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2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2
3．入冬以来，全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×104 B．7.5×105 C．7.5×108 D．7.5×109
4．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
8．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
9．不等式组的非负整数解有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B．π C．π D．2π
12．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是 ．
14．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为 ．
16．如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是 ．
17．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第 个图形．
18．已知tan（α+β）＝，tan2α＝（其中α和β都表示角度），比如求tan105°，可利用公式得tan105°＝tan（60°+45°）＝﹣2，又如求tan120°，可利用公式得tan120°＝tan（2×60°）＝．请你结合材料，若tan（120°+λ）＝﹣（λ为锐角），则λ的度数是 ．
三.解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2020）0．
20．先化简，再求值：﹣÷，并在﹣1，1，2，3这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣一般了解；D类﹣﹣不了解，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次共调查了多少名学生；
（2）求D类所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生？
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？
（2）某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折购买可节省多少元？
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥AC于点F，交⊙O于点E，AC交BE于点H，点D为OE延长线上的一点，且∠ODA＝∠BEC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•BE；
（3）若⊙O的半径为5，cosB＝，求AH的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故选项错误；
B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；
C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；
D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；
故选：C．
3．入冬以来，全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×104 B．7.5×105 C．7.5×108 D．7.5×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：75000万＝750000000＝7.5×108．
故选：C．
4．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分，与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数．
故选：B．
6．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
【分析】点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求出ab＝﹣5，即可得到k＝﹣ab＝5．
【解答】解：∵P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴ab＝﹣5，
∵点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣ba＝﹣ab＝5．
故选：B．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【分析】利用正方形的判定依次判断，可求解．
【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项B不合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项D符合题意；
故选：D．
8．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
9．不等式组的非负整数解有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，共5个，
故选：B．
10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）求出一次函数解析式，即可求解．
【解答】解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，
解得，
∴正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点（1，﹣1）代入得，
∴，
∴平移后函数解析式为，
故函数图象大致为：
．
故选：D．
11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B．π C．π D．2π
【分析】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形AOC进行计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC＝＝π．
故选：C．
12．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是 5 ．
【分析】根据根与系数的关系作答．
【解答】解：设方程的另一根为x2，则﹣1•x2＝﹣5．
故x2＝5．
故答案是：5．
14．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 144° ．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为 1 ．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝DC，由条件可求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：
如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝3﹣2＝1，
∴DE＝1，
故答案为：1．
16．如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是 ．
【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
（发光，发光）
（不发光，发光）
灯泡2不发光
（发光，不发光）
（不发光，不发光）
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，
∴至少有一个灯泡发光的概率是，
故答案为：．
17．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第 2021 个图形．
【分析】把每个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，据此规律找出第n个图形五角星的个数为：1+3n，据此求解即可．
【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，
⋯
第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，
∵＝2021，
∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，
故答案为：2021．
18．已知tan（α+β）＝，tan2α＝（其中α和β都表示角度），比如求tan105°，可利用公式得tan105°＝tan（60°+45°）＝﹣2，又如求tan120°，可利用公式得tan120°＝tan（2×60°）＝．请你结合材料，若tan（120°+λ）＝﹣（λ为锐角），则λ的度数是 30° ．
【分析】已知等式左边利用题中的新定义公式计算，求出tanλ的值，根据λ为锐角，利用特殊角的三角函数值求出所求即可．
【解答】解：根据题中的新定义得：tan（120°+λ）＝＝＝﹣，
整理得：﹣tanλ+3＝1+tanλ，即2tanλ＝2，
解得：tanλ＝，
∵λ为锐角，
∴λ＝30°．
故答案为：30°．
三．解答题
19．计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2020）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+2×﹣（﹣1）+1
＝4+﹣+1+1
＝6．
20．先化简，再求值：﹣÷，并在﹣1，1，2，3这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝，
当a＝3时，原式＝﹣＝0．
21．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣一般了解；D类﹣﹣不了解，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次共调查了多少名学生；
（2）求D类所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生？
【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中D类学生人数，可以计算出D类所对应扇形的圆心角的度数，然后再计算出C类学生的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生．
【解答】解：（1）本次共调查的学生有：20÷40%＝50（名），
即本次共调查了50名学生；
（2）360°×＝36°，
即D类所对应扇形的圆心角的度数是36°，
C类学生有：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）500×＝150（名），
即估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有150名学生．
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】设B处距离码头O有xkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC＝DO﹣CO，得出x的值即可．
【解答】解：设B处距离码头O有xkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x≈14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
23．某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？
（2）某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折购买可节省多少元？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省的钱数＝打折前购买这批粽子所需钱数﹣打折后购买这批粽子所需钱数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
依题意，得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）（40×80+120×100）﹣（40×0.8×80+120×0.75×100）＝3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折购买可节省3640元．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
25．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥AC于点F，交⊙O于点E，AC交BE于点H，点D为OE延长线上的一点，且∠ODA＝∠BEC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•BE；
（3）若⊙O的半径为5，cosB＝，求AH的长．
【分析】（1）先判断出∠BSC＝∠ODA，进而判断出∠BAC+∠DAF＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ACE＝∠CBE，进而判断出△CEH∽△BEC，即可得出结论；
（3）先由三角函数求出BE，进而求出CE＝AE＝6，再借助（2）的结论求出EH，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ODA＝∠BEC，∠BEC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ODA，
∵OF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ODA+∠DAF＝90°，
∴∠BAC+∠DAF＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BC，
∵OD⊥AC，
∴，
∴∠ECH＝∠EBC，
∵∠CEH＝∠BEC，
∴△CEH∽△BEC，
∴，
∴CE2＝EH•BE；
（3）如图2，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝10，
在Rt△ABE中，cosB＝＝，
∴BE＝AB＝8，根据勾股定理得，AE＝＝6，
∵OD⊥AC，
∴CE＝AE＝6，
由（2）知，CE2＝EH•BE，
∴62＝EH×8，
∴EH＝，
在Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝＝＝．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；
（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+3，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2
3．入冬以来，全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×104 B．7.5×105 C．7.5×108 D．7.5×109
4．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
8．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
9．不等式组的非负整数解有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B．π C．π D．2π
12．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是 ．
14．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为 ．
16．如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是 ．
17．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第 个图形．
18．已知tan（α+β）＝，tan2α＝（其中α和β都表示角度），比如求tan105°，可利用公式得tan105°＝tan（60°+45°）＝﹣2，又如求tan120°，可利用公式得tan120°＝tan（2×60°）＝．请你结合材料，若tan（120°+λ）＝﹣（λ为锐角），则λ的度数是 ．
三.解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2020）0．
20．先化简，再求值：﹣÷，并在﹣1，1，2，3这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣一般了解；D类﹣﹣不了解，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次共调查了多少名学生；
（2）求D类所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生？
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？
（2）某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折购买可节省多少元？
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥AC于点F，交⊙O于点E，AC交BE于点H，点D为OE延长线上的一点，且∠ODA＝∠BEC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•BE；
（3）若⊙O的半径为5，cosB＝，求AH的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故选项错误；
B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；
C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；
D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；
故选：C．
3．入冬以来，全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×104 B．7.5×105 C．7.5×108 D．7.5×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：75000万＝750000000＝7.5×108．
故选：C．
4．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分，与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数．
故选：B．
6．已知点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
【分析】点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求出ab＝﹣5，即可得到k＝﹣ab＝5．
【解答】解：∵P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴ab＝﹣5，
∵点M（﹣b，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣ba＝﹣ab＝5．
故选：B．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【分析】利用正方形的判定依次判断，可求解．
【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项B不合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项D符合题意；
故选：D．
8．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
9．不等式组的非负整数解有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，共5个，
故选：B．
10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）求出一次函数解析式，即可求解．
【解答】解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，
解得，
∴正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点（1，﹣1）代入得，
∴，
∴平移后函数解析式为，
故函数图象大致为：
．
故选：D．
11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B．π C．π D．2π
【分析】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形AOC进行计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC＝＝π．
故选：C．
12．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x＝﹣1，则另外一根是 5 ．
【分析】根据根与系数的关系作答．
【解答】解：设方程的另一根为x2，则﹣1•x2＝﹣5．
故x2＝5．
故答案是：5．
14．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 144° ．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为 1 ．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝DC，由条件可求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：
如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝3﹣2＝1，
∴DE＝1，
故答案为：1．
16．如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是 ．
【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
（发光，发光）
（不发光，发光）
灯泡2不发光
（发光，不发光）
（不发光，不发光）
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，
∴至少有一个灯泡发光的概率是，
故答案为：．
17．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第 2021 个图形．
【分析】把每个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，据此规律找出第n个图形五角星的个数为：1+3n，据此求解即可．
【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，
⋯
第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，
∵＝2021，
∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，
故答案为：2021．
18．已知tan（α+β）＝，tan2α＝（其中α和β都表示角度），比如求tan105°，可利用公式得tan105°＝tan（60°+45°）＝﹣2，又如求tan120°，可利用公式得tan120°＝tan（2×60°）＝．请你结合材料，若tan（120°+λ）＝﹣（λ为锐角），则λ的度数是 30° ．
【分析】已知等式左边利用题中的新定义公式计算，求出tanλ的值，根据λ为锐角，利用特殊角的三角函数值求出所求即可．
【解答】解：根据题中的新定义得：tan（120°+λ）＝＝＝﹣，
整理得：﹣tanλ+3＝1+tanλ，即2tanλ＝2，
解得：tanλ＝，
∵λ为锐角，
∴λ＝30°．
故答案为：30°．
三．解答题
19．计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2020）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+2×﹣（﹣1）+1
＝4+﹣+1+1
＝6．
20．先化简，再求值：﹣÷，并在﹣1，1，2，3这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝，
当a＝3时，原式＝﹣＝0．
21．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣一般了解；D类﹣﹣不了解，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次共调查了多少名学生；
（2）求D类所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生？
【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中D类学生人数，可以计算出D类所对应扇形的圆心角的度数，然后再计算出C类学生的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生．
【解答】解：（1）本次共调查的学生有：20÷40%＝50（名），
即本次共调查了50名学生；
（2）360°×＝36°，
即D类所对应扇形的圆心角的度数是36°，
C类学生有：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）500×＝150（名），
即估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有150名学生．
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】设B处距离码头O有xkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC＝DO﹣CO，得出x的值即可．
【解答】解：设B处距离码头O有xkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x≈14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
23．某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？
（2）某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折购买可节省多少元？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省的钱数＝打折前购买这批粽子所需钱数﹣打折后购买这批粽子所需钱数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
依题意，得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）（40×80+120×100）﹣（40×0.8×80+120×0.75×100）＝3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折购买可节省3640元．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
25．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥AC于点F，交⊙O于点E，AC交BE于点H，点D为OE延长线上的一点，且∠ODA＝∠BEC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•BE；
（3）若⊙O的半径为5，cosB＝，求AH的长．
【分析】（1）先判断出∠BSC＝∠ODA，进而判断出∠BAC+∠DAF＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ACE＝∠CBE，进而判断出△CEH∽△BEC，即可得出结论；
（3）先由三角函数求出BE，进而求出CE＝AE＝6，再借助（2）的结论求出EH，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ODA＝∠BEC，∠BEC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ODA，
∵OF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ODA+∠DAF＝90°，
∴∠BAC+∠DAF＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BC，
∵OD⊥AC，
∴，
∴∠ECH＝∠EBC，
∵∠CEH＝∠BEC，
∴△CEH∽△BEC，
∴，
∴CE2＝EH•BE；
（3）如图2，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝10，
在Rt△ABE中，cosB＝＝，
∴BE＝AB＝8，根据勾股定理得，AE＝＝6，
∵OD⊥AC，
∴CE＝AE＝6，
由（2）知，CE2＝EH•BE，
∴62＝EH×8，
∴EH＝，
在Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝＝＝．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；
（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+3，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
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