专题2.7 欲证不等恒成立，目标调整依形式（原卷及解析版）

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利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
【典例指引】
例1．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）当且时，试比较的大小．
例2．已知函数.若函数满足下列条件：
①；②对一切实数，不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式；
(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)求证：.
例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点
（I）求的取值范围；
（II）求证：
例4．已知函数的图象在处的切线过点， .
（1）若，求函数的极值点；
（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
【同步训练】
1．已知函数与.
（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：. .
2．函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥.
3．已知函数其中实数为常数且.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；
（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：.
4．设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；[来源:学.科.网]
（3）在（2）的条件下，求证.
（参考知识：若，则有）
5．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当，且时，证明：.
6．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求证：．
7．已知函数．
（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．
（Ⅱ）证明：当时，．
8．已知函数.
（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；
（2）求证：当时，.
9．已知函数.
（1）设，若，求的单调区间；
（2）设，比较与的大小.
10．函数
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：
11．已知函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）求证： .
12．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
(3)设为正实数，且，求证：．