专题2.7 欲证不等恒成立，目标调整依形式-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

【典例指引】

例1．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，

求实数的取值范围；

（Ⅲ）当且时，试比较的大小．

例2．已知函数.若函数满足下列条件：

①；②对一切实数，不等式恒成立.

(Ⅰ)求函数的表达式；

(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)求证：.

例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点

（I）求的取值范围；

（II）求证：

例4．已知函数的图象在处的切线过点， .

（1）若，求函数的极值点；

（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）

[来源:学*科*【新题展示】

1．【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.

2．【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数，曲线在点处的切线方程为．

求a，b的值；

2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

3．【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数．

求的单调区间；

当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围；

证明不等式.

4．【2019福建三明期末质量检测】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：.

网Z*X*X*K]

【同步训练】

1．已知函数与.

（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：. .

2．函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥.

3．已知函数其中实数为常数且.[来源:学科网]

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；

（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：

.

4．设函数.

（1）当时，求的单调区间；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；[来源:学.科.网Z.X.X.K]

（3）在（2）的条件下，求证.

（参考知识：若，则有）

5．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当，且时，证明：.

6．已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）当时，求证：．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

7．已知函数．

（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）证明：当时，．

8．已知函数.

（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；

（2）求证：当时，.

9．已知函数.

（1）设，若，求的单调区间；[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（2）设，比较与的大小.[来源:学科网]

10．函数

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，且，求证：

11．已知函数.

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）求证： .

12．已知函数．

(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(3)设为正实数，且，求证：．

[来源:Z§xx§k.Com]