小值， ，函数取得极大值点为.

9．已知函数， （）.

（1）若， 恒成立，求实数的取值范围；[来源:Z,xx,k.Com]

（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）， 恒成立，即求在上恒成立（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解，化简，得. 设，研究单调性，画出图像即得解.

试题解析：（1）由题意，得的定义域为，

. ，∴、随的变化情况如下表：

所以.    在上恒成立，∴.

10．已知函数.[来源:学科网]

（I）若处取得极值，求实数a的值；

（II）在（I）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

【思路引导】

（Ⅰ）求导数，把代入导函数为零可得关于的方程，解之可得实数的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案.

11．已知函数， （其中为常数， 为自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.[来源:学科网]

（1）求的单调区间；

（2）当时，若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）先根据导数几何意义得切线斜率，解出，再求导函数零点，根据导函数符号确定函数单调区间，（2）先化简，再求导数，利用参变分离转化为研究两曲线交点个数问题：函数的图象与函数的图像有两个不同交点，再利用导数研究函数图像，结合图像确定有两个交点需满足的条件

试题解析：（Ⅰ）因为

所以的定义域为，且，

由于曲线在处的切线与轴平行，

所以，因此;

所以

令， ，

当时， ，

当时， ，

又因为，

所以当时， ，

当时， ，

因此的单调递减区间为，单调递增区间为．            

12．已知函数

(1) 当时，求函数的单调增区间；

(2) 求函数在区间上的最小值．

(3)在（1）的条件下，设 = +，求证：，参考数据： .

【思路引导】

（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论.

试题解析：(1)当时，，

或。函数的单调增区间为